Hüperkuubik: n-mõõtmeline kuubik, definitsioon ja omadused

Geomeetrias on hüperkuubik n-mõõtmeline ruut (n = 2) ja kuubik (n = 3). See on suletud, kompaktne, kumer kuju, mille 1-skelett koosneb vastandlike paralleelsete joonte segmentide rühmadest, mis on joondatud ruumi igas dimensioonis risti üksteisega ja sama pikkusega.

Üldisemalt on n-mõõtmeline hüperkuubik (tuntud ka kui n-kuubik) regulaarne polütoop, mille kõik tahked on ruudud (või kuubikud madalamates dimensioonides) ja mille iga nurk on risti paiknev kolme- või enama servaga.

Ühikuhüperkuubi pikim diagonaal n dimensioonis on võrdne n {\displaystyle {\sqrt {n}} ${\sqrt {n}}$ . See tähendab, et ühikuhüperkuubi kahe vastasnurgaga moodustuva diagonaali pikkus on √n.

Määratlus ja koordinaadid

N-mõõtmelist hüperkuubikut nimetatakse ka n-mõõtmeliseks kuubiks või sarnaselt n-kuubikuks. Tavaline mudel on ühikuhüperkuubik, mille külje pikkus on 1. Selle tipud on 2^n punkti ruumis R_n, kus iga koordinaat on kas 0 või 1. Näiteks tipud on (0,0,...,0), (1,0,...,0), ..., (1,1,...,1).

Faasid (nähtavad tahud) ja kombinatoorsed omadused

Tahud: n-kuubil on tahke erinevatel dimensioonidel. Konkreetsemalt on k-mõõtmelisi tahke (k-faces) kokku C(n,k) · 2^(n-k) ehk valemiga 2^(n-k) · binom(n,k). Näiteks servu (1-face) on n·2^(n-1) ja tahku (2-face) ehk ruutu on binom(n,2)·2^(n-2).
Tipud: tippe on 2^n.
Servad: servu (1-mõõtmeline tahk) on kokku n · 2^(n-1).
Euleri karakteristik: hüperkuubiku üldine kombinatoorne struktuur rahuldab laiendatud tasemel samu formule kui madalamatel dimensioonidel; topoloogiliselt on see kuju kodominantne polütoop.

Pindala, maht ja diagonaalid

Maht: ühikuhüperkuubi n-mõõtmeline ruumala ehk maht on 1 (kui külg = 1). Kui külg on a, siis maht on a^n.
k-mõõtmeline pindala (k-volume): iga k-mõõtmeline tahk on k-ruumala a^k ja nende arv on eespool toodud, seega kokku k-mõõtmelise sisu saab välja arvutada.
Diagonaalid: ruumi (läbiva) diagonaali pikkus ühikuhüperkuubis on √n. Üldisemalt, kahe tipu vahe, mille koordinaadid erinevad täpselt d koordinaadiga, on √d · a (kui külg = a).

Symmeetria ja graafiline struktuur

Hüperkuubikul on suur sümmeetria: tema sümmeetriarühm on isomorfne rühmaks C2^n ⋊ S_n (ehk hüperruudu ristsümmeetria), kus S_n pöörab koordinaate ja iga telg võib olla peegeldatud. See tähendab, et kõik tipud, servad ja tahud on regulaarse mustriga paiknevad.

N-kuubi 1-skelett (tipud ja servad) moodustab n-dimensionaalse hüperkuubi graafi, mis on regulaarselt grado n ja bipartiit. See graaf on oluline mitmes arvutiteaduse valdkonnas, näiteks võrgukujunduse ja hüperkuubiktopoloogiate uurimisel.

Näited väikestel n

n = 1: sirglõik (2^1 = 2 tippu, 1 serv)
n = 2: ruut (2^2 = 4 tippu, 4 serva, 1 tahk)
n = 3: kuup (2^3 = 8 tippu, 12 serva, 6 tahku)
n = 4: tesserakt ehk 4-mõõtmeline hüperkuubik (16 tippu, 32 serva, 24 ruuttu tahku, 8 kuubilist 3-tahukalist tahku)

Kasutusalad ja visualiseerimine

Matemaatiline teooria: kombinatoorika, polütoopia, topoloogia ja grupiteooria uurimisel.
Arvutiteadus: hüperkuubi graafid kasutatakse vahel paralleelarvutuste võrkude ja andmestruktuuride mõtlemisel.
Visualiseerimine: kõrgemaid dimensioone kujutatakse tavaliselt projektsioonide või ristlõigete abil (nt tesserakti 3D-projektsioonid) ja neid saab esitada ka animatsioonidena.

