Riemanni hüpotees definitsioon zeta-funktsioon ja tähtsus algarvudes
Riemanni hüpotees on matemaatiline küsimus (oletus). Paljud inimesed peavad hüpoteesi tõestuse leidmist üheks raskemaks ja tähtsamaks lahendamata probleemiks puhtas matemaatikas. Vastus Riemanni hüpoteesile võib olla kas "jah" või "ei". Hüpotees on nime saanud matemaatiku Bernhard Riemanni järgi, kes esitas selle 1859. aastal ja tutvustas seal erilise funktsiooni, mida nüüd nimetatakse Riemanni zeta-funktsiooniks.
Mida zeta-funktsioon tähendab? Riemanni zeta-funktsioon ζ(s) on defineeritud kompleksarvulise muutujaga s = σ + it esialgu seeriaga ζ(s) = ∑_{n=1}^∞ 1/n^s, mis läheb kokku ja on kehtiv juhul Re(s) > 1. Sellel on oluline omadus, mida nimetatakse Euler'i korrutiseks:
- ζ(s) = ∏_{p prime} (1 − p^{−s})^{−1} (kehtib Re(s) > 1).
See näitab, et zeta-funktsioon sisaldab kogu infot algarvude kohta: tootena iga algarvu panus. Riemann näitas ka, et ζ(s) on analüütiliselt jätkatav üle suure osa komplekstasandi (v.a. s = 1, kus on lihtne pol). Zeta-funktsioonil on nullkohad (kohad, kus ζ(s) = 0) ja need nullkohad mõjutavad otse seda, kuidas algarvud "jaotuvad".
Mis täpselt on Riemanni hüpotees? Hüpotees väidab, et kõik nn mitte-triaalsed nullkohad asuvad kriitilisel joonel Re(s) = 1/2 komplekstasandil. Zeta-funktsioonil on ka nn triviaalsed nullkohad s = −2, −4, −6, ...; need ei kuulu hüpoteesi sisu alla. Mitte-trivaalsed nullkohad paiknevad kritiilises ribas 0 < Re(s) < 1 ja Riemanni hüpotees ütleb, et nende reaalsed osad on kõik täpselt 1/2.
Miks see on oluline algarvude jaoks? Seos seisneb selles, et nullkohad põhjustavad oskusi ja kõikumisi algarvude loendamises. Näiteks primide arvu funktsioon π(x) (algarvude arv kuni x) järgib peamist ligikaudset valemit, mida annab primide arvu teoreem: π(x) ~ x / log x. Riemanni hüpotees ei muuda seda põhiilditust, kuid see annaks väga tugevaid hinnanguid vea suuruse kohta selle ligikaudse valemi ja tegeliku funktsiooni vahel. Konkreetsemalt võib Riemanni hüpoteesi korral näidata, et vea suurus on ligikaudu O(x^{1/2} log x) (täpsemad vormid sõltuvad täpsetest avaldistest), mis on palju karmim piir kui mistahes hetkel tõestatud üldised hinnangud.
Praktikas tähendab see, et kui matemaatikud teaksid, et hüpotees on tõene, saaksid nad palju täpsemalt kirjeldada, kuidas algarvud paiknevad ja kui suured on variatsioonid võrreldes ootuspärase käitumisega. See aitaks näiteks hinnata algarvude vahemaid, primide esinemist erinevates vahemikes ja teisi omadusi, mis on nii teoreetiliselt huvitavad kui ka mõnikord praktilised krüptograafias ja arvutusteoorias.
Mõned olulised täiendavad punktid ja tagajärjed:
- Riemanni zeta-funktsiooniga seotud avaldised annavad Riemanni eksplitsiidse valemi, mis ühendab nullkohad otse primide loendamise funktsiooniga — nullkohad tekitavad sageduslikke osasid, mis kirjeldavad primide kõikumisi.
- Riemanni hüpoteesil on palju ekvivalente ja tagajärgi: näiteks tugevad piirangud Mertensi funktsioonile M(x), rangemad veahinnangud funktsioonidele ψ(x) ja θ(x), või väited tüüpi π(x) = li(x) + O(x^{1/2} log x).
- Kui hüpotees osutub vääraks, siis olemasolevad algarvude jaotuse hinnangud võivad vajada olulist ümberkirjutamist: võiks esineda ootamatult suuri kõrvalekaldeid primide jaotuses.
Ajalugu, arvuline tõestus ja uurimismeetodid
Riemann pani teema ajalukku 1859. aastal. Hiljem on uurijad kontrollinud arvuliselt miljoneid ja miljardeid mitte-triviaalseid nullkohti ja leidnud, et kõik kontrollitud nullkohad paiknevad kriitilisel joonel Re(s) = 1/2. See pole siiski tõestus, vaid tugev arvuline tõend.
