Hilberti probleemid: 23 lahendamata küsimust ja nende mõju matemaatikale
Hilberti probleemid: 23 matemaatilist väljakutset, nende lahendamata mõistatused ja mõju matemaatika arengule ning ajaloole.
1900. aastal avaldas matemaatik David Hilbert nimekirja 23 lahendamata matemaatilisest probleemist. Probleemide nimekiri osutus väga mõjukaks. Pärast Hilberti surma leiti tema kirjutistest veel üks probleem, mida tänapäeval mõnikord nimetatakse Hilberti 24. probleemiks. See probleem käsitleb kriteeriumide leidmist, mis näitavad, et mingi probleemi lahendus on kõige lihtsam võimalik.
23 probleemist kolm olid 2012. aastal lahendamata, kolm olid liiga ebamäärased, et neid lahendada, ja kuus olid osaliselt lahendatavad. Arvestades probleemide mõju, sõnastas Clay Matemaatikainstituut 2000. aastal sarnase nimekirja, mida nimetati aastatuhande auhinna probleemideks.
Hilberti programmi taust ja tähendus
Hilberti 23 probleemi esitamine Pariisi internatsionaalse matemaatiliste tööstuste kongressi ettekandes märgistas sajandi alguse tähtsa suunana: problemaatika ja konkreetsete väljakutsete fookuse kaudu suunata kogu matemaatika arengut. Paljud probleemid ei olnud pelgalt tehnilised ülesanded, vaid pigem laiahaardelised küsimused, mis kutsusid esile uusi teooriaid, meetodeid ja uurimissuundi – alates matemaatilisest loogikast ja arvuteooriast kuni algebra, arvuteooria, geomeetria ja füüsika matemaatika ning analüüsini.
Mõned tuntumad näited ja nende lahendused või tagajärjed
- Esimene probleem (kontinuumi hüpotees) – Cantori kontinuumi hüpotees oli Hilberti esimeseks küsimuseks. Aja jooksul osutus see ülesanne erilisteks loogika- ja aksiomaatiliste uurimiste jaoks: Kurt Gödel ja Paul Cohen näitasid, et kontinuumi hüpotees on sõltumatu tavapärastest hulgateooria aksiomatest (ZFC), st seda ei saa ei tõestada ega ümber lükata nende aksiomade abil.
- Teine probleem (aritmeetika konsistentsus) – Hilberti üks eesmärke oli anda kindel, formaalne tõestus aritmeetika (ja matemaatika) konsistentsusest. Kurt Gödel’i 1930. aastate mittetäiuslikkuse teoreemid muutsid selle ootuse sisuliselt keerukamaks: piisavalt võimsas formaalsüsteemis ei saa süsteem omaenda konsistentsust täielikult tõestada ilma teatud eeldusteta.
- Kümnes probleem (Diofantilised võrrandid) – Hilberti kümnes küsimus küsis algoritmi olemasolu selleks, et määrata, kas antud diofantiline võrrand omab täisarvulisi lahendeid. 1970. aastaks näitas Yuri Matiyasevich koos varasemate tööd teinud teadlastega, et sellist üldist algoritmi ei ole — vastus on „ei”. See tulemus sidus loogika, arvutusteooria ja numberteooria ning oli oluline samm arusaamisel, mida saab arvutuste abil üldse otsustada.
- Kolmas probleem (ruumiliste polüeedrite lõikamine) – Hilberti kolmnes käsitles polüeedrite lõikamiste võrdväärsust (scissors-congruence). Paula Dehn leidis varakult lahenduse, näidates, et üldjuhul ei ole sama mahuga polüeedrid alati lõigeldavad üksteiseks.
- Kaheksas probleem (aritmeetika ja algfunktsioonid) – Hilberti kaheksas sisaldas suuri küsimusi alates Riemanni hüpoteesist kuni algarvude jaotuse ning Goldbachi konjektuurini. Paljud selles punktis olevad probleemid on tänaseni lahendamata ja jäävad numbriteooria keskseteks väljakutseteks.
