Riemanni hüpotees on matemaatiline küsimus (oletus). Paljud inimesed peavad hüpoteesi tõestuse leidmist üheks raskemaks ja tähtsamaks lahendamata probleemiks puhtas matemaatikas. Vastus Riemanni hüpoteesile võib olla kas "jah" või "ei". Hüpotees on nime saanud matemaatiku Bernhard Riemanni järgi, kes esitas selle 1859. aastal ja tutvustas seal erilise funktsiooni, mida nüüd nimetatakse Riemanni zeta-funktsiooniks.
Mida zeta-funktsioon tähendab? Riemanni zeta-funktsioon ζ(s) on defineeritud kompleksarvulise muutujaga s = σ + it esialgu seeriaga ζ(s) = ∑_{n=1}^∞ 1/n^s, mis läheb kokku ja on kehtiv juhul Re(s) > 1. Sellel on oluline omadus, mida nimetatakse Euler'i korrutiseks:
- ζ(s) = ∏_{p prime} (1 − p^{−s})^{−1} (kehtib Re(s) > 1).
See näitab, et zeta-funktsioon sisaldab kogu infot algarvude kohta: tootena iga algarvu panus. Riemann näitas ka, et ζ(s) on analüütiliselt jätkatav üle suure osa komplekstasandi (v.a. s = 1, kus on lihtne pol). Zeta-funktsioonil on nullkohad (kohad, kus ζ(s) = 0) ja need nullkohad mõjutavad otse seda, kuidas algarvud "jaotuvad".
Mis täpselt on Riemanni hüpotees? Hüpotees väidab, et kõik nn mitte-triaalsed nullkohad asuvad kriitilisel joonel Re(s) = 1/2 komplekstasandil. Zeta-funktsioonil on ka nn triviaalsed nullkohad s = −2, −4, −6, ...; need ei kuulu hüpoteesi sisu alla. Mitte-trivaalsed nullkohad paiknevad kritiilises ribas 0 < Re(s) < 1 ja Riemanni hüpotees ütleb, et nende reaalsed osad on kõik täpselt 1/2.
Miks see on oluline algarvude jaoks? Seos seisneb selles, et nullkohad põhjustavad oskusi ja kõikumisi algarvude loendamises. Näiteks primide arvu funktsioon π(x) (algarvude arv kuni x) järgib peamist ligikaudset valemit, mida annab primide arvu teoreem: π(x) ~ x / log x. Riemanni hüpotees ei muuda seda põhiilditust, kuid see annaks väga tugevaid hinnanguid vea suuruse kohta selle ligikaudse valemi ja tegeliku funktsiooni vahel. Konkreetsemalt võib Riemanni hüpoteesi korral näidata, et vea suurus on ligikaudu O(x^{1/2} log x) (täpsemad vormid sõltuvad täpsetest avaldistest), mis on palju karmim piir kui mistahes hetkel tõestatud üldised hinnangud.
Praktikas tähendab see, et kui matemaatikud teaksid, et hüpotees on tõene, saaksid nad palju täpsemalt kirjeldada, kuidas algarvud paiknevad ja kui suured on variatsioonid võrreldes ootuspärase käitumisega. See aitaks näiteks hinnata algarvude vahemaid, primide esinemist erinevates vahemikes ja teisi omadusi, mis on nii teoreetiliselt huvitavad kui ka mõnikord praktilised krüptograafias ja arvutusteoorias.
Mõned olulised täiendavad punktid ja tagajärjed:
- Riemanni zeta-funktsiooniga seotud avaldised annavad Riemanni eksplitsiidse valemi, mis ühendab nullkohad otse primide loendamise funktsiooniga — nullkohad tekitavad sageduslikke osasid, mis kirjeldavad primide kõikumisi.
- Riemanni hüpoteesil on palju ekvivalente ja tagajärgi: näiteks tugevad piirangud Mertensi funktsioonile M(x), rangemad veahinnangud funktsioonidele ψ(x) ja θ(x), või väited tüüpi π(x) = li(x) + O(x^{1/2} log x).
- Kui hüpotees osutub vääraks, siis olemasolevad algarvude jaotuse hinnangud võivad vajada olulist ümberkirjutamist: võiks esineda ootamatult suuri kõrvalekaldeid primide jaotuses.
Ajalugu, arvuline tõestus ja uurimismeetodid
Riemann pani teema ajalukku 1859. aastal. Hiljem on uurijad kontrollinud arvuliselt miljoneid ja miljardeid mitte-triviaalseid nullkohti ja leidnud, et kõik kontrollitud nullkohad paiknevad kriitilisel joonel Re(s) = 1/2. See pole siiski tõestus, vaid tugev arvuline tõend.
Mitmed teoreetilised lähenemised on pakutud: analüütiline ja multiplicatiivne aritmeetika, spektraalne vaade (Hilbert–Pólya hüpotees, mis otsib mingi energeetikaoperaatori spektrit, mille algarvud annaksid nullkohtade imaginaarosad), juhuslike maatriksite teooria ja seosed kvantkaosega. Erinevad osahüpoteesid, näiteks üldine Riemanni hüpotees (GRH) L-funktsioonide kohta, laiendavad ideed ka teist tüüpi aritmeetiliste funktsioonide peale.
Tunnustamine ja auhind Riemanni hüpotees on nii tähtis ja keeruline, et Clay Matemaatikainstituut nimetas selle üheks Millennium Prize Problem probleemiks ja pani välja 1 000 000 dollarit esimesele, kes selle õigesti tõestab või ümber lükkab. See lisab motiveerivalt suurt tunnustust eduka lahenduse korral.
Kokkuvõte lihtsas keeles: zeta-funktsioon on matemaatiline vahend, mis "koodib" infot algarvude kohta. Riemanni hüpotees on ettepanek, et kõik olulised nullkohad sellest funktsioonist asuvad kindlal joonel komplekstasandil. Kui see ettepanek osutub tõeks, saame palju täpsemaid ja kindlamaid väiteid selle kohta, kuidas algarvud jagunevad — seega on hüpotees sügavalt seotud primide uurimisega ja kogu aritmeetilise teooria mõistmisega.
Oluline on märkida, et kuigi palju teadmisi viitab hüpoteesi õigusele ja see on kontrollitud väga suurel hulgal juhtudel, on matemaatiline tõestus seni puudu — seetõttu on see jätkuvalt üks matemaatika suurtest avatud küsimustest.
