Algarv

Algarv on teatud liiki loomulik arv. Iga naturaalarv on võrdne 1 korda iseendaga. Kui arv on võrdne mõne teise arvu korrutisega, siis nimetatakse seda arvu "liitarvuks". Väikseim liitarv on 4, sest 2 x 2 = 4. 1 ei ole liitarv. Iga teine arv on algarv. Algarvud on muud arvud peale 1, mis ei ole võrdsed m x n (v.a. 1 x ise). Väikseim algarv on 2. Järgmised algarvud on 3, 5, 7, 11 ja 13. Suurimat algarvu ei ole olemas.

See, kuidas algarvud esinevad, on matemaatikute jaoks keeruline probleem. Kui arv on suurem, on raskem teada, kas tegemist on algarvuga. Üks vastus on algarvude teoreem. Üks lahendamata probleem on Goldbachi oletus.

Siin on veel üks viis, kuidas mõelda algarvudest. Arv 12 ei ole primaarne, sest sellest saab moodustada ristküliku, mille küljed on pikkusega 4 ja 3. Selle ristküliku pindala on 12, sest kõik 12 klotsi on kasutatud. Seda ei saa teha 11-ga. Ükskõik, kuidas ristkülikut ka ei kujundataks, jääb alati klotsid üle, välja arvatud ristkülik, mille küljed on pikkusega 11 ja 1. 11 peab seega olema algarv.

Kuidas leida väikeseid algarvusid

On olemas lihtne meetod algarvude loendi leidmiseks. Selle lõi Eratosthenes. Selle nimi on Eratosthenese sõel. See püüab üles numbrid, mis ei ole algarvud (nagu sõel) ja laseb algarvud läbi.

Meetod töötab numbrite loeteluga ja spetsiaalse numbriga b, mis muutub meetodi käigus. Meetodi läbimise ajal ringitad mõned numbrid nimekirjas sisse ja kriipsutad teised välja. Iga sissepiiratud arv on algarv ja iga läbi kriipsutatud arv on liitarv. Alguses on kõik arvud tavalised: neid ei ole sisse- ega välja kriipsutatud.

Meetod on alati sama:

Kirjutage paberilehele kõik täisarvud alates 2-st kuni katsetatava arvuni. Ärge kirjutage üles arvu 1. Minge järgmise sammu juurde.
Alusta, kui b on võrdne 2. Mine järgmise sammu juurde.
Ümbritsege nimekirjas b. Minge järgmise sammu juurde.
Alustades b-st, loe loetelus veel b ülespoole ja kriipsuta see number läbi. Korda veel b numbri üleslugemist ja numbrite ülestähendamist kuni nimekirja lõpuni. Minge järgmise sammu juurde.

(Näiteks: Kui b on 2, siis ümmardate 2 ja kriipsutate läbi 4, 6, 8 jne. Kui b on 3, siis ümmardate 3 ja kriipsutate läbi 6, 9, 12 jne. 6 ja 12 on juba läbi kriipsutatud. Ristige need uuesti läbi).

Suurendage b 1 võrra. Jätkake järgmise sammuga.
Kui b on läbi kriipsutatud, minge tagasi eelmise sammu juurde. Kui b on nimekirjas olev number, mida ei ole läbi kriipsutatud, liigu 3. sammu juurde. Kui b ei ole nimekirjas, minge viimase sammu juurde.
(See on viimane samm.) Te olete valmis. Kõik algarvud on sissejoonitud ja kõik liitarvud on läbi kriipsutatud.

Näiteks võiksite seda meetodit kasutada numbrite 2-10 nimekirja puhul. Lõpuks jäävad numbrid 2, 3, 5 ja 7 ringiga ümbritsetud. Need on algarvud. 4, 6, 8, 9 ja 10 kriipsutatakse läbi. Need on liitarvud.

See meetod või algoritm võtab väga suurte algarvude leidmiseks liiga kaua aega. Kuid see on vähem keeruline kui meetodid, mida kasutatakse väga suurte algarvude puhul, nagu Fermat' algarvukatsetus (test, millega saab kindlaks teha, kas arv on algarv või mitte) või Miller-Rabini algarvukatsetus.

Milleks kasutatakse algarvu

Primaarvud on matemaatikas ja arvutiteaduses väga olulised. Allpool on toodud mõned reaalmaailma kasutusalad. Väga pikad arvud on raskesti lahendatavad. Nende algtegureid on raske leida, mistõttu enamasti kasutatakse krüpteerimiseks ja salakoodide koostamiseks arvatavasti algtegureid sisaldavaid numbreid.

Enamikul inimestel on pangakaart, millega nad saavad oma kontolt raha kätte, kasutades selleks pangaautomaati. See kaart on kaitstud salajase juurdepääsukoodiga. Kuna koodi tuleb hoida salajas, ei saa seda kaardi peal hoida selge tekstina. Koodi salajaseks salvestamiseks kasutatakse krüpteerimist. Krüpteerimisel kasutatakse korrutamisi, jagamisi ja suurte algarvude jääkide leidmist. Praktikas kasutatakse sageli algoritmi nimega RSA. See kasutab Hiina jäägi teoreemi.

Kui kellelgi on oma e-kirjale digitaalallkiri, kasutatakse krüpteerimist. See tagab, et keegi ei saa võltsida nende saadetud e-kirja. Enne allkirjastamist luuakse sõnumi hash-väärtus. Seejärel kombineeritakse see digitaalallkirjaga, et saada allkirjastatud sõnum. Kasutatavad meetodid on enam-vähem samad, mis esimesel juhul eespool.

Suurima seni teadaoleva prime'i leidmine on muutunud omamoodi spordialaks. Kui arv on suur, võib selle kontrollimine, kas see on priimus, olla keeruline. Suurimad praegu teadaolevad arvud on tavaliselt Mersenne'i arvud, sest kõige kiirem teadaolev arvude primaarsuse test on Lucas-Lehmeri test, mis põhineb Mersenne'i arvude erivormil. Mersenne'i pritsmeid otsiv rühm on siin[1].

Küsimused ja vastused

K: Mis on algarv?

V: Algarv on naturaalarv, mida ei saa jagada ühegi teise naturaalarvuga, välja arvatud 1 ja iseendaga.

K: Mis on väikseim liitarv?

V: Väikseim liitarv on 4, sest 2 x 2 = 4.

K: Millised on järgmised algarvud pärast 2?

V: Järgmised algarvud pärast 2 on 3, 5, 7, 11 ja 13.

K: Kas on olemas suurim algarv?

V: Ei, suurimat algarvu ei ole olemas. Algarvude hulk on lõpmatu.

K: Mida väidab aritmeetika põhitõde?

V: Aritmeetika põhiteoreem väidab, et iga positiivset täisarvu saab kirjutada priimarvude korrutisena üheselt mõistetavalt.

K: Mis on Goldbachi oletus?

V: Goldbachi oletus on lahendamata probleem matemaatikas, mis väidab, et iga täisarvu, mis on suurem kui kaks, saab väljendada kahe algarvu summana.

K: Kes pani kirja tõestuse, et pole olemas suurimat algarvu?

V: Eukleidese kirja pandud tõestus, et ei ole olemas suurimat algarvu.