Gödeli mittetäielikkuse teoreemid
Gödeli mittetäielikkuse teoreemid on nimetus, mis on antud kahele teoreemile (tõele matemaatilisele väitele), mida Kurt Gödel tõestas 1931. aastal. Need on matemaatilise loogika teoreemid.
Matemaatikud arvasid kunagi, et kõigel, mis on tõsi, on matemaatiline tõestus. Süsteemi, millel on see omadus, nimetatakse täielikuks; süsteemi, millel seda ei ole, nimetatakse mittetäielikuks. Samuti ei tohiks matemaatilistel ideedel olla vastuolusid. See tähendab, et nad ei tohiks olla samaaegselt tõesed ja valed. Süsteemi, mis ei sisalda vastuolusid, nimetatakse järjepidevaks. Need süsteemid põhinevad aksioomide kogumitel. Aksioomid on väited, mida aktsepteeritakse tõena ja mis ei vaja tõestamist.
Gödel ütles, et iga mittetriviaalne (huvitav) formaalne süsteem on kas mittetäielik või ebajärjekindel:
- Alati on küsimusi, millele ei saa vastata, kasutades teatud aksioomide kogumit;
- Te ei saa tõestada, et aksioomide süsteem on järjepidev, kui te ei kasuta teistsugust aksioomide kogumit.
Need teoreemid on matemaatikute jaoks olulised, sest nad tõestavad, et on võimatu luua aksioomide kogumit, mis seletaks kõike matemaatikas.
Mõned seotud teemad
Küsimused ja vastused
Küsimus: Mis on Gödeli mittetäielikkuse teoreemid?
V: Gödeli mittetäielikkuse teoreemid on kaks tõelist matemaatilist väidet, mida Kurt Gödel tõestas 1931. aastal matemaatilise loogika valdkonnas.
K: Mis on matemaatikas täielik süsteem?
V: Täielik süsteem matemaatikas on süsteem, millel on omadus, et kõigele tõele on matemaatiline tõestus.
K: Mis on matemaatikas mittetäielik süsteem?
V: Mittetäielik süsteem matemaatikas on süsteem, millel ei ole omadust, et kõigele tõele on matemaatiline tõestus.
K: Mis on järjepidev süsteem matemaatikas?
V: Konsistentne süsteem matemaatikas on süsteem, mis ei sisalda vastuolusid, mis tähendab, et matemaatilised ideed ei tohiks olla samaaegselt tõesed ja valed.
K: Mis on aksioomid matemaatikas?
V: Aksioomid matemaatikas on väited, mida aktsepteeritakse tõena ja mis ei vaja tõestamist.
K: Mida väitis Gödel iga mittetriviaalse formaalsüsteemi kohta?
V: Gödel väitis, et iga mittetriviaalne formaalsüsteem on kas mittetäielik või vastuoluline.
K: Miks on Gödeli mittetäielikkuse teoreemid matemaatikutele olulised?
V: Gödeli mittetäielikkuse teoreemid on matemaatikutele olulised, sest nad tõestavad, et on võimatu luua aksioomide kogumit, mis seletaks kõike matemaatikas.
