Sinuseadus (sinusereegel): definitsioon, valem ja näited kolmnurkade lahendamiseks
Sinusereegel ehk sinuseadus on matemaatikas kasutatav teoreem, mis annab seose kolmnurga külgede ja vastasnurkade siinusväärtuste vahel. See on väga kasulik kolmnurga lahendamisel (ehk kui otsime puuduvaid külgi või nurki), eriti juhtudel, kus on teada kaks nurka ja üks külg või kaks külge ja üks mittekuuluv nurk.
a sin A = b sin B = c sin C = D {\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}\,=\,{\frac {b}{\sin B}}\,=\,{\frac {c}{\sin C}}\,=\,D\! } 
Võrdus on sama, mis
sin A a = sin B b = sin C c {\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}\,=\,{\frac {\sin B}{b}}\,=\,{\frac {\sin C}{c}}\! } 
Mida tähistab D
D on kolmnurga ümbritseva ringjoone (tsirkumtsirkli) läbimõõt. Kui tähistada ümberringjoone raadiust R-iga, siis kehtib D = 2R ning seega iga külje jaoks a = 2R sin A, mistõttu a / sin A = 2R = D.
Kiire tõestus (joonisega)
Kui kolmnurk on ümberringjoone sees, siis külg a on selle ringjoone kaks korda raadiuse ja vastasnurka poolitava nurgaga seotud: a = 2R sin A. Sama kehtib b ja c kohta. Jagades mõlemad pooled sin A-ga, saame a / sin A = 2R. Kuna sama 2R kehtib kõigi külgede puhul, võrdub a / sin A = b / sin B = c / sin C.
Kasutusviisid kolmnurga lahendamisel
- ASA (angle–side–angle) või AAS (angle–angle–side): kui on teada kaks nurka ja üks külg, saab ülejäänud külgi leida otse sinusereegli abil. Esmalt leitakse kolmanda nurga suurus (A+B+C=180°), seejärel arvutatakse puuduvad küljed b ja c: b = a * sin B / sin A, c = a * sin C / sin A.
- SSA (side–side–angle) ehk mitmetähenduslik juhtum: kui on teada kaks külge ja üks neist mitteseotud nurk (näiteks a, b ja A), võib tekkida kuni kaks lahendit, üks lahend või lahend puududa (sõltuvalt sinusarvust). Kui sin B = (b sin A) / a, siis kui sin B > 1 – puudub reaalne lahend; kui sin B = 1 – üks täppislahend (B = 90°); kui 0 < sin B < 1 – kaks võimalust B ja 180° − B, mille puhul tuleb kontrollida, kas nurkade summa jääb alla 180°.
- Kui on kahtlus mitmetähenduslikkuse või numbri‑täpsuse pärast, võib kasutada ka kosinuste seadust (cosine rule), mis ei anna ambivalentsust samamoodi kui SSA‑juhtum.
