Hilberti probleemid
1900. aastal avaldas matemaatik David Hilbert nimekirja 23 lahendamata matemaatilisest probleemist. Probleemide nimekiri osutus väga mõjukaks. Pärast Hilberti surma leiti tema kirjutistest veel üks probleem, mida tänapäeval mõnikord nimetatakse Hilberti 24. probleemiks. See probleem käsitleb kriteeriumide leidmist, mis näitavad, et mingi probleemi lahendus on kõige lihtsam võimalik.
23 probleemist kolm olid 2012. aastal lahendamata, kolm olid liiga ebamäärased, et neid lahendada, ja kuus olid osaliselt lahendatavad. Arvestades probleemide mõju, sõnastas Clay Matemaatikainstituut 2000. aastal sarnase nimekirja, mida nimetati aastatuhande auhinna probleemideks.
Kokkuvõte
Teatavate probleemide sõnastamine on parem kui teiste puhul. Puhtalt formuleeritud Hilberti probleemidest on konsensuslikult aktsepteeritud lahendus probleemidele 3, 7, 10, 11, 13, 14, 17, 19, 20 ja 21. Seevastu probleemidel 1, 2, 5, 9, 15, 18+ ja 22 on lahendused, mis on osaliselt aktsepteeritud, kuid selle üle, kas see lahendab probleemi, on vaidlusi.
Ülesande 18, Kepleri oletuse, lahendamisel kasutatakse arvutipõhist tõestust. See on vastuoluline, sest inimlugeja ei suuda tõestust mõistliku ajaga kontrollida.
Seega jäävad 16, 8 (Riemanni hüpotees) ja 12 lahendamata. Selle klassifikatsiooni järgi on 4, 16 ja 23 liiga ebamäärased, et neid kunagi lahendatuks nimetada. Ka kõrvaldatud 24 kuuluks sellesse klassi. 6 loetakse pigem füüsika kui matemaatika probleemiks.
Probleemide tabel
Hilberti kakskümmend kolm probleemi on järgmised:
| Probleem | Lühike selgitus | Staatus | Aasta Lahendatud |
| 1. | Kontinuumhüpotees (st ei ole olemas kogumit, mille kardinaalsus oleks rangelt täisarvude ja reaalarvude vahel). | On tõestatud, et Zermelo-Fraenkeli hulgateooria raames on võimatu tõestada või ümber lükata valiku aksioomiga või ilma (tingimusel, et Zermelo-Fraenkeli hulgateooria koos valiku aksioomiga või ilma on järjepidev, st ei sisalda kahte teoreemi, millest üks on teise eitus). Selles osas, kas see on probleemi lahendus, puudub üksmeel. | 1963 |
| 2. | Tõestage, et aritmeetika aksioomid on järjepidevad. | Selles osas, kas Gödeli ja Gentzeni tulemused annavad lahenduse Hilberti esitatud probleemile, ei ole üksmeelt. Gödeli 1931. aastal tõestatud teine mittetäielikkuse teoreem näitab, et selle järjepidevuse tõestamist ei saa teostada aritmeetikas endas. Gentzeni järjepidevuse tõestus (1936) näitab, et aritmeetika järjepidevus tuleneb ordinali ε0 hästi põhjendatud olemusest. | 1936? |
| Kolmas | Kas alati on võimalik kahe võrdse mahuga hulktahuka puhul lõigata esimene hulktahukas lõplikult paljudeks hulktahukateks, mida saab uuesti kokku panna, et saada teine hulktahukas? | Lahendatud. Tulemus: ei, tõestatud Dehni invariante kasutades. | 1900 |
| Neljas | Konstrueerida kõik meetrika, kus jooned on geodeetilised. | Liiga ebamäärane, et öelda, kas lahendatud või mitte. | - |
| 5. | Kas pidevad rühmad on automaatselt diferentseeritud rühmad? | Lahendas Andrew Gleason või Hidehiko Yamabe, olenevalt sellest, kuidas algset avaldust tõlgendada. Kui seda aga mõista kui Hilbert-Smithi oletuse ekvivalenti, on see endiselt lahendamata. | 1953? |
| 6. | Axiomatiseerida kogu füüsika | Osaliselt lahendatud. | - |
| 7. | Kas a b on transtsendentaalne, kui algebraline a ≠ 0,1 ja irratsionaalne algebraline b ? | Lahendatud. Tulemus: jah, mida illustreerib Gelfondi teoreem või Gelfondi-Schneideri teoreem. | 1934 |
| 8. | Riemanni hüpotees ("Riemanni zeta-funktsiooni mis tahes mittetriviaalse nulli reaalosa on ½") ja muud algarvuprobleemid, sealhulgas Goldbachi oletus ja kaksikpõhimõtte (twin prime conjecture). | Lahendamata. | - |
