Georg Friedrich Bernhard Riemann (sündinud 17. septembril 1826 Hannoveri lähedal; surnud 20. juulil 1866 Selasca, Itaalia) oli saksa matemaatik. Tema elu oli lühike ja ta ei kirjutanud oma avastustest väga palju üles, kuid kõik tema avastatud asjad olid äärmiselt olulised ja avaldasid matemaatikale revolutsioonilist mõju. Ta andis oma panuse paljudesse matemaatika valdkondadesse, nagu analüüs, geomeetria, matemaatiline füüsika ja arvuteooria. Tänapäeval peavad paljud inimesed teda suureks matemaatikuks. Ta oli üks esimesi matemaatikuid, kes tegeles kompleksanalüüsiga. Tema algatatud geomeetria (mida tänapäeval nimetatakse Riemanni geomeetriaks) on üks Albert Einsteini poolt välja töötatud relatiivsusteooria aluseid.

Elulugu lühidalt

Riemann sündis väikekülas (Breselenz) Hannoveri lähedal ja oli uskliku pastori poeg. 1846. aastal läks ta õppima Göttingeni ülikooli, kus tema mõtteviisi mõjutasid eriti Carl Friedrich Gauss. Hiljem õppis ta Berliinis, kus kohtus teiste silmapaistvate teadlastega nagu Dirichlet ja Jacobi. 1851 kaitses ta doktoritöö, mille pealkiri käsitles kompleksmuutujate funktsioonide teooria aluseid — töö, mis pani aluse Riemanni pindade mõistele ja kaasaegsele kompleksanalüüsile. 1854 pidas ta kuulsaks saanud avatud loengu geomeetria aluste kohta, milles sõnastas geomeetria üldisema, lokaalse lähenemise (see tekst avaldati hiljem kui "Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen").

Peamised panused ja mõisted

  • Riemanni pinnad (Riemann surfaces) — keerukate funktsioonide analüüsi põhimõte: mitmeväärtuseliste funktsioonide "lahtipakkimine" ühe ühtse mitmekihilise pinnana, mis võimaldab uurida nende funktsioonide omadusi globaalselt.
  • Riemanni zeta-funktsioon ja Riemanni hüpotees — 1859. aastal avaldatud töö lõi ühenduse zeta-funktsiooni ning primide jaotuse vahel. Riemanni hüpotees (väide nullkohtade paiknemise kohta komplekstasandil) on tänapäeval üks kuulsamaid ja tähtsamaid lahendamata probleeme matemaatikas.
  • Riemanni integraal ja Riemanni summeerimine — Riemanni idee integratsiooni ja pindala arvutamiseks läbi jagamiste ja piirväärtuste on fundamentaalne aluspõhimõte analüüsis ning õpilased õpivad tavaliselt just seda tugevat ja intuitiivset lähenemist.
  • Riemanni geomeetria — üldistus Eukleidese geomeetriast, kus pindade ja ruumide lokaalsed omadused määratakse metri ehk sisekorraga (metrykonstruktsioon). Sellest arusaamast tulenevad ka mõisted nagu Riemanni kurvatuur ja kumerus; need ideed on aluseks kaasaegsele diferentsiaalgeomeetriale ja tänapäevasele teooriale, mis kirjeldab gravitatsiooni kui ruumi-aja kõverdust.
  • Riemann–Roch teoreem — tähtis tulemus komplekssete algebrailiste pindade ja analüütiliste funktsioonide vaheliste seoste kohta; teoreem kombineerib geomeetria ja analüüsi ning on kesksel kohal algebrailises geomeetrias ja teoreetilises füüsikas.
  • Riemanni kaartimis- ja transformatsiooniteoreemid — näiteks Riemanni kaardistusteoreem kompleksanalüüsis, mis selgitab tingimusi, mille korral avatud lihtsalt-ühendatud hulga saab bikmöörselt kaardistada diskile.
  • Dirichleti põhimõte ja variatsioonimeetodid — Riemann kasutas Dirichleti põhimõtet mitmete probleemide lahendamiseks; hiljem tekkis selle aluspõhimõtte rangem situatsioon ja diskussioon (Weierstrass kritiseeris mõningaid argumendi samme), mis viis variatsioonimeetodite täpsemale teoreetilisele põhjendusele.

Tööde avaldamine, õpetamine ja iseloom

Riemann avaldas varasemaid töid suhteliselt vähe; paljud ideed jäi talainelistesse loengutesse ja märkmetesse. Ta oli tuntud kui haruldase intuitsiooni ja sügava geomeetrilise kujutlusvõime omanik, kes suutis leida seoseid eri valdkondade vahel. Kuigi avaldatud töid oli napilt, on nende mõju olnud tohutu: tema ideed on tekitanud uusi alavaldkondi ja mõjutanud järgnevate põlvkondade matemaatikuid, füüsikuid ja insenere.

Riemanni tähtsus tänapäeval

Riemanni ideed elavad edasi paljudes matemaatika ja füüsika harudes. Tema geomeetrilised ja analüütilised konstruktsioonid on otseselt seotud kaasaegse teoreetilise füüsika (nt üldrelatiivsusteooria), algebraatilise geomeetria ja kompleksanalüüsiga. Riemanni zeta-funktsioon ja Riemanni hüpotees jätkavad aktiivset uurimist ning nende lahendamine oleks läbimurre, millel oleks sügav mõju arvuteooriale ja teistele valdkondadele.

Surm ja pärand

Riemann suri noorelt tuberkuloosi tagajärjel 39-aastaselt, olles 1866. aastal ravireisil Itaalias. Kuigi tema elu oli lühike, jätsid tema ideed püsiva jälje matemaatika arengusse. Tänu oma teoreetilistele panustele ja võimele näha sügavamaid struktuure peetakse teda üheks suurimaks matemaatikuks 19. sajandil.