Gaussi eliminatsioon — meetod lineaarvõrrandite lahendamiseks

Gaussi eliminatsioon: samm-sammult juhend lineaarvõrrandite lahendamiseks — ridaoperatsioonid, rea‑ešelon ja redutseeritud lahendus. Õpi efektiivne maatriksimeetod nüüd.

Autor: Leandro Alegsa

04-11-2025 12:51

Matemaatikas on Gaussi eliminatsioon (ka rea vähendamine) meetod, mida kasutatakse lineaarsete võrrandite süsteemide lahendamiseks. See on nime saanud Carl Friedrich Gaussi, kuulsa saksa matemaatiku järgi, kes kirjutas sellest meetodist, kuid ei leiutanud seda.

Gaussi kõrvaldamise teostamiseks kasutatakse lineaarsete võrrandite süsteemi tingimuste koefitsiente, et luua teatud tüüpi maatriks, mida nimetatakse täiendatud maatriksiks. Seejärel kasutatakse maatriksi lihtsustamiseks elementaarseid ridaoperatsioone. Kasutatakse kolme tüüpi ridaoperatsioone:

Tüüp 1: ühe rea vahetamine teise reaga.

Tüüp 2: rea korrutamine mittenullarvuga.

Tüüp 3: rea lisamine või lahutamine teisest reast.

Gaussi kõrvaldamise eesmärk on saada maatriks rea-ešeloni kujul. Kui maatriks on rea-ešeloni kujul, tähendab see, et vasakult paremale lugedes algab iga rida vähemalt ühe nulltermiga rohkem kui selle kohal olev rida. Mõned Gaussi eliminatsiooni määratlused ütlevad, et maatriksi tulemus peab olema redutseeritud rida-ešeloni kujul. See tähendab, et maatriks on rea-ešeloni kujul ja ainus mittenullterm igas reas on 1. Gaussi eliminatsiooni, mis tekitab vähendatud rea-ešeloni maatriksi tulemuse, nimetatakse mõnikord Gauss-Jordani eliminatsiooniks.

Kuidas meetod töötab (lühike ülevaade)

Lahendatav süsteem kirjutatakse täiendatud maatriksina — vasakul on koefitsientide maatriks, paremal vektor vabaliikmetega.
Rakendatakse järjestikuliselt ridaoperatsioone, et saada vasakul olev maatriks võimalikult palju nullideks allpool peamist diagonaali (rea-ešeloni kujul).
Kui saavutatakse rea-ešeloni kuju, saab tundmatud leida tagasiasenduse abil (back substitution). Gauss-Jordani puhul lihtsustatakse täiendavalt nii, et iga polaarsõlm (pivot) on 1 ja selle veeru muud elemendid on 0 — siis vastused on otseselt loetavad).

Peamised sammud (algoritm)

1) Valige jooksva veeru jaoks pivot-reana rida, millel on mittenull element (vajadusel vahetage ridu) — see on pivotimine.
2) Kui soovitakse, korrutage pivot-rida sobiva konstanti abil, et pivot-tegur oleks 1.
3) Kasutage pivot-rida, et eemaldada (teisaldada nulliks) kõik elemendid samas veerus nii allpool kui ka (Gauss-Jordani puhul) ülevalpool pivotit, rakendades tüüp 3 ridaoperatsioone.
Korrake samu samme järgmiste veergude ja ridade jaoks, liikudes diagonaaljoonel paremale ja allapoole.
Kui ei kasutata täielikku Gauss-Jordani reduktsiooni, tehakse pärast rea-ešeloni saavutamist tagasiasendus, et leida tundmatud ükshaaval vastavalt viimasest reast tõusvas järjekorras.

Näide (lihtne 2×2 süsteem)

Võtame süsteemi:

2x + 3y = 8
x − y = 1

Täiendatud maatriksiks: [ [2, 3 | 8], [1, −1 | 1] ].

Sammud (lühidalt): vaheta 1. ja 2. rida (võib-olla), tee pivot 1 ning saada ruudustik, kust saab tagasiasendusega x ja y väärtused. Tulemus on x = 3, y = 0. (Selle väikese näite täpne ridaoperatsioonide jada saab iga huviline sammu-sammu haaval läbi teha.)

Erandid ja lahenduste tüübid

Üks lahend — tingimused on sõltumatud ja süsteemis on sama arv sõltumatuid võrrandeid kui tundmatuid ning determinant ≠ 0 (täisarvulise n×n maatriksi puhul).
Infinites paljud lahendused — kui pärast reduktsiooni jääb vähemalt üks vaba tunnusmuutuja; rea-ešeloni kujul on mingid read nullread, kuid vastuolu puudub.
Pole lahendust — tekib vastuolu, näiteks rida kujul [0 0 ... 0 | b] kus b ≠ 0 tähistab võrdumatust 0 = b, mis on võimatu.

