Riemanni hüpotees
Riemanni hüpotees on matemaatiline küsimus (oletus). Paljud inimesed arvavad, et hüpoteesi tõestuse leidmine on üks raskemaid ja tähtsamaid lahendamata probleeme puhtas matemaatikas. Puhas matemaatika on matemaatika liik, mis tegeleb matemaatikast mõtlemisega. See erineb sellest, kui püüda matemaatikat reaalsesse maailma rakendada. Vastus Riemanni hüpoteesile on "jah" või "ei".
See oletus on nime saanud Bernhard Riemanni järgi. Ta elas 1800ndatel aastatel. Riemanni hüpotees esitab küsimuse erilise asja kohta, mida nimetatakse Riemanni zeta-funktsiooniks.
Kui vastus küsimusele on "jah", tähendaks see, et matemaatikud saavad rohkem teada algarvudest. Täpsemalt aitaks see neil teada, kuidas leida algarvusid. Riemanni hüpotees on nii oluline ja nii raske tõestada, et Clay Matemaatikainstituut on pakkunud 1 000 000 dollarit esimesele inimesele, kes selle tõestab.
Riemanni zeta-funktsioon kompleksses tasapinnas. Reaalosa Re ( s ) {\displaystyle \operatorname {Re} (s)}
on joonistatud horisontaalselt, kujuteldav osa Im ( s ) {\displaystyle \operatorname {Im} (s)} 
vertikaalselt. Valged punktid näitavad nullid, kus Re ( s ) = {\displaystyle12 \operatorname {Re} (s)={\tfrac {1}{2}}}
. Täisvaate saamiseks klõpsake.
Mis on Riemanni hüpotees?
Mis on Riemanni zeta-funktsioon?
Riemanni zeta-funktsioon on mingi funktsioon. Funktsioonid on matemaatikas sellised asjad nagu võrrandid. Funktsioonid võtavad sisse arvud ja annavad tagasi teised arvud. See on nagu see, kuidas sa saad vastuse tagasi, kui sa küsid küsimuse. Seda arvu, mille sa sisestad, nimetatakse "sisendiks". Arv, mille saad tagasi, on "väärtus". Iga sisend, mille te panete Riemanni zeta-funktsiooni, annab teile tagasi erilise väärtuse. Enamasti saate iga sisendi kohta erineva väärtuse. Kuid iga sisend annab teile sama väärtuse iga kord, kui te seda kasutate. Nii sisend, mille te annate, kui ka väärtus, mille te saate Riemanni zeta-funktsioonist, on erilised arvud, mida nimetatakse kompleksarvudeks. Kompleksarv on kaheosaline arv.
Mis on mittetriviaalne juur?
Mõnikord, kui paned Riemanni zeta-funktsiooni sisendi, saad tagasi arvu null. Kui see juhtub, nimetatakse seda sisendit Riemanni zeta-funktsiooni juureks. Te nimetate sisendit "juureks", kui see annab teile nulli. On leitud palju juuri. Kuid mõningaid juuri on lihtsam leida kui teisi. Neid juuri nimetame "triviaalseteks" või "mittetriviaalseteks". Me nimetame juurt "triviaalseks", kui seda on lihtne leida. Aga me nimetame juurt "mittetriviaalseks", kui seda on raske leida. Triviaalsed juured on arvud, mida nimetatakse "negatiivseteks paarilisteks täisarvudeks". Põhjus, miks me arvame, et need on lihtsad, on see, et neid on lihtne leida. On olemas kenad reeglid, mis ütlevad, millised on triviaalsed juured. Me teame, millised on triviaalsed juured, sest Bernhard Riemann andis võrrandi. Seda võrrandit nimetati "Riemanni funktsionaalvõrrandiks".
Kuidas leida mittetriviaalseid juuri?
