Suurte arvude seadus (LLN) — juhuslike tulemuste keskmise stabiilsus
Suurte arvude seadus (LLN) on statistika teoreem, mis kirjeldab juhuslike tulemuste keskmise käitumist, kui eksperimenti korratakse palju kordi. Tavaliselt vaadeldakse seeriat korduvatest katsetest saadud väärtusi, näiteks korduvalt ühte juhuslikku muutujat. Saadud väärtuste keskmine muutub pikemas perspektiivis stabiilseks: see läheneb ühele kindlale arvule, mida nimetatakse eeldatavaks väärtuseks (või matemaatiliseks ootuseks).
Intuitsioon: kui kordame sama juhusliku protsessi palju kordi, siis juhuslike kõikumiste mõju keskmisele väheneb ja keskmine "tasandub" ümber tegeliku ootuspärase väärtuse. Keskmise lähenemine on juhuslik, kuid järjest väiksema ulatusega, kui vaatluste arv kasvab.
Formaalne kirjeldus (näide ja märksõnad)
- Olgu X1, X2, ..., Xn sõltumatud ja identselt jaotunud (iid) juhuslikud muutujad, millel on lõplik eeldatav väärtus E[X1] = μ. Siis definieeritakse valimi keskmine X̄n = (1/n) Σ_{i=1}^n Xi.
- Suurte arvude seadus ütleb, et X̄n läheneb μ-le, kui n → ∞. Sõltuvalt täpsest matemaatilisest vormist räägitakse kas konvergentsist tõenäosuses (nõrk seadus) või peaaegu kindlast konvergentsist (tugev seadus).
Eeltingimused ja variandid
- Nõrk seadus: piisab tavaliselt, et Xi on iid ja tal on lõplik keskmine (tihti eeldatakse ka lõplikku dispersiooni). Tulemus: X̄n → μ tõenäosuses. Lihtne tõestus kasutab Chebyshevi ebavõrdsust.
- Tugev seadus: tugevam tulemus, mis ütleb, et X̄n → μ peaaegu kindlasti (almost surely). Selleks on vaja tugevamaid tingimusi; klassikaline Kolmogorovi tugev seadus kehtib iid-seeria korral, millel on lõplik eeldatav väärtus.
Praktiline tähendus
- LLN tagab, et korduv mõõtmine annab usaldusväärse hinna tutkimaksad eeldatavat väärtust — näiteks pikaajaline keskmine tulu, vigade protsent või keskmine sündmuste arv.
- See seadus ei ütle, kui kiiresti keskmine läheneb μ-le; selleks on tarvis teisi tulemusi (näiteks keskmise piirväärtuse teoreem, inglise k. Central Limit Theorem), mis kirjeldavad asümptootilisi kõikumiste suurusi (tihti ≈ 1/√n skaalal).
Järgnevas lihtsas näites illustreeritakse mõtet praktiliselt. Kui veeretada mitu korda täringut (nopp), siis iga viske võimalikud tulemused on 1, 2, 3, 4, 5 ja 6 ning need on võrdselt tõenäolised. Tulemuste populatsiooni keskmine (või "eeldatav väärtus") on:
(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 3.5.
Kui visata täringut vaid paar korda, võib valimi keskmine hüpata palju (näiteks esimeste visete keskmus võib olla 6 või 1). Kuid kui viskeid on väga palju, siis valimi keskmine hakkab järjest stabiilsemalt tiirlema ümber väärtuse 3.5 — just seda ennustab LLN.
Mis toimub graafikul?
- Alguses (väikeste n väärtuste korral) on keskmine väga kõikuv, kuna iga üksik tulemus mõjutab suhet oluliselt.
- Nagu näha, kasvades vaatlemiste arv (n), väheneb keskmise kõikumine ja väärtus stabiliseerub ümber 3.5.
Seos teiste teoreemidega
- LLN ja keskmise piirväärtuse teoreem (CLT) on tihedalt seotud: LLN annab keskmise asümptootilise keskväärtuse, CLT aga kirjeldab keskmise juhuslikke kõikumisi selle ümber (tavaliselt normaalse jaotuse kaudu, kui tingimused täidetud).
