Kontinuumihüpotees: definitsioon, ajalugu ja matemaatiline tähendus

Kontinuumihüpotees — selge definitsioon, ajalooline ülevaade Cantorist, Gödelist ja Cohenist ning selle sügav matemaatiline tähendus. Loe põhjalik artikkel.

Kontinuumihüpotees on hüpotees, mille tavaline sõnastus ütleb: ei eksisteeri kogumit, mille suurus oleks teisiti öeldes nii suurem kui naturaalarvude hulk kui ka väiksem kui reaalarvude hulk. Selle hüpoteesi esitas 1877. aastal Georg Cantor.

Definitsioon ja lihtne seletus

Naturaalarvud (1, 2, 3, ...) moodustavad hulga, mille kohta öeldakse, et see on lõpmatult palju elemente — täpsemini on see hulga kardinaalsus countable (tuntud ka nimega aleph-null, ℵ0). Ratta- ja lõpmatustüüpi mõistete võrdlemisel kasutatakse kardinaalsust: kaks hulka on sama suurusega siis, kui nende vahel on bijektsioon (üks-ühele vastavus).

Cantor tõestas diagonaliseerimisargumendiga, et reaalarvude hulk on loendamatult suurem kui naturaalarvude hulk — see tähendab, et reaalarve ei saa järjestada loendamatule loetelule. Reaalarvude kardinaalsust nimetatakse sageli kontinuumiks (tähis c) ja see on vähemalt suurem kui ℵ0. Kontinuumihüpotees väidab täpsemalt, et kontinuum ei ole ükski kardinaalsus vahetult ℵ0 ja c vahel ehk et c = ℵ1 (kus ℵ1 on esimene loendamatu kardinaal).

Ajalugu ja olulised tulemused

Kontinuumihüpotees oli esimene probleem David Hilberti 1900. aastal avaldatud 23 probleemi nimekirjas, mis mõjutas 20. sajandi matemaatika arengut. Põhilised loogilised tulemused hüpoteesi kohta olid järgmised:

• Kurt Gödel näitas 1940. aastal, et kui Zermelo–Fraenkel’i hulgateooria koos valikuaktsiooniga on konsistentne, siis on ka kontinuumihüpotees konsistentne — ta konstrueeris nn konstrueeritava universumi L, kus CH kehtib. See tähendab, et CH ei ole ZFC-st (Zermelo–Fraenkel + valik) tuletatav eitusega.
• 1963. aastal tõestas Paul Cohen, et CH ei ole ka ZFC-st tõestatav — ta arendas välja meetodi, mida nimetatakse forcinguks, ja näitas, et saab leida mudeli ZFC-st, kus CH on väär, ning mudeli, kus CH on tõene. Seega CH on ZFC-s iseseisev (neither provable nor disprovable). Coheni töö andis talle 1966. aastal Fieldsi medali.

Originaalne tekstis mainitud Zermelo-Fraenkelikogumiteteooria (tavaliselt lühendatult ZF või ZFC, kui lisada valikuaksioom) on tänapäeval laialdaselt kasutatud aksioomide süsteem matemaatilise hulgateooria aluseks; CH iseseisvus tähendab, et ZFC-s pole piisavalt osi, et selle tõest või ümber lükata.

Matemaatiline tähendus ja tagajärjed

Kontinuumihüpoteesi iseseisvus ZFC-st on fundamentaalne tulemus matemaatika alusfilosoofias: see näitab, et standardne aksioomasüsteem ei otsusta kõiki kärpivaid küsimusi kardinaalide kohta. Sellel on mitu tagajärge:

• On võimalik, et mingi loogiliselt loogiline ja intuitiivne uus aksioom võiks CH kas kinnitada või ümber lükata — seetõttu on osa matemaatikuid uurinud täiendavaid aksioome (nt suurte kardinaalide aksioomid või teised otsene loogilised lisad).
• Mitmed spetsiifilised matemaatilised väited osutuvad CH-ga seotud või sellest sõltuvaks; sõltuvus tähendab, et nende tõesus võib sõltuda valitud aksioomasüsteemist.
• Teooriad nagu Gödel'i konstrueeritav universum L ja Coheni forcing pakuvad tööriistu mudelite ehitamiseks, mis aitab uurida, millised omadused on aksioomidest sõltumatud.

Muud vaatenurgad ja tänased uurimissuunad

Kuigi CH on ZFC-st iseseisev, jätkub arutelu selle üle, kas matemaatikas peaksime aktsepteerima uusi "loomulikke" aksioome, mis otsustavad CH. Mõned teadlased toetavad selliseid täiendusi (nt teatud suurte kardinaalide või determinismi-aksioome siirete kaudu), teised peavad CH iseseisvust loomulikuks piiranguks meie aksioomaatilisele süsteemile.

Lisaks on olemas üldistused nagu üldine kontinuumihüpotees (GCH), mis seob kõik järgnevad kardinaalsused: 2^{ℵα} = ℵ_{α+1} iga ordinaali α kohta. GCH on samuti ZFC-s iseseisev (Gödel näitas modelle, kus see kehtib; Coheni meetod näitas ka vastupidisi võimalusi).

Kokkuvõte

Kontinuumihüpotees puudutab fundamentaalset küsimust hulga suuruste kohta: kas on olemas kardinaalsus vahepeal ℵ0 ja kogu reaalarvude kardinaalsuse vahel. Cantor esitas küsimuse 19. sajandil; 20. sajandi keskel tõestati, et CH on ZFC-s iseseisev — seda ei saa selle aksioomasüsteemi raames ei tõestada ega ümber lükata. See tulemus on püsivasti mõjutanud matemaatika aluseid ja suunanud uurimisi uute aksioomide ja mudelite leidmise poole.

Küsimused ja vastused

K: Mis on kontinuumihüpotees?

K: Kes ja millal väitis kontinuumhüpoteesi?

Küsimus: Kas lõpmatult palju naturaalarvusid on olemas?

K: Milline on naturaalarvude hulga kardinaalsus?

K: Kas reaalarvusid on rohkem kui naturaalarve?

K: Kas kontinuumihüpoteesi saab falsifitseerida Zermelo-Fraenkeli kogumiteteooria abil?

K: Kes näitas, et Zermelo-Fraenkeli hulgateooriat ei saa kasutada kontiinumihüpoteesi tõestamiseks?

Otsing