Gaussi eliminatsioon

Matemaatikas on Gaussi eliminatsioon (ka rea vähendamine) meetod, mida kasutatakse lineaarsete võrrandite süsteemide lahendamiseks. See on nime saanud Carl Friedrich Gaussi, kuulsa saksa matemaatiku järgi, kes kirjutas sellest meetodist, kuid ei leiutanud seda.

Gaussi kõrvaldamise teostamiseks kasutatakse lineaarsete võrrandite süsteemi tingimuste koefitsiente, et luua teatud tüüpi maatriks, mida nimetatakse täiendatud maatriksiksiks. Seejärel kasutatakse maatriksi lihtsustamiseks elementaarseid ridaoperatsioone. Kasutatakse kolme tüüpi ridaoperatsioone:

Tüüp 1: ühe rea vahetamine teise reaga.

Tüüp 2: rea korrutamine mittenullarvuga.

Tüüp 3: rea lisamine või lahutamine teisest reast.

Gaussi kõrvaldamise eesmärk on saada maatriks rea-ešeloni kujul. Kui maatriks on rea-ešeloni kujul, tähendab see, et vasakult paremale lugedes algab iga rida vähemalt ühe nulltermiga rohkem kui selle kohal olev rida. Mõned Gaussi eliminatsiooni määratlused ütlevad, et maatriksi tulemus peab olema redutseeritud rida-ešeloni kujul. See tähendab, et maatriks on rea-ešeloni kujul ja ainus mittenullterm igas reas on 1. Gaussi eliminatsiooni, mis tekitab vähendatud rea-ešeloni maatriksi tulemuse, nimetatakse mõnikord Gauss-Jordani eliminatsiooniks.

Näide

Oletame, et eesmärk on leida vastused sellele lineaarsele võrrandisüsteemile.

2 x + y - z = 8 ( R 1 ) - 3 x - y + 2 z = - 11 ( R 2 ) - 2 x + y + 2 z = - 3 ( R 3 ) {\displaystyle {\begin{\alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\qquad (R_{1})\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\qquad (R_{2})\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\qquad (R_{3})\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\qquad (R_{1})\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\qquad (R_{2})\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\qquad (R_{3})\end{alignedat}}$

Kõigepealt tuleb süsteem muuta täiendatud maatriksiks. Täiendatud maatriksis muutub iga lineaarne võrrand reaks. Suurendatud maatriksi ühel poolel muutuvad lineaarse võrrandi iga termini koefitsiendid maatriksi numbriteks. Täiendatud maatriksi teisel poolel on iga lineaarse võrrandi konstantterminid. Selle süsteemi puhul on augmenteeritud maatriks:

[ 2 1 - 1 8 - 3 - 1 2 - 11 - 2 1 2 - 3 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\\-3&-1&2&-11\\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]$

Seejärel saab suurendada maatriksi lihtsustamiseks teha ridaoperatsioone. Alljärgnevas tabelis on näidatud ridade vähendamise protsess võrrandisüsteemi ja täiendatud maatriksiga.

Võrrandite süsteem	Ridaoperatsioonid	Täiendatud maatriks
2 x + y - z = 8 - 3 x - y + 2 z = - 11 - 2 x + y + 2 z = - 3 {\displaystyle {\begin{{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&& \;=\;&&-11&\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\end{alignedat}}$		[ 2 1 - 1 8 - 3 - 1 2 - 11 - 2 1 2 - 3 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\\-3&-1&2&-11\\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]$
2 x + y - z = 8 1 2 y + 1 2 z = 1 2 y + z = 5 {\displaystyle {\begin{\alignedat}{7}2x&&\;+&&&y&&\;-&&\;z&&\;=\;&&8&\\\\\&&&&{\frac {1}{2}}y&&\;+&&\;{\frac {1}{2}}z&&\;=\;&&1&\\&&&&2y&&\;+&&\;z&&\;=\;&&5&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y&&\;-&&\;z&&\;=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y&&\;+&&\;{\frac {1}{2}}z&&\;=\;&&1&\\&&&&2y&&\;+&&\;z&&\;=\;&&5&\end{alignedat}}$	R 2 + 3 2 R 1 → R 2 {\displaystyle R_{2}+{\frac {3}{2}}R_{1}\rightarrow R_{2}} $R_{2}+{\frac {3}{2}}R_{1}\rightarrow R_{2}$ R 3 + R 1 → R 3 {\displaystyle R_{3}+R_{1}\rightarrow R_{3}} $R_{3}+R_{1}\rightarrow R_{3}$	[ 2 1 - 1 8 0 1 / 2 1 / 2 1 0 2 1 5 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\\0&1/2&1/2&1\\0&2&1&5\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\\0&2&1&5\end{array}}\right]$
2 x + y - z = 8 1 2 y + 1 2 z = 1 - z = 1 {\displaystyle {\begin{\alignedat}{7}2x&&\;+&&&y\;&&-&&&\;z\;&&=\;&&8&\\\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&+&&\;{\frac {1}{2}}z\;&&=\;&&1&\\&&&&&&&&\;-z\;& &\;=\;&&1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&-&&\;z\;&&=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&+&&\;{\frac {1}{2}}z\;&&=\;&&1&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}$	R 3 + - 4 R 2 → R 3 {\displaystyle R_{3}+-4R_{2}\rightarrow R_{3}} $R_{3}+-4R_{2}\rightarrow R_{3}$	[ 2 1 - 1 8 0 1 / 2 1 / 2 1 0 0 - 1 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\\0&1/2&1/2&1\\0&0&-1&1\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\\0&0&-1&1\end{array}}\right]$