- Praktilistes rakendustes kasutatakse LLNi, et põhjendada valimite keskmiste kasutamist parameetrite hinnangutena ja et hinnata, kui suur valimi suurus on vaja soovitud täpsuse saavutamiseks.
Kokkuvõte
Suurte arvude seadus on fundamentaalne tulemus tõenäosusteoorias, mis selgitab, miks keskmised mõõtmised muutuvad usaldusväärseks, kui kordusi on palju. Selle põhiväide: valimi keskmine läheneb protsessi eeldatavale väärtusele, kui vaatluste arv läheb lõpmatusse — tingimuslikult sõltuvalt sellest, milliseid täpsustusi ja eeldusi (iid, lõplik eeldus, jms) me teeme.
Ajalugu
Jacob Bernoulli kirjeldas esimesena LLNi. Ta ütleb, et see oli nii lihtne, et isegi kõige rumalam inimene teab instinktiivselt, et see on tõsi. Sellest hoolimata kulus tal üle 20 aasta, et töötada välja hea matemaatiline tõestus. Kui ta oli selle leidnud, avaldas ta 1713. aastal tõestuse raamatus Ars Conjectandi (The Art of Conjecturing). Ta nimetas seda oma "Kuldseks teoreemiks". See sai üldtuntuks kui "Bernoulli teoreem" (mitte segi ajada samanimelise füüsikaseadusega). 1835. aastal kirjeldas S. D.Poisson seda edasi nime all "La loi des grands nombres" (Suurte arvude seadus). Seejärel oli see tuntud mõlema nime all, kuid kõige sagedamini kasutatakse "suurte arvude seadust".
Ka teised matemaatikud aitasid kaasa seaduse paremaks muutmisele. Mõned neist olid Tšebõšev, Markov, Borel, Cantelli ja Kolmogorov. Pärast neid uuringuid on nüüdseks olemas kaks erinevat seadust: Ühte nimetatakse "nõrgaks" seaduseks ja teist "tugevaks" seaduseks. Need vormid ei kirjelda erinevaid seadusi. Nad kirjeldavad erinevalt vaadeldava või mõõdetud tõenäosuse lähenemist tegelikule tõenäosusele. Seaduse tugev vorm eeldab nõrka seadust.
Küsimused ja vastused
K: Mis on suurte arvude seadus?
V: Suurte arvude seadus on statistika teoreem, mis väidab, et kui juhuslikku protsessi vaadeldakse korduvalt, siis vaadeldud väärtuste keskmine on pikas perspektiivis stabiilne.
K: Mida tähendab suurte arvude seadus?
V: Suurte arvude seadus tähendab, et kui vaatluste arv suureneb, läheneb vaadeldavate väärtuste keskmine üha enam oodatavale väärtusele.
K: Mis on oodatav väärtus?
V: Oodatav väärtus on juhusliku protsessi tulemuste populatsiooni keskmine.
K: Milline on täringu viskamise oodatav väärtus?
V: Kuubiku viskamise oodatav väärtus on võimalike tulemuste summa, mis jagatakse tulemuste arvuga: (1+2+3+4+5+6)/6=3,5.
K: Mida näitab tekstis olev graafik seoses suurte arvude seadusega?
V: Graafik näitab, et täringuviskete keskmine varieerub algul metsikult, kuid vastavalt LLNi ennustusele stabiliseerub keskmine väärtus eeldatava väärtuse 3,5 ümber, kui vaatluste arv muutub suureks.
K: Kuidas kohaldatakse suurte arvude seadust täringute veeretamisel?
V: Suurte arvude seadus kehtib täringute veeretamise puhul, sest kui visete arv suureneb, läheneb visete keskmine väärtus üha enam oodatavale väärtusele 3,5.
K: Miks on suurte arvude seadus statistikas oluline?
V: Suurte arvude seadus on statistikas oluline, sest see annab teoreetilise aluse ideele, et andmed kipuvad suure hulga vaatluste puhul keskmistuma. See on aluseks paljudele statistilistele meetoditele, näiteks usaldusvahemikele ja hüpoteeside testimisele.