Mitmed teoreetilised lähenemised on pakutud: analüütiline ja multiplicatiivne aritmeetika, spektraalne vaade (Hilbert–Pólya hüpotees, mis otsib mingi energeetikaoperaatori spektrit, mille algarvud annaksid nullkohtade imaginaarosad), juhuslike maatriksite teooria ja seosed kvantkaosega. Erinevad osahüpoteesid, näiteks üldine Riemanni hüpotees (GRH) L-funktsioonide kohta, laiendavad ideed ka teist tüüpi aritmeetiliste funktsioonide peale.
Tunnustamine ja auhind Riemanni hüpotees on nii tähtis ja keeruline, et Clay Matemaatikainstituut nimetas selle üheks Millennium Prize Problem probleemiks ja pani välja 1 000 000 dollarit esimesele, kes selle õigesti tõestab või ümber lükkab. See lisab motiveerivalt suurt tunnustust eduka lahenduse korral.
Kokkuvõte lihtsas keeles: zeta-funktsioon on matemaatiline vahend, mis "koodib" infot algarvude kohta. Riemanni hüpotees on ettepanek, et kõik olulised nullkohad sellest funktsioonist asuvad kindlal joonel komplekstasandil. Kui see ettepanek osutub tõeks, saame palju täpsemaid ja kindlamaid väiteid selle kohta, kuidas algarvud jagunevad — seega on hüpotees sügavalt seotud primide uurimisega ja kogu aritmeetilise teooria mõistmisega.
Oluline on märkida, et kuigi palju teadmisi viitab hüpoteesi õigusele ja see on kontrollitud väga suurel hulgal juhtudel, on matemaatiline tõestus seni puudu — seetõttu on see jätkuvalt üks matemaatika suurtest avatud küsimustest.
Riemanni zeta-funktsioon kompleksses tasapinnas. Reaalosa Re ( s ) {\displaystyle \operatorname {Re} (s)} on joonistatud horisontaalselt, kujuteldav osa Im ( s ) {\displaystyle \operatorname {Im} (s)}
vertikaalselt. Valged punktid näitavad nullid, kus Re ( s ) = {\displaystyle12 \operatorname {Re} (s)={\tfrac {1}{2}}}
. Täisvaate saamiseks klõpsake.
Mis on Riemanni hüpotees?
Mis on Riemanni zeta-funktsioon?
Riemanni zeta-funktsioon on mingi funktsioon. Funktsioonid on matemaatikas sellised asjad nagu võrrandid. Funktsioonid võtavad sisse arvud ja annavad tagasi teised arvud. See on nagu see, kuidas sa saad vastuse tagasi, kui sa küsid küsimuse. Seda arvu, mille sa sisestad, nimetatakse "sisendiks". Arv, mille saad tagasi, on "väärtus". Iga sisend, mille te panete Riemanni zeta-funktsiooni, annab teile tagasi erilise väärtuse. Enamasti saate iga sisendi kohta erineva väärtuse. Kuid iga sisend annab teile sama väärtuse iga kord, kui te seda kasutate. Nii sisend, mille te annate, kui ka väärtus, mille te saate Riemanni zeta-funktsioonist, on erilised arvud, mida nimetatakse kompleksarvudeks. Kompleksarv on kaheosaline arv.
Mis on mittetriviaalne juur?
Mõnikord, kui paned Riemanni zeta-funktsiooni sisendi, saad tagasi arvu null. Kui see juhtub, nimetatakse seda sisendit Riemanni zeta-funktsiooni juureks. Te nimetate sisendit "juureks", kui see annab teile nulli. On leitud palju juuri. Kuid mõningaid juuri on lihtsam leida kui teisi. Neid juuri nimetame "triviaalseteks" või "mittetriviaalseteks". Me nimetame juurt "triviaalseks", kui seda on lihtne leida. Aga me nimetame juurt "mittetriviaalseks", kui seda on raske leida. Triviaalsed juured on arvud, mida nimetatakse "negatiivseteks paarilisteks täisarvudeks". Põhjus, miks me arvame, et need on lihtsad, on see, et neid on lihtne leida. On olemas kenad reeglid, mis ütlevad, millised on triviaalsed juured. Me teame, millised on triviaalsed juured, sest Bernhard Riemann andis võrrandi. Seda võrrandit nimetati "Riemanni funktsionaalvõrrandiks".
Kuidas leida mittetriviaalseid juuri?
