Geomeetriline keskmine — määratlus, valem ja rakendused

Geomeetriline keskmine — selge määratlus, valem ja praktilised rakendused rahanduses, statistikas ja andmeanalüüsis. Õpi, millal seda kasutada ja miks see erineb aritmeetilisest.

Geomeetriline keskmine on arv, mida kasutatakse arvude kogumi keskse väärtuse kujutamiseks siis, kui andmed on korrutised või kasvufaktorid. Tavaliselt arvutatakse see, võttes nende arvude korrutise n-ndat juurt. Enamik inimesi viitab keskmisest või keskväärtusest rääkides aritmeetilisele keskmisele, kuid geomeetriline keskmine annab parema tulemuse olukordades, kus väärtused korrutatakse omavahel (näiteks kasvufaktorid, suhtarvud, proportsioonid). Geomeetriline keskmine on alati vähem või võrdne aritmeetilise keskmisega; võrdne on see juhul, kui kõik vaatlused on võrdsed. Geomeetrilist keskmist kasutatakse laialdaselt rahandus- ja statistikavaldkonnas ning ka loodusteadustes ja insenerpraktikas.

Valem ja arvutus

Lihtsaim valem n positiivse arvu x1, x2, …, xn geomeetrilise keskmise jaoks on:

GM = (x1 · x2 · … · xn)^(1/n)

Seda saab mugavamalt arvutada logaritmide abil, eriti kui andmed on suured või kui on palju väärtusi:

GM = exp((1/n) · Σ ln(xi))

Logaritmiline vorm vähendab ümardusvigu ja võimaldab töödelda ka väga väikeste või väga suurte arvudega.

Näited

• Lihtne näide: arvude 2, 8 ja 4 geomeetriline keskmine on (2·8·4)^(1/3) = 64^(1/3) = 4.
• Investeerimisnäide: kui investeering kasvas järjest 5%, langes 3% ja taas kasvas 2%, siis vastavad kasvufaktorid on 1,05; 0,97; 1,02. Geomeetriline keskmine faktor on (1,05·0,97·1,02)^(1/3) ≈ 1,0132, st keskmine aastane kasv ≈ 1,32%.

Omadused ja piirangud

• Sobivus: geomeetriline keskmine sobib hästi andmete puhul, mis väljendavad suhteid, protsentmuutusi või korduvaid kasvufaktoreid.
• Võrdlus aritmeetilise keskmisega: GM ≤ AM (aritmeetiline keskmine). Erandit pole — võrdus tekib ainult siis, kui kõik väärtused on võrdsed.
• Null: kui mõni arv on 0, siis korrutis on 0 ja geomeetriline keskmine on 0. Seetõttu ei ole mõtet geomeetrilist keskmist arvutada, kui andmestikus esineb nulle ja eesmärgiks on mõõta keskmist positiivset kasvufaktorit.
• Negatiivsed ja kompleksarvud: üldiselt ei sobi negatiivsed väärtused geomeetrilise keskmise arvutamiseks reaalarvuna, sest juure võtmine võib anda mitmetähenduslikke tulemusi või ei ole reaalarvuline. Samuti seda ei kasutata kompleksarvude puhul, sest kompleksarvu juure arvutamisel on rohkem kui üks tulemus ja tähenduslik keskmine ei ole enam otse rakendatav.
• Töötlemine väikeste/negatiivsete väärtustega: mõnikord muudetakse andmeid (näiteks lisatakse väikest positiivset konstantset nihket) või kasutatakse kaalutud/geomeetrilisi transformatsioone, kuid selline teisendus peab olema metoodiliselt põhjendatud.

Kaalutud geomeetriline keskmine

Kui mõnel väärtusel on suurem tähtsus, kasutatakse kaalutud geomeetrilist keskmist. Kui wi on iga väärtuse kaal (wi ≥ 0 ja Σ wi = 1), siis:

GM_weighted = exp(Σ wi · ln(xi))

Rakendused

• Finantsanalüüs: keskmised tootlused ja kasvufaktorid pikaajaliste investeeringute puhul.
• Bioloogia ja ökoloogia: geometriliste keskmiste kasutamine proportsioonide ja suhteliste muutuste kirjeldamiseks.
• Teadus ja inseneritehnika: mõõtmistulemuste ja skaalaolukordade puhul, kus andmed on multiplicatiivsed.
• Statistika: geomeetriline keskmine on sobiv mõõde keskmise suhtelise muutuse hindamiseks ja outlierite mõjude vähendamiseks juhul, kui andmed on log-normselt jaotunud.

Kokkuvõte

Geomeetriline keskmine on kasulik vahend olukordades, kus andmed esindavad korrutisi või kasvufaktoreid. Selle valem põhineb korrutise n-ndal juurel või logaritmide keskmisel. Enne kasutamist peab veenduma, et andmed oleksid positiivsed ja metoodiliselt sobivad — nullide ja negatiivsete väärtustega tuleb ümber käia teadlikult. Geomeetriline keskmine annab realistlikuma pildi keskmisest muutusest võrreldes aritmeetilise keskmisega multiplicatiivsetes protsessides.

Küsimused ja vastused

K: Mis on geomeetriline keskmine?

K: Kuidas arvutatakse geomeetrilist keskmist?

K: Mida tavaliselt nimetatakse, kui räägitakse "keskmisest" või "keskmisest"?

K: Kas geomeetriline keskmine on alati väiksem kui aritmeetiline keskmine?

K: Kas geomeetrilist keskmist saab arvutada, kui üks arvudest on null?

K: Kas on mõtet arvutada geomeetrilist keskmist, kui üks selle arvudest on negatiivne?

K: Kas seda meetodit on võimalik kasutada kompleksarvude puhul?

Otsing