Usaldusvahemik

Termini "usaldus" tähendus

Mõiste "usaldus" omab sarnast tähendust statistikas, nagu ka tavakasutuses. Tavakasutuses peetakse tavaliselt 95% usaldust millegi suhtes, mis näitab peaaegu kindluse olemasolu. Statistikas tähendab väide 95% usaldatavuse kohta lihtsalt seda, et uurija on näinud suurest hulgast võimalikest intervallidest ühte, millest üheksateistkümnes intervall kahekümnest sisaldab parameetri tõelist väärtust.

Praktiline näide

Masin täidab tassid margariiniga. Näites on masin reguleeritud nii, et tassi sisu on 250 g margariini. Kuna masin ei saa täita iga tassi täpselt 250 g, siis on üksikutesse tassidesse lisatud sisu teatav varieeruvus ja seda loetakse juhuslikuks muutujaks X. See varieeruvus on eeldatavasti normaalselt jaotunud soovitud keskmise 250 g ümber, standardhälbega 2,5 g. Kui masin ei täida iga tassiga, siis ei ole see võimalik, sest see on juhuslik muutuja. Selleks, et teha kindlaks, kas masin on piisavalt kalibreeritud, valitakse juhuslikult n = 25 margariinipokaali suurune valim ja kaalutakse need pokaalid. Margariini kaalud on X1, ..., X25, mis on juhuslik valim X.

Et saada ettekujutust μ, piisab hinnangu andmisest. Sobiv hindaja on valimi keskmine:

μ ^ = X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n X i . {\displaystyle {\hat {\mu }={\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}. }

Valim näitab tegelikke kaalusid x1, ...,x25 koos keskmisega:

x ¯ = 1 25 ∑ i = 1 25 x i = 250,2 grammi . {\displaystyle {\bar {x}={\frac {1}{25}}\sum _{i=1}^{25}x_{i}=250.2\,{\text{grammi}}. }

Kui me võtame teise 25 tassi suuruse valimi, võime kergesti oodata selliseid väärtusi nagu 250,4 või 251,1 grammi. Valimi keskmine väärtus 280 grammi oleks aga äärmiselt haruldane, kui tasside keskmine sisu on tegelikult 250 grammi lähedal. Valimi keskmise täheldatud väärtuse 250,2 ümber on terve intervall, mille piires, kui kogu populatsiooni keskmine väärtus jääb tõepoolest sellesse vahemikku, ei peeta täheldatud andmeid eriti ebatavaliseks. Sellist intervalli nimetatakse parameetri μ usaldusvahemikuks. Kuidas sellist intervalli arvutada? Intervalli lõpp-punktid tuleb arvutada valimi põhjal, seega on nad statistika, valimi X1, ..., X25 funktsioonid ja seega juhuslikud muutujad ise.

Meie puhul võime määrata lõpp-punktid, võttes arvesse, et normaalselt jaotunud valimi keskmine X on samuti normaalselt jaotunud, sama ootusega μ, kuid standardveaga σ/√n = 0,5 (gramm). Standardiseerimisel saame juhusliku muutuja

Z = X ¯ - μ σ / n = X ¯ - μ 0.5 {\displaystyle Z={\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}={\frac {{\bar {X}}-\mu }{0.5}}}}

sõltub hinnatavast parameetrist μ, kuid standardse normaaljaotusega, mis on sõltumatu parameetrist μ. Seega on võimalik leida arvud -z ja z, mis on sõltumatud μ-st, kus Z jääb nende vahele tõenäosusega 1 - α, mis näitab, kui kindlad me tahame olla. Võtame 1 - α = 0,95. Seega on meil:

P ( - z ≤ Z ≤ z ) = 1 - α = 0,95. {\displaystyle P(-z\leq Z\leq z)=1-\alpha =0,95.\,}

Arv z tuleneb kumulatiivsest jaotumisfunktsioonist:

