Young–Laplace'i võrrand (Laplace'i seadus): pindpinevus ja kapillaarrõhk

Young–Laplace'i võrrand selgitab pindpinevuse ja pinna kuju mõju kapillaarrõhule — aluseks kapillaarpindade uurimisele ja õõnsate organite rõhuteooriale.

Füüsikas on Young-Laplace'i võrrand (/ləˈplɑːs/) mittelineaarne osaline diferentsiaalvõrrand, mis kirjeldab kahe staatilise vedeliku, näiteks vee ja õhu vahelist kapillaarrõhkude erinevust. See erinevus tuleneb pindpinevuse ehk seinapinevuse nähtusest: pindpinevus püüab minimeerida vedeliku pindala ja tekitab rõhuerinevuse vedeliku kahelt poolt. Pinna pinget iseloomustab koefitsient γ (gamma), mille mõõtühik on N/m (nt vee pindpinevus toatemperatuuril ≈ 0,072 N/m). Young-Laplace'i võrrand seostab rõhkude erinevust pinna või seina kujuga ning on eriti oluline staatiliste kapillaarpindade ja tilkade, mullide ning õõnsate organite uurimisel.

Võrrand ja selle lihtsustatud kujud

Põhivormis annab Young-Laplace'i võrrand kahe poole rõhu erinevuse Δp seose vedeliku pinnakõveruse ja pindpinevusega. Tavaliselt kirjutatakse see kujul

Δp = γ (1/R1 + 1/R2),

kus R1 ja R2 on pinna kaks põhiradiaani (pinnakõveruse peamised raadiused) antud punktis. Teine levinud kujutus kasutab keskmist kõverust H = (1/2)(1/R1 + 1/R2) ja siis kehtib

Δp = 2 γ H.

Spetsiaalsetel juhtudel lihtsustub see tuntud vormideks:

• sferilisel pinnal (R1 = R2 = R) → Δp = 2γ/R (näiteks õhumull või vesi tilga pinnal);
• silmuselistel või silindrilistel pindadel (üheks raadiuseks R, teiseks ∞) → Δp = γ/R (näiteks vedeliku menisk torus või silindriline kate).

Tähendus ja näited

Young-Laplace'i võrrand seletab mitmeid igapäevaseid ja tehnilisi nähtusi:

• Tilgad ja mullid: väiksemate tilkade puhul on rõhuerinevus suurem (Δp ∝ 1/R), mistõttu väikesed tilgad kipuvad lagunema või sulanduma suurte tilkadega;
• Meniskid ja kapillaarne ülesimine: vedelik tõuseb või langeb kitsastes torudes vastavalt pinna märgitavusele ja toru raadiusele, kuna kapillaarrõhk Δp mõjutab vedeliku tasakaalu gravitatsiooniga;
• Füsioloogia (Laplace'i seadus): õhukeste seinteta õõnsustes (näiteks südame vatsakesed, kopsualveoolid) on võetud kasutusele lihtsustatud vormid, mis seovad seina järelepressimist ja rõhku; see selgitab, miks lihase väsimus või muutused pindpinevuses (kopsusurfaktant) mõjutavad organi funktsiooni;
• Tehnika ja pindprotsessid: kattekihid, märgumine ja mikrofluidika planeerimisel tuleb arvestada kapillaarrõhku ja pindpinevuse mõju.

Päritolu ja ajalooline taust

Võrrand on nime saanud Thomas Youngi järgi, kes töötas 1805. aastal välja pindpinevuse kvalitatiivse teooria, ja Pierre-Simon Laplace'i järgi, kes lõpetas matemaatilise kirjelduse järgmisel aastal. Mõnikord nimetatakse seda ka Young-Laplace'i-Gauss'i võrrandiks: Carl Friedrich Gauss ühendas 1830. aastal Youngi ja Laplace'i tööd. Gauss tuletas nii diferentsiaalvõrrandi kui ka piirtingimused, kasutades Johann Bernoulli virtuaalse töö põhimõtteid.

Tuletuse põhimõte ja piirangud

Lihtsustatud tuletus põhineb jõudude tasakaalul pitseril töötavale rõhule ja pindpinevuse tangentsiaalsetele jõududele: kõver pinnapind tekitab normaaljõu komponendi, mis väljendub rõhuerinevusena. Täpsemalt on Young-Laplace'i võrrand derivaadiks pindade geomeetria (kõverus) ja pindenergia miinimumi tingimustest. Erinevates seadetes tuletatakse võrrand kasutades variatsioonimeetodeid või mehaanikat (nt virtuaaltööprintsiip).

Oluline on ka piirangute teadmine:

• Võrrand kehtib staatilise tasakaalu eeldusel — dünaamiliste voolude, kiirede mõjude või häiritud pindade puhul tuleb lisada ajas sõltuvate mõjurite ja viskoossuse efektid;
• Gravitatsiooni ja muude keha jõudude mõju tuleb arvesse võtta suuremate süsteemide puhul (kapillaarne ülesimus vs. raskusjõud);
• Võib eeldada, et pindpinevus γ on konstantne — tegelikus bioloogias ja surfaktantide juures võib γ sõltuda pinnale kogunenud aine hulgast ja olekust.

Kasutus füsioloogias: Laplace'i seadus

Füsioloogias kasutatakse lihtsustatud tähenduses sama printsiipi sageli kui Laplace'i seadust, et kirjeldada rõhusuhted õõnsates organites. Näiteks:

• silindri kujulise veresoonte lõikes: seinapingutus τ on seotud rõhuga p ja raadiusega R ligikaudselt τ = p R (sõltuvalt täpsest definitsioonist võib esineda faktorid);
• südame vatsakeste kontekstis näitab seadus, miks suurem vatsake (suurem R) nõuab suuremat seina pingutust sama rõhu tekitamiseks ning miks liigne seinapaksus või dilatatsioon mõjutab tööd ja hapniku tarbimist;
• kopsualveoolide puhul selgitab seadus, miks surfaktandi puudus (suurenenud γ) põhjustab alveoolide kokkuvarisemise riski — pindpinevuse vähenemine stabiliseerib väikese raadiusega struktuure.

Numbrilised näited

Kui vee pindpinevus γ ≈ 0,072 N/m, siis sferilise tilga raadiusega R = 1 mm annab Δp ≈ 2·0,072 / 0,001 = 144 Pa. Väiksemate raadiuste korral (nt mikromeetrites) muutub kapillaarrõhk oluliselt suuremaks, mis on tähtis mikro- ja bioloogilistes süsteemides.

Kokkuvõte

Young-Laplace'i võrrand on fundamentaalne seos pindpinevuse, pinna kujundi ja rõhu vahel. See seletab paljusid nähtusi tilkadest ja mullidest kuni bioloogiliste õõnsuste ja kapillaarsete protsessideni. Rakendusvaldkonnad ulatuvad füüsikast ja keemiast meditsiinitehnikani ning mikrofluidikasse, kus pindpinevus ja kapillaarrõhk määravad olulisi käitumisreegleid.

Küsimused ja vastused

K: Mis on Young-Laplace'i võrrand?

K: Millega on see seotud?

K: Kes töötas selle teooria välja?

K: Kuidas seda kasutatakse füsioloogias?

K: Millist nähtust see seletab?

Otsing