N-mõõtmelist hüperkuubikut nimetatakse ka n-kuubikuks või n-mõõtmeliseks kuubiks. Kasutatakse ka terminit "meetripolütoop", eelkõige H. S. M. Coxeteri töödes (algselt Elte, 1912), kuid see on nüüdseks välja tõrjutud.

Hüperkuubik on hüpernurga (mida nimetatakse ka n-ortotoopiks) erijuhtum. Ühikuhüperkuubik on hüperkuubik, mille külje pikkus on üks ühik. Sageli nimetatakse ühikuhüperkuubiks hüperkuubi, mille nurgad (või tipud) on 2n punkti Rn-s, mille iga koordinaat on 0 või 1.

Ehitus

Hüperkuubikut saab defineerida, suurendades kuju mõõtmete arvu:

0 - punkt on nullmõõtmeline hüperkuubik.

1 - Kui seda punkti liigutada ühe ühiku pikkuse võrra, pühib see välja sirge lõigu, mis on ühikuhüperkuubik mõõtmega üks.

2 - Kui liigutada seda sirgjoonelõiku oma pikkuse suhtes iseendast risti; see pühib välja 2-mõõtmelise ruudu.

3 - Kui nihutada ruutu ühe ühiku pikkuse võrra suunas, mis on risti tasandiga, millel see asub, tekib kolmemõõtmeline kuubik.

4 - Kui kuubikut liigutada ühe ühikupikkuse võrra neljandasse dimensiooni, siis tekib neljamõõtmeline ühikuhüperkuubik (ühiku tesserakt).

Seda saab üldistada suvalise arvu mõõtmete suhtes. Seda mahu väljapühkimise protsessi saab matemaatiliselt vormistada Minkowski summana: d-mõõtmeline hüperkuubik on d omavahel risti asetsevate ühikupikkuste sirglõikude Minkowski summa ja on seega zonotoobi näide.

Hüperkuubi 1-skelett on hüperkuubi graaf.

Animatsioon, mis näitab, kuidas luua punktist tesserakt.

Joonis, mis näitab, kuidas luua punktist tesserakt.

Seotud leheküljed

Simpleks - n-mõõtmeline analoog kolmnurgale
Hüperruut - hüperkuubi üldjuhtum, mille alus on ristkülik.

Küsimused ja vastused

K: Mis on hüperkuubik?

V: Hüperkuubik on n-mõõtmeline ruut (n = 2) ja kuubi (n = 3) analoog. See on kinnine, kompaktne, kumer kuju, mille 1-skelett koosneb vastandlike paralleelsete joondsegmentide rühmadest, mis on joondatud igas ruumi mõõtmes, risti üksteisega ja sama pikkusega.

Küsimus: Milline on pikim diagonaal n-mõõtmelises hüperkuubikus?

V: Pikim diagonaal n-mõõtmelises hüperkuubikus on võrdne n {\displaystyle {\sqrt {n}}.

K: Kas n-mõõtmelise hüperkuubiku jaoks on veel üks termin?

V: N-mõõtmelist hüperkuubikut nimetatakse ka n-kuubikuks või n-mõõtmeliseks kuubiks. Kasutati ka terminit "mõõtepolütoop", kuid see on nüüdseks välja tõrjutud.

K: Mida tähendab "ühikuhüperkuubik"?

V: Ühikuhüperkuubik on hüperkuubik, mille külje pikkus on üks ühik. Sageli viitab ühikuhüperkuubik erijuhtumile, kus kõigi nurkade koordinaadid on võrdsed 0 või 1.

K: Kuidas saame defineerida "hüperruutu"?

V: Hüperrõigu (mida nimetatakse ka n-ortotoopiks) on defineeritud kui hüperkuubiku üldjuhtum.