Mittetriviaalseid juuri on raskem leida. Neid on raskem leida kui triviaalseid juuri. Neil ei ole samasuguseid kenasid reegleid, mis ütlevad, millised nad on. Kuigi neid on raske leida, on leitud palju mittetriviaalseid juuri. Tuletage meelde, et Riemanni zeta-funktsiooni väärtus oli mingi arv, mida nimetatakse kompleksarvuks. Ja pidage meeles, et kompleksarvudel on kaks osa. Ühte neist osadest nimetatakse "reaalosaks". Märkasime huvitavat asja mittetriviaalsete juurte reaalosa kohta. Kõigil mittetriviaalsetel juurtel, mida me leidsime, on reaalosa, mis on sama arv. See arv on 1/2, mis on murdosa. See viib meid Riemanni suure küsimuse juurde, mis puudutab seda, kui suur on reaalosa. See küsimus on Riemanni hüpotees. Küsimus on "kas kõigil mittetriviaalsetel juurtel on reaalosa 1/2?". Me püüame ikka veel välja selgitada, kas vastus on "jah" või "ei".
Mida me seni teame?
Me ei tea veel vastust sellele küsimusele. Kuid me teame mõningaid häid fakte. Need faktid võivad meid aidata. On võimalus leida fakte mittetriviaalsete juurte reaalosade kohta. See on Riemanni erilise võrrandi (Riemanni funktsionaalse võrrandi) abil. Riemanni funktsionaalne võrrand ütleb meile reaalosade suuruse kohta. See ütleb, et kõigi mittetriviaalsete nullide reaalosa on lähedane 1/2-le. See ütleb, kui väikesed võivad reaalosad olla ja kui suured võivad nad olla. Aga see ei ütle, millised need täpselt on. Konkreetselt öeldakse, et reaalosad peavad olema suuremad kui 0. Aga nad peavad olema väiksemad kui 1. Kuid me ei tea ikka veel, kas võib olla mittetriviaalne juur, mille reaalosa on väga lähedal 1/2-le. Võib-olla on, aga me lihtsalt ei ole seda veel leidnud. Kompleksarvude rühma, mille reaalosa on suurem kui 0, kuid väiksem kui 1, nimetatakse "kriitiliseks ribaks".
Riemanni hüpotees pildil
Selle lehekülje paremas ülemises nurgas olev pilt näitab Riemanni zeta-funktsiooni. Mitte-triviaalsed juured on näidatud valgete punktidega. Nad näevad välja, nagu oleksid nad kõik joonena pildi keskel. Nad ei ole liiga kaugel vasakul ega liiga kaugel paremal. Tegelik osa on see, kui kaugel vasakult paremale on. Kui nad on pildi keskel, tähendab see, et neil on reaalne osa 1/2. Seega on kõigi pildil olevate mittetriviaalsete juurte reaalosa 1/2. Aga meie pilt ei näita kõike, sest Riemanni zeta-funktsioon on liiga suur, et seda näidata. Mis saab siis mittetriviaalsetest juurtest pildi kohal ja all? Kas need oleksid ka keskel? Mis siis, kui nad rikuvad keskel olemise mustrit? Nad võiksid olla veidi vasakul või paremal. Riemanni hüpotees küsib, kas iga mittetriviaalne juur (valge punkt) oleks keskel asuval joonel. Kui vastus on eitav, siis ütleme, et "hüpotees on vale". See tähendaks, et on valgeid punkte, mis ei ole antud joonel.
Küsimused ja vastused
K: Mis on Riemanni hüpotees?
V: Riemanni hüpotees on matemaatiline küsimus (oletus), mis esitab küsimuse erilise asja kohta, mida nimetatakse Riemanni zeta-funktsiooniks.
K: Mis liiki matemaatikaga on Riemanni hüpotees seotud?
V: Riemanni hüpotees on seotud puhta matemaatikaga, mis on matemaatikatüüp, mis tegeleb pigem matemaatikast mõtlemisega, mitte aga püüdega seda reaalsesse maailma rakendada.
K: Kes oli Bernhard Riemann?
V: Bernhard Riemann oli mees, kes elas 1800. aastatel ja kelle nime on saanud see oletus.
K: Mis oleks tulemus, kui keegi suudaks Riemanni hüpoteesi tõestada?
V: Kui keegi suudaks Riemanni hüpoteesi tõestada, saaksid matemaatikud rohkem teada algarvudest ja nende leidmisest.
K: Kui palju raha on pakutud selle oletuse tõestamise eest?
V: Clay Matemaatikainstituut on pakkunud selle oletuse tõestamise eest 1 000 000 dollarit.
K: Kas sellele oletusele on ainult üks vastus?
V: Jah, sellele oletusele on ainult kaks võimalikku vastust - "jah" või "ei".