1900. aastal avaldas matemaatik David Hilbert nimekirja 23 lahendamata matemaatilisest probleemist. Probleemide nimekiri osutus väga mõjukaks. Pärast Hilberti surma leiti tema kirjutistest veel üks probleem, mida tänapäeval mõnikord nimetatakse Hilberti 24. probleemiks. See probleem käsitleb kriteeriumide leidmist, mis näitavad, et mingi probleemi lahendus on kõige lihtsam võimalik.

23 probleemist kolm olid 2012. aastal lahendamata, kolm olid liiga ebamäärased, et neid lahendada, ja kuus olid osaliselt lahendatavad. Arvestades probleemide mõju, sõnastas Clay Matemaatikainstituut 2000. aastal sarnase nimekirja, mida nimetati aastatuhande auhinna probleemideks.

Hilberti programmi taust ja tähendus

Hilberti 23 probleemi esitamine Pariisi internatsionaalse matemaatiliste tööstuste kongressi ettekandes märgistas sajandi alguse tähtsa suunana: problemaatika ja konkreetsete väljakutsete fookuse kaudu suunata kogu matemaatika arengut. Paljud probleemid ei olnud pelgalt tehnilised ülesanded, vaid pigem laiahaardelised küsimused, mis kutsusid esile uusi teooriaid, meetodeid ja uurimissuundi – alates matemaatilisest loogikast ja arvuteooriast kuni algebra, arvu­teooria, geomeetria ja füüsika matemaatika ning analüüsini.

Mõned tuntumad näited ja nende lahendused või tagajärjed

  • Esimene probleem (kontinuumi hüpotees) – Cantori kontinuumi hüpotees oli Hilberti esimeseks küsimuseks. Aja jooksul osutus see ülesanne erilisteks loogika- ja aksiomaatiliste uurimiste jaoks: Kurt Gödel ja Paul Cohen näitasid, et kontinuumi hüpotees on sõltumatu tavapärastest hulga­teooria aksiomatest (ZFC), st seda ei saa ei tõestada ega ümber lükata nende aksiomade abil.
  • Teine probleem (aritmeetika konsistentsus) – Hilberti üks eesmärke oli anda kindel, formaalne tõestus aritmeetika (ja matemaatika) konsistentsusest. Kurt Gödel’i 1930. aastate mitte­täiuslikkuse teoreemid muutsid selle ootuse sisuliselt keerukamaks: piisavalt võimsas formaalsüsteemis ei saa süsteem omaenda konsistentsust täielikult tõestada ilma teatud eeldusteta.
  • Kümnes probleem (Diofantilised võrrandid) – Hilberti kümnes küsimus küsis algoritmi olemasolu selleks, et määrata, kas antud diofantiline võrrand omab täisarvulisi lahendeid. 1970. aastaks näitas Yuri Matiyasevich koos varasemate tööd teinud teadlastega, et sellist üldist algoritmi ei ole — vastus on „ei”. See tulemus sidus loogika, arvutusteooria ja numberteooria ning oli oluline samm arusaamisel, mida saab arvutuste abil üldse otsustada.
  • Kolmas probleem (ruumiliste polüeedrite lõikamine) – Hilberti kolmnes käsitles polüeedrite lõikamiste võrdväärsust (scissors-congruence). Paula Dehn leidis varakult lahenduse, näidates, et üldjuhul ei ole sama mahuga polüeedrid alati lõigeldavad üksteiseks.
  • Kaheksas probleem (aritmeetika ja algfunktsioonid) – Hilberti kaheksas sisaldas suuri küsimusi alates Riemanni hüpoteesist kuni algarvude jaotuse ning Goldbachi konjektuurini. Paljud selles punktis olevad probleemid on tänaseni lahendamata ja jäävad numbriteooria keskseteks väljakutseteks.
  • Kuueteistkümnes probleem (reaalalgbera ja tasandite topoloogia) – See küsimustik hõlmas reaalse ja komplekssel tasandil paiknevate algebraliste kõverate ning vektorväljade uurimist. Mõned osad said edusamme, teised jäid osaliselt avatud ja on tänaseni aktiivse uurimise objektiks.
  • Kuueteistkümnes ja teised „praktilised” küsimused – Hilberti kuues (füüsika aksiomaatika) ja mitmed teised probleemid on innustanud formaalsemate lähenemiste arendamist füüsika matemaatikas, kuid täielikku, üksmeelset lahendust nendele ei ole andnud.

Klassifikatsiooni keerukus ja ajalooline areng

Tuleb märkida, et arvudena „lahendatud”, „osaliselt lahendatud” või „ebamäärased” võivad ajas ja autorite lõikes varieeruda. Mõne probleemi puhul leiti selge, lõplik vastus; teise puhul ilmnes, et probleemi täpne sõnastus oli ebapiisav või liiga laiahaardeline, mistõttu eristasid ajaloolased ja filosoofid mitu erinevat alamküsimust. Samuti viisid mitmed lahendused uute teadusharude tekkeni — mõnikord „lahendati” ainult osa küsimusest või näidati, et osa küsimusest on aksiomaatiliselt sõltumatu.

Pärand ja kaasaegne mõju

Hilberti probleemide tähtsus ei seisne ainult selles, kui palju konkreetseid ülesandeid on otse lahendatud, vaid peamiselt selles, et need suunasid terveid uurimissuundi terveks sajandiks. Nende mõju hulka kuulub:

  • matemaatilise loogika ja teooria areng (Gödel, Matiyasevich jt),
  • numberteooria ja aritmeetika uued meetodid,
  • topoloogia ja geomeetria sügavamad struktuurid,
  • käitumise modelleerimine ja aksiomaatiline lähenemine matemaatilisele füüsikale.

Hilberti nimekirja vaim elab edasi — näiteks inspireeris see 2000. aastal Clay Matemaatikainstituuti koostama aastatuhande auhinna probleemide nimekirja, mis tõstatas kaasaegseid raskusi ja pakkus nende lahendajatele rahalisi auhindu. Paljud tänapäeva matemaatika kuumad uurimisteemad on otseselt või kaudselt seotud Hilberti poolt esile tõstetud küsimustega.

Lõppkokkuvõttes on Hilberti 23 probleemi näide sellest, kuidas julged ja selgelt sõnastatud küsimused võivad suunata teaduslikku mõtlemist, sünnitada uusi distsipliine ja seada ette väljakutseid, mille lahendamine võtab aastakümneid või isegi terveid põlvkondi.