Mittetriviaalseid juuri on raskem leida. Neid on raskem leida kui triviaalseid juuri. Neil ei ole samasuguseid kenasid reegleid, mis ütlevad, millised nad on. Kuigi neid on raske leida, on leitud palju mittetriviaalseid juuri. Tuletage meelde, et Riemanni zeta-funktsiooni väärtus oli mingi arv, mida nimetatakse kompleksarvuks. Ja pidage meeles, et kompleksarvudel on kaks osa. Ühte neist osadest nimetatakse "reaalosaks". Märkasime huvitavat asja mittetriviaalsete juurte reaalosa kohta. Kõigil mittetriviaalsetel juurtel, mida me leidsime, on reaalosa, mis on sama arv. See arv on 1/2, mis on murdosa. See viib meid Riemanni suure küsimuse juurde, mis puudutab seda, kui suur on reaalosa. See küsimus on Riemanni hüpotees. Küsimus on "kas kõigil mittetriviaalsetel juurtel on reaalosa 1/2?". Me püüame ikka veel välja selgitada, kas vastus on "jah" või "ei".
Mida me seni teame?
Me ei tea veel vastust sellele küsimusele. Kuid me teame mõningaid häid fakte. Need faktid võivad meid aidata. On võimalus leida fakte mittetriviaalsete juurte reaalosade kohta. See on Riemanni erilise võrrandi (Riemanni funktsionaalse võrrandi) abil. Riemanni funktsionaalne võrrand ütleb meile reaalosade suuruse kohta. See ütleb, et kõigi mittetriviaalsete nullide reaalosa on lähedane 1/2-le. See ütleb, kui väikesed võivad reaalosad olla ja kui suured võivad nad olla. Aga see ei ütle, millised need täpselt on. Konkreetselt öeldakse, et reaalosad peavad olema suuremad kui 0. Aga nad peavad olema väiksemad kui 1. Kuid me ei tea ikka veel, kas võib olla mittetriviaalne juur, mille reaalosa on väga lähedal 1/2-le. Võib-olla on, aga me lihtsalt ei ole seda veel leidnud. Kompleksarvude rühma, mille reaalosa on suurem kui 0, kuid väiksem kui 1, nimetatakse "kriitiliseks ribaks".
Riemanni hüpotees pildil
Selle lehekülje paremas ülemises nurgas olev pilt näitab Riemanni zeta-funktsiooni. Mitte-triviaalsed juured on näidatud valgete punktidega. Nad näevad välja, nagu oleksid nad kõik joonena pildi keskel. Nad ei ole liiga kaugel vasakul ega liiga kaugel paremal. Tegelik osa on see, kui kaugel vasakult paremale on. Kui nad on pildi keskel, tähendab see, et neil on reaalne osa 1/2. Seega on kõigi pildil olevate mittetriviaalsete juurte reaalosa 1/2. Aga meie pilt ei näita kõike, sest Riemanni zeta-funktsioon on liiga suur, et seda näidata. Mis saab siis mittetriviaalsetest juurtest pildi kohal ja all? Kas need oleksid ka keskel? Mis siis, kui nad rikuvad keskel olemise mustrit? Nad võiksid olla veidi vasakul või paremal. Riemanni hüpotees küsib, kas iga mittetriviaalne juur (valge punkt) oleks keskel asuval joonel. Kui vastus on eitav, siis ütleme, et "hüpotees on vale". See tähendaks, et on valgeid punkte, mis ei ole antud joonel.
Küsimused ja vastused
K: Mis on Riemanni hüpotees?
V: Riemanni hüpotees on matemaatiline küsimus (oletus), mis esitab küsimuse erilise asja kohta, mida nimetatakse Riemanni zeta-funktsiooniks.
K: Mis liiki matemaatikaga on Riemanni hüpotees seotud?
V: Riemanni hüpotees on seotud puhta matemaatikaga, mis on matemaatikatüüp, mis tegeleb pigem matemaatikast mõtlemisega, mitte aga püüdega seda reaalsesse maailma rakendada.
K: Kes oli Bernhard Riemann?
V: Bernhard Riemann oli mees, kes elas 1800. aastatel ja kelle nime on saanud see oletus.
K: Mis oleks tulemus, kui keegi suudaks Riemanni hüpoteesi tõestada?
V: Kui keegi suudaks Riemanni hüpoteesi tõestada, saaksid matemaatikud rohkem teada algarvudest ja nende leidmisest.
K: Kui palju raha on pakutud selle oletuse tõestamise eest?
V: Clay Matemaatikainstituut on pakkunud selle oletuse tõestamise eest 1 000 000 dollarit.
K: Kas sellele oletusele on ainult üks vastus?
V: Jah, sellele oletusele on ainult kaks võimalikku vastust - "jah" või "ei".