Φ ( z ) = P ( Z ≤ z ) = 1 - α 2 = 0,975 , z = Φ - 1 ( Φ ( z ) ) = Φ - 1 ( 0,975 ) = 1.96 , {\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (z)&=P(Z\leq z)=1-{\tfrac {\alpha }{2}}=0.975,\\\[6pt]z&=\Phi ^{-1}(\Phi (z))=\Phi ^{-1}(0.975)=1.96,\end{aligned}}}

ja me saame:

0,95 = 1 - α = P ( - z ≤ Z ≤ z ) = P ( - 1,96 ≤ X ¯ - μ σ / n ≤ 1,96 ) = P ( X ¯ - 1,96 σ n ≤ μ ≤ X ¯ + 1.96 σ n ) = P ( X ¯ - 1,96 × 0,5 ≤ μ ≤ X ¯ + 1,96 × 0,5 ) = P ( X ¯ - 0,98 ≤ μ ≤ X ¯ + 0,98 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}0.95&=1-\alpha =P(-z\leq Z\leq z)=P\left(-1.96\leq {\frac {\bar {X}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}\leq 1.96\right)\\[6pt]&=P\left({\bar {X}}-1.96{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\leq \mu \leq {\bar {X}}+1.96{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right)\\[6pt]&=P\left({\bar {X}}-1.96\times 0.5\leq \mu \leq {\bar {X}}+1.96\times 0.5\right)\\[6pt]&=P\left({\bar {X}}-0.98\leq \mu \leq {\bar {X}}+0.98\right).\end{aligned}}}

Seda võib tõlgendada järgmiselt: tõenäosusega 0,95 leiame usaldusvahemiku, kus me kohtame parameetrit μ stohhastiliste lõpp-punktide vahel.

X ¯ - 0 . 98 {\displaystyle {\bar {X}-0{.}98\,}

ja

X ¯ + 0.98. {\displaystyle {\bar {X}+0.98.\,}

See ei tähenda, et parameeter μ vastab 0,95 tõenäosusega arvutatud intervallile. Iga kord, kui mõõtmisi korratakse, on valimi keskväärtuse X jaoks uus väärtus. 95% juhtudest jääb μ selle keskväärtuse põhjal arvutatud lõpp-punktide vahele, kuid 5% juhtudest mitte. Tegelik usaldusvahemik arvutatakse, sisestades mõõdetud kaalud valemisse. Meie 0,95 usaldusvahemikuks saab:

( x ¯ - 0,98 ; x ¯ + 0,98 ) = ( 250,2 - 0,98 ; 250,2 + 0,98 ) = ( 249,22 ; 251,18 ) . {\displaystyle ({\bar {x}}-0.98;{\bar {x}}+0.98)=(250.2-0.98;250.2+0.98)=(249.22;251.18).\,}

Kuna soovitud μ väärtus 250 on saadud usaldusvahemiku piires, ei ole põhjust arvata, et masin on valesti kalibreeritud.

Arvutataval intervallil on fikseeritud lõpp-punktid, mille vahel võib olla μ (või mitte). Seega on selle sündmuse tõenäosus kas 0 või 1. Me ei saa öelda: "tõenäosusega (1 - α) asub parameeter μ usaldusvahemikus". Me teame ainult, et kordades 100(1 - α) % juhtudest jääb μ arvutatud intervalli sisse. 100α % juhtudest aga ei ole. Ja kahjuks ei tea me, millistel juhtudel see juhtub. Seepärast ütleme me: "usaldusnivoo 100(1 - α) % korral jääb μ usaldusvahemikku. "

Joonisel paremal on näidatud 50 usaldusintervalli realisatsiooni antud populatsiooni keskmise μ jaoks. Kui me valime juhuslikult ühe realisatsiooni, on 95% tõenäosus, et me valime lõpuks intervalli, mis sisaldab parameetrit; me võime aga olla õnnetud ja valida vale intervalli. Me ei saa seda kunagi teada; me jääme oma intervallile kindlaks.

Vertikaalsed joonsegmendid kujutavad 50 realisatsiooni usaldusintervalli μ jaoks.