Numbriline stabiilsus ja pivotimine

Sümboolses või täisarvulises käsitluses pole pivotimise valik alati kriitiline, kuid ujukomaarvutustes võib halb pivotimine viia suure vea kuhjumiseni. Seetõttu kasutatakse sageli osalist pivotimist (ridade vahetamine suurima absoluutväärtusega pivotiga antud veerus) või mõnikord ka täielikku pivotimist (ridade ja veergude vahetamine), et parandada täpsust ja vältida jagamist väga väikeste arvudega.

Arvutuslik keerukus ja rakendused

Gaussi eliminatsiooni peamine ajakompleksus n×n-süsteemi puhul on tavaliselt O(n^3) elementaarsete operatsioonide mõistes.
Meetod on laialt kasutusel inseneriteadustes, füüsikas, arvutiteaduses (nt lineaarsete süsteemide lahendamine, maatrikside inversioon, determinandi leidmine, least-squares sobitused jms).

Nõuanded praktiliseks kasutamiseks

Kontrolli tulemusi vajadusel tagasiasenduse abil.
Suurema täpsuse jaoks ujukomaarvutustes kasuta osalist pivotimist.
Kui süsteem on väga suur ja hajus (sparse), on sageli otstarbekas kasutada spetsiaalseid hajusatele maatriksitele mõeldud algoritme, mis on mäluefektiivsemad ja kiiremaks optimeeritud.

Kokkuvõttes on Gaussi eliminatsioon lihtne ja üldine meetod lineaarsete võrrandite süsteemide lahendamiseks, mille variatsioonid (näiteks Gauss-Jordan, pivotimine) võimaldavad seda kohandada nii sümboolseks analüüsiks kui ka numbriliseks arvutamiseks.

Näide

Oletame, et eesmärk on leida vastused sellele lineaarsele võrrandisüsteemile.

2 x + y - z = 8 ( R 1 ) - 3 x - y + 2 z = - 11 ( R 2 ) - 2 x + y + 2 z = - 3 ( R 3 ) {\displaystyle {\begin{\alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\qquad (R_{1})\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\qquad (R_{2})\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\qquad (R_{3})\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\qquad (R_{1})\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\qquad (R_{2})\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\qquad (R_{3})\end{alignedat}}$

Kõigepealt tuleb süsteem muuta täiendatud maatriksiks. Täiendatud maatriksis muutub iga lineaarne võrrand reaks. Suurendatud maatriksi ühel poolel muutuvad lineaarse võrrandi iga termini koefitsiendid maatriksi numbriteks. Täiendatud maatriksi teisel poolel on iga lineaarse võrrandi konstantterminid. Selle süsteemi puhul on augmenteeritud maatriks:

[ 2 1 - 1 8 - 3 - 1 2 - 11 - 2 1 2 - 3 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\\-3&-1&2&-11\\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]$

Seejärel saab suurendada maatriksi lihtsustamiseks teha ridaoperatsioone. Alljärgnevas tabelis on näidatud ridade vähendamise protsess võrrandisüsteemi ja täiendatud maatriksiga.

Võrrandite süsteem	Ridaoperatsioonid	Täiendatud maatriks
2 x + y - z = 8 - 3 x - y + 2 z = - 11 - 2 x + y + 2 z = - 3 {\displaystyle {\begin{{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&& \;=\;&&-11&\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\end{alignedat}}$		[ 2 1 - 1 8 - 3 - 1 2 - 11 - 2 1 2 - 3 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\\-3&-1&2&-11\\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]$
2 x + y - z = 8 1 2 y + 1 2 z = 1 2 y + z = 5 {\displaystyle {\begin{\alignedat}{7}2x&&\;+&&&y&&\;-&&\;z&&\;=\;&&8&\\\\\&&&&{\frac {1}{2}}y&&\;+&&\;{\frac {1}{2}}z&&\;=\;&&1&\\&&&&2y&&\;+&&\;z&&\;=\;&&5&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y&&\;-&&\;z&&\;=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y&&\;+&&\;{\frac {1}{2}}z&&\;=\;&&1&\\&&&&2y&&\;+&&\;z&&\;=\;&&5&\end{alignedat}}$	R 2 + 3 2 R 1 → R 2 {\displaystyle R_{2}+{\frac {3}{2}}R_{1}\rightarrow R_{2}} $R_{2}+{\frac {3}{2}}R_{1}\rightarrow R_{2}$ R 3 + R 1 → R 3 {\displaystyle R_{3}+R_{1}\rightarrow R_{3}} $R_{3}+R_{1}\rightarrow R_{3}$	[ 2 1 - 1 8 0 1 / 2 1 / 2 1 0 2 1 5 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\\0&1/2&1/2&1\\0&2&1&5\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\\0&2&1&5\end{array}}\right]$
2 x + y - z = 8 1 2 y + 1 2 z = 1 - z = 1 {\displaystyle {\begin{\alignedat}{7}2x&&\;+&&&y\;&&-&&&\;z\;&&=\;&&8&\\\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&+&&\;{\frac {1}{2}}z\;&&=\;&&1&\\&&&&&&&&\;-z\;& &\;=\;&&1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&-&&\;z\;&&=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&+&&\;{\frac {1}{2}}z\;&&=\;&&1&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}$	R 3 + - 4 R 2 → R 3 {\displaystyle R_{3}+-4R_{2}\rightarrow R_{3}} $R_{3}+-4R_{2}\rightarrow R_{3}$	[ 2 1 - 1 8 0 1 / 2 1 / 2 1 0 0 - 1 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\\0&1/2&1/2&1\\0&0&-1&1\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\\0&0&-1&1\end{array}}\right]$