- Kuueteistkümnes probleem (reaalalgbera ja tasandite topoloogia) – See küsimustik hõlmas reaalse ja komplekssel tasandil paiknevate algebraliste kõverate ning vektorväljade uurimist. Mõned osad said edusamme, teised jäid osaliselt avatud ja on tänaseni aktiivse uurimise objektiks.
- Kuueteistkümnes ja teised „praktilised” küsimused – Hilberti kuues (füüsika aksiomaatika) ja mitmed teised probleemid on innustanud formaalsemate lähenemiste arendamist füüsika matemaatikas, kuid täielikku, üksmeelset lahendust nendele ei ole andnud.
Klassifikatsiooni keerukus ja ajalooline areng
Tuleb märkida, et arvudena „lahendatud”, „osaliselt lahendatud” või „ebamäärased” võivad ajas ja autorite lõikes varieeruda. Mõne probleemi puhul leiti selge, lõplik vastus; teise puhul ilmnes, et probleemi täpne sõnastus oli ebapiisav või liiga laiahaardeline, mistõttu eristasid ajaloolased ja filosoofid mitu erinevat alamküsimust. Samuti viisid mitmed lahendused uute teadusharude tekkeni — mõnikord „lahendati” ainult osa küsimusest või näidati, et osa küsimusest on aksiomaatiliselt sõltumatu.
Pärand ja kaasaegne mõju
Hilberti probleemide tähtsus ei seisne ainult selles, kui palju konkreetseid ülesandeid on otse lahendatud, vaid peamiselt selles, et need suunasid terveid uurimissuundi terveks sajandiks. Nende mõju hulka kuulub:
- matemaatilise loogika ja teooria areng (Gödel, Matiyasevich jt),
- numberteooria ja aritmeetika uued meetodid,
- topoloogia ja geomeetria sügavamad struktuurid,
- käitumise modelleerimine ja aksiomaatiline lähenemine matemaatilisele füüsikale.
Hilberti nimekirja vaim elab edasi — näiteks inspireeris see 2000. aastal Clay Matemaatikainstituuti koostama aastatuhande auhinna probleemide nimekirja, mis tõstatas kaasaegseid raskusi ja pakkus nende lahendajatele rahalisi auhindu. Paljud tänapäeva matemaatika kuumad uurimisteemad on otseselt või kaudselt seotud Hilberti poolt esile tõstetud küsimustega.
Lõppkokkuvõttes on Hilberti 23 probleemi näide sellest, kuidas julged ja selgelt sõnastatud küsimused võivad suunata teaduslikku mõtlemist, sünnitada uusi distsipliine ja seada ette väljakutseid, mille lahendamine võtab aastakümneid või isegi terveid põlvkondi.
Kokkuvõte
Teatavate probleemide sõnastamine on parem kui teiste puhul. Puhtalt formuleeritud Hilberti probleemidest on konsensuslikult aktsepteeritud lahendus probleemidele 3, 7, 10, 11, 13, 14, 17, 19, 20 ja 21. Seevastu probleemidel 1, 2, 5, 9, 15, 18+ ja 22 on lahendused, mis on osaliselt aktsepteeritud, kuid selle üle, kas see lahendab probleemi, on vaidlusi.
Ülesande 18, Kepleri oletuse, lahendamisel kasutatakse arvutipõhist tõestust. See on vastuoluline, sest inimlugeja ei suuda tõestust mõistliku ajaga kontrollida.
Seega jäävad 16, 8 (Riemanni hüpotees) ja 12 lahendamata. Selle klassifikatsiooni järgi on 4, 16 ja 23 liiga ebamäärased, et neid kunagi lahendatuks nimetada. Ka kõrvaldatud 24 kuuluks sellesse klassi. 6 loetakse pigem füüsika kui matemaatika probleemiks.
Probleemide tabel
Hilberti kakskümmend kolm probleemi on järgmised:
| Probleem | Lühike selgitus | Staatus | Aasta Lahendatud |
| 1. | Kontinuumhüpotees (st ei ole olemas kogumit, mille kardinaalsus oleks rangelt täisarvude ja reaalarvude vahel). | On tõestatud, et Zermelo-Fraenkeli hulgateooria raames on võimatu tõestada või ümber lükata valiku aksioomiga või ilma (tingimusel, et Zermelo-Fraenkeli hulgateooria koos valiku aksioomiga või ilma on järjepidev, st ei sisalda kahte teoreemi, millest üks on teise eitus). Selles osas, kas see on probleemi lahendus, puudub üksmeel. | 1963 |
| 2. | Tõestage, et aritmeetika aksioomid on järjepidevad. | Selles osas, kas Gödeli ja Gentzeni tulemused annavad lahenduse Hilberti esitatud probleemile, ei ole üksmeelt. Gödeli 1931. aastal tõestatud teine mittetäielikkuse teoreem näitab, et selle järjepidevuse tõestamist ei saa teostada aritmeetikas endas. Gentzeni järjepidevuse tõestus (1936) näitab, et aritmeetika järjepidevus tuleneb ordinali ε0 hästi põhjendatud olemusest. | 1936? |
| Kolmas | Kas alati on võimalik kahe võrdse mahuga hulktahuka puhul lõigata esimene hulktahukas lõplikult paljudeks hulktahukateks, mida saab uuesti kokku panna, et saada teine hulktahukas? | Lahendatud. Tulemus: ei, tõestatud Dehni invariante kasutades. | 1900 |
| Neljas | Konstrueerida kõik meetrika, kus jooned on geodeetilised. | Liiga ebamäärane, et öelda, kas lahendatud või mitte. | - |
| 5. | Kas pidevad rühmad on automaatselt diferentseeritud rühmad? | Lahendas Andrew Gleason või Hidehiko Yamabe, olenevalt sellest, kuidas algset avaldust tõlgendada. Kui seda aga mõista kui Hilbert-Smithi oletuse ekvivalenti, on see endiselt lahendamata. | 1953? |
| 6. | Axiomatiseerida kogu füüsika | Osaliselt lahendatud. | - |
| 7. | Kas a b on transtsendentaalne, kui algebraline a ≠ 0,1 ja irratsionaalne algebraline b ? | Lahendatud. Tulemus: jah, mida illustreerib Gelfondi teoreem või Gelfondi-Schneideri teoreem. | 1934 |
| 8. | Riemanni hüpotees ("Riemanni zeta-funktsiooni mis tahes mittetriviaalse nulli reaalosa on ½") ja muud algarvuprobleemid, sealhulgas Goldbachi oletus ja kaksikpõhimõtte (twin prime conjecture). | Lahendamata. | - |
| 9. | Leia kõige üldisem vastastikkuse teoreemi seadus mis tahes algebralises arvuväljas | Osaliselt lahendatud. | - |
| 10. | Leidke algoritm, mis määrab kindlaks, kas antud polünoomi diofantne võrrand täisarvuliste koefitsientidega omab täisarvulist lahendust. | Lahendatud. Tulemus: võimatu, Matiyasevichi teoreem tähendab, et sellist algoritmi ei ole olemas. | 1970 |
| 11. | Algebraliste arvkoefitsientidega kvadraatiliste vormide lahendamine. | Osaliselt lahendatud. [] | - |
| 12. | Laiendada Kroneckeri-Weberi teoreemi ratsionaalarvude abeljeefiliste laienduste kohta mis tahes baasarvuväljale. | Osaliselt lahendatud klassiväljateooria abil, kuigi lahendus ei ole nii selge kui Kroneckeri-Weberi teoreem. | - |