Maatriks on nüüd ridade-šelonite kujul. Seda nimetatakse ka kolmnurkvormiks.

Võrrandite süsteem	Ridaoperatsioonid	Täiendatud maatriks
2 x + y = 7 1 2 y = 3 / 2 - z = 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\\&&&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&&&\;\;&&=\;&&3/2&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&&&\;\;&&=\;&&3/2&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}$	R 2 + 1 2 R 3 → R 2 {\displaystyle R_{2}+{\frac {1}{2}}R_{3}\rightarrow R_{2}} $R_{2}+{\frac {1}{2}}R_{3}\rightarrow R_{2}$ R 1 - R 3 → R 1 {\displaystyle R_{1}-R_{3}\rightarrow R_{1}} $R_{1}-R_{3}\rightarrow R_{1}$	[ 2 1 0 7 0 1 / 2 0 3 / 2 0 0 0 - 1 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\\\0&1/2&0&3/2\\\0&0&-1&1\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\\0&1/2&0&3/2\\0&0&-1&1\end{array}}\right]$
2 x + y = 7 y = 3 z = - 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\\&&&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}$	2 R 2 → R 2 {\displaystyle 2R_{2}\rightarrow R_{2}} $2R_{2}\rightarrow R_{2}$ R 3 → R 3 {\displaystyle -R_{3}\rightarrow R_{3}} $-R_{3}\rightarrow R_{3}$	[ 2 1 0 7 0 1 0 3 0 0 0 1 - 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]$
x = 2 y = 3 z = - 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x&&\;&&\;&&&&\;\;&&=\;&&2&\\\\&&&& y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}x&&\;&&\;&&&&\;\;&&=\;&&2&\\&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}$	R 1 - R 2 → R 1 {\displaystyle R_{1}-R_{2}\rightarrow R_{1}} $R_{1}-R_{2}\rightarrow R_{1}$ 1 2 R 1 → R 1 {\displaystyle {\frac {1}{2}}R_{1}\rightarrow R_{1}} ${\frac {1}{2}}R_{1}\rightarrow R_{1}$	[ 1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 - 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}1&0&0&2\\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}1&0&0&2\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]$

Maatriks on nüüd vähendatud rea-ešeloni kujul. Selle maatriksi lugemine ütleb meile, et selle võrrandisüsteemi lahendused esinevad, kui x = 2, y = 3 ja z = -1.

Küsimused ja vastused

K: Mis on Gaussi kõrvaldamine?

V: Gaussi eliminatsioon on matemaatikas kasutatav meetod lineaarsete võrrandite süsteemide lahendamiseks.

K: Kelle järgi on see nime saanud?

V: See on nime saanud Carl Friedrich Gaussi, kuulsa saksa matemaatiku järgi, kes kirjutas sellest meetodist, kuid ei leiutanud seda.

K: Kuidas toimub Gaussi eliminatsioon?

V: Gaussi elimineerimine toimub lineaarsete võrrandite süsteemis olevate terminite koefitsientide abil, et luua täiendatud maatriks. Seejärel kasutatakse maatriksi lihtsustamiseks elementaarseid ridaoperatsioone.

K: Milliseid kolme liiki ridaoperatsioone kasutatakse Gaussi eliminatsioonis?

V: Gaussi eliminatsioonis kasutatakse kolme tüüpi ridaoperatsioone: Ühe rea vahetamine teise reaga, rea korrutamine mittenullarvuga ja rea lisamine või lahutamine teisest reast.

K: Mis on Gaussi kõrvaldamise eesmärk?

V: Gaussi kõrvaldamise eesmärk on saada maatriks rea-ešeloni kujul.

K: Mis on rea-ešeloni vorm?

V: Kui maatriks on rea-ešeloni vormis, tähendab see, et vasakult paremale lugedes algab iga rida vähemalt ühe nulltermiga rohkem kui selle kohal olev rida.

K: Mis on redutseeritud rida-ešeloni vorm?

V: Vähendatud rea-ešeloni vorm tähendab, et maatriks on rea-ešeloni vormis ja ainus mittenullterm igas reas on 1. Gaussi eliminatsiooni, mis tekitab vähendatud rea-ešeloni maatriksi tulemuse, nimetatakse mõnikord Gauss-Jordani eliminatsiooniks.