Maatriks on nüüd ridade-šelonite kujul. Seda nimetatakse ka kolmnurkvormiks.

Võrrandite süsteem	Ridaoperatsioonid	Täiendatud maatriks
2 x + y = 7 1 2 y = 3 / 2 - z = 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\\&&&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&&&\;\;&&=\;&&3/2&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&&&\;\;&&=\;&&3/2&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}$	R 2 + 1 2 R 3 → R 2 {\displaystyle R_{2}+{\frac {1}{2}}R_{3}\rightarrow R_{2}} $R_{2}+{\frac {1}{2}}R_{3}\rightarrow R_{2}$ R 1 - R 3 → R 1 {\displaystyle R_{1}-R_{3}\rightarrow R_{1}} $R_{1}-R_{3}\rightarrow R_{1}$	[ 2 1 0 7 0 1 / 2 0 3 / 2 0 0 0 - 1 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\\\0&1/2&0&3/2\\\0&0&-1&1\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\\0&1/2&0&3/2\\0&0&-1&1\end{array}}\right]$
2 x + y = 7 y = 3 z = - 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\\&&&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}$	2 R 2 → R 2 {\displaystyle 2R_{2}\rightarrow R_{2}} $2R_{2}\rightarrow R_{2}$ R 3 → R 3 {\displaystyle -R_{3}\rightarrow R_{3}} $-R_{3}\rightarrow R_{3}$	[ 2 1 0 7 0 1 0 3 0 0 0 1 - 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]$
x = 2 y = 3 z = - 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x&&\;&&\;&&&&\;\;&&=\;&&2&\\\\&&&& y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}x&&\;&&\;&&&&\;\;&&=\;&&2&\\&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}$	R 1 - R 2 → R 1 {\displaystyle R_{1}-R_{2}\rightarrow R_{1}} $R_{1}-R_{2}\rightarrow R_{1}$ 1 2 R 1 → R 1 {\displaystyle {\frac {1}{2}}R_{1}\rightarrow R_{1}} ${\frac {1}{2}}R_{1}\rightarrow R_{1}$	[ 1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 - 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}1&0&0&2\\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}1&0&0&2\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]$

Maatriks on nüüd vähendatud rea-ešeloni kujul. Selle maatriksi lugemine ütleb meile, et selle võrrandisüsteemi lahendused esinevad, kui x = 2, y = 3 ja z = -1.

Küsimused ja vastused

K: Mis on Gaussi kõrvaldamine?

V: Gaussi eliminatsioon on matemaatikas kasutatav meetod lineaarsete võrrandite süsteemide lahendamiseks.

K: Kelle järgi on see nime saanud?

V: See on nime saanud Carl Friedrich Gaussi, kuulsa saksa matemaatiku järgi, kes kirjutas sellest meetodist, kuid ei leiutanud seda.

K: Kuidas toimub Gaussi eliminatsioon?

V: Gaussi elimineerimine toimub lineaarsete võrrandite süsteemis olevate terminite koefitsientide abil, et luua täiendatud maatriks. Seejärel kasutatakse maatriksi lihtsustamiseks elementaarseid ridaoperatsioone.

K: Milliseid kolme liiki ridaoperatsioone kasutatakse Gaussi eliminatsioonis?

V: Gaussi eliminatsioonis kasutatakse kolme tüüpi ridaoperatsioone: Ühe rea vahetamine teise reaga, rea korrutamine mittenullarvuga ja rea lisamine või lahutamine teisest reast.

K: Mis on Gaussi kõrvaldamise eesmärk?

V: Gaussi kõrvaldamise eesmärk on saada maatriks rea-ešeloni kujul.

K: Mis on rea-ešeloni vorm?

V: Kui maatriks on rea-ešeloni vormis, tähendab see, et vasakult paremale lugedes algab iga rida vähemalt ühe nulltermiga rohkem kui selle kohal olev rida.

K: Mis on redutseeritud rida-ešeloni vorm?

V: Vähendatud rea-ešeloni vorm tähendab, et maatriks on rea-ešeloni vormis ja ainus mittenullterm igas reas on 1. Gaussi eliminatsiooni, mis tekitab vähendatud rea-ešeloni maatriksi tulemuse, nimetatakse mõnikord Gauss-Jordani eliminatsiooniks.

Otsige