| 9. | Leia kõige üldisem vastastikkuse teoreemi seadus mis tahes algebralises arvuväljas | Osaliselt lahendatud. | - |
| 10. | Leidke algoritm, mis määrab kindlaks, kas antud polünoomi diofantne võrrand täisarvuliste koefitsientidega omab täisarvulist lahendust. | Lahendatud. Tulemus: võimatu, Matiyasevichi teoreem tähendab, et sellist algoritmi ei ole olemas. | 1970 |
| 11. | Algebraliste arvkoefitsientidega kvadraatiliste vormide lahendamine. | Osaliselt lahendatud. [] | - |
| 12. | Laiendada Kroneckeri-Weberi teoreemi ratsionaalarvude abeljeefiliste laienduste kohta mis tahes baasarvuväljale. | Osaliselt lahendatud klassiväljateooria abil, kuigi lahendus ei ole nii selge kui Kroneckeri-Weberi teoreem. | - |
| 13. | 7. astme võrrandite lahendamine kahe parameetri pidevate funktsioonide abil. | Lahendamata. Probleemi lahendas osaliselt Vladimir Arnold Andrey Kolmogorovi tööde põhjal. | 1957 |
| 14. | Kas polünoomi ringil toimiva algebralise grupi invariantside ring on alati lõplikult genereeritud? | Lahendatud. Tulemus: ei, vastunäite konstrueeris Masayoshi Nagata. | 1959 |
| 15. | Schuberti loendamisarvutuse range alus. | Osaliselt lahendatud. [] | - |
| 16. | Kirjeldada reaalse algebralise kõvera ja polünoomi vektorvälja piiritsüklitena tekkivate ovaalide suhtelist asendit tasapinnal. | Lahendamata. | - |
| 17. | Kindla ratsionaalfunktsiooni väljendamine ruutude summade kvootidena | Emil Artin ja Charles Delzell. Tulemus: Määrati kindlaks vajalike ruuduliste terminite arvu ülempiir. Alumise piiri leidmine on veel lahtine probleem. | 1927 |
| 18. | (a) Kas on olemas hulktahukas, mis võimaldab ainult anisoeedrilist katteviimistlust kolmedimensiooniliselt? | (a) Otsustatud. Tulemus: jah (Karl Reinhardt). | (a) 1928 |
| 19. | Kas Lagrangi lahendused on alati analüütilised? | Lahendatud. Tulemus: jah, tõestanud Ennio de Giorgi ja sõltumatult ja erinevaid meetodeid kasutades John Forbes Nash. | 1957 |
| 20. | Kas kõik variatsiooniprobleemid teatud piirtingimustega on lahendatavad? | Lahendatud. Märkimisväärne uurimisteema kogu 20. sajandi jooksul, mis kulmineerus lahendustega[] mittelineaarsel juhul. | - |
| 21. | Lineaarsete diferentsiaalvõrrandite olemasolu tõendamine, millel on etteantud monodroomne rühm | Lahendatud. Tulemus: Jah või ei, sõltuvalt probleemi täpsematest sõnastustest. [] | - |
| 22. | Analüütiliste seoste ühtlustamine automorfsete funktsioonide abil | Lahendatud. [] | - |
| 23. | Variatsioonikalkulatsiooni edasiarendus | Lahendamata. | - |
Küsimused ja vastused
K: Kes avaldas 1900. aastal nimekirja 23 lahendamata matemaatilisest probleemist?
V: David Hilbert avaldas 1900. aastal 23 lahendamata matemaatilise probleemi nimekirja.
K: Kas Hilberti 24. probleem oli osa algsest nimekirjast?
V: Ei, Hilberti 24. probleem leiti Hilberti kirjutistest pärast tema surma.
K: Milline on Hilberti 24. probleem?
V: Hilberti 24. probleem käsitleb kriteeriumide leidmist, mis näitavad, et mingi probleemi lahendus on kõige lihtsam võimalik.
Küsimus: Kas kõik 23 Hilberti loendis olevat probleemi olid 2012. aastaks lahendatud?
V: Ei, 2012. aastal oli Hilberti nimekirjas olevatest 23 probleemist kolm lahendamata.
K: Kas mõni Hilberti nimekirjas olev probleem oli liiga ebamäärane, et seda lahendada?
V: Jah, kolm Hilberti nimekirjas olevatest probleemidest olid liiga ebamäärased, et neid lahendada.
K: Kui paljud Hilberti nimekirjas olevatest probleemidest olid osaliselt lahendatavad?
V: Hilberti nimekirjas olevatest probleemidest kuus olid osaliselt lahendatavad.
K: Kas Clay matemaatika instituut koostas Hilberti probleemidele sarnase nimekirja?
V: Jah, Clay Matemaatikainstituut lõi 2000. aastal sarnase nimekirja, mida nimetatakse aastatuhande auhinna probleemideks.