| 13. | 7. astme võrrandite lahendamine kahe parameetri pidevate funktsioonide abil. | Lahendamata. Probleemi lahendas osaliselt Vladimir Arnold Andrey Kolmogorovi tööde põhjal. | 1957 |
| 14. | Kas polünoomi ringil toimiva algebralise grupi invariantside ring on alati lõplikult genereeritud? | Lahendatud. Tulemus: ei, vastunäite konstrueeris Masayoshi Nagata. | 1959 |
| 15. | Schuberti loendamisarvutuse range alus. | Osaliselt lahendatud. [] | - |
| 16. | Kirjeldada reaalse algebralise kõvera ja polünoomi vektorvälja piiritsüklitena tekkivate ovaalide suhtelist asendit tasapinnal. | Lahendamata. | - |
| 17. | Kindla ratsionaalfunktsiooni väljendamine ruutude summade kvootidena | Emil Artin ja Charles Delzell. Tulemus: Määrati kindlaks vajalike ruuduliste terminite arvu ülempiir. Alumise piiri leidmine on veel lahtine probleem. | 1927 |
| 18. | (a) Kas on olemas hulktahukas, mis võimaldab ainult anisoeedrilist katteviimistlust kolmedimensiooniliselt? | (a) Otsustatud. Tulemus: jah (Karl Reinhardt). | (a) 1928 |
| 19. | Kas Lagrangi lahendused on alati analüütilised? | Lahendatud. Tulemus: jah, tõestanud Ennio de Giorgi ja sõltumatult ja erinevaid meetodeid kasutades John Forbes Nash. | 1957 |
| 20. | Kas kõik variatsiooniprobleemid teatud piirtingimustega on lahendatavad? | Lahendatud. Märkimisväärne uurimisteema kogu 20. sajandi jooksul, mis kulmineerus lahendustega[] mittelineaarsel juhul. | - |
| 21. | Lineaarsete diferentsiaalvõrrandite olemasolu tõendamine, millel on etteantud monodroomne rühm | Lahendatud. Tulemus: Jah või ei, sõltuvalt probleemi täpsematest sõnastustest. [] | - |
| 22. | Analüütiliste seoste ühtlustamine automorfsete funktsioonide abil | Lahendatud. [] | - |
| 23. | Variatsioonikalkulatsiooni edasiarendus | Lahendamata. | - |
Küsimused ja vastused
K: Kes avaldas 1900. aastal nimekirja 23 lahendamata matemaatilisest probleemist?
V: David Hilbert avaldas 1900. aastal 23 lahendamata matemaatilise probleemi nimekirja.
K: Kas Hilberti 24. probleem oli osa algsest nimekirjast?
V: Ei, Hilberti 24. probleem leiti Hilberti kirjutistest pärast tema surma.
K: Milline on Hilberti 24. probleem?
V: Hilberti 24. probleem käsitleb kriteeriumide leidmist, mis näitavad, et mingi probleemi lahendus on kõige lihtsam võimalik.
Küsimus: Kas kõik 23 Hilberti loendis olevat probleemi olid 2012. aastaks lahendatud?
V: Ei, 2012. aastal oli Hilberti nimekirjas olevatest 23 probleemist kolm lahendamata.
K: Kas mõni Hilberti nimekirjas olev probleem oli liiga ebamäärane, et seda lahendada?
V: Jah, kolm Hilberti nimekirjas olevatest probleemidest olid liiga ebamäärased, et neid lahendada.
K: Kui paljud Hilberti nimekirjas olevatest probleemidest olid osaliselt lahendatavad?
V: Hilberti nimekirjas olevatest probleemidest kuus olid osaliselt lahendatavad.
K: Kas Clay matemaatika instituut koostas Hilberti probleemidele sarnase nimekirja?
V: Jah, Clay Matemaatikainstituut lõi 2000. aastal sarnase nimekirja, mida nimetatakse aastatuhande auhinna probleemideks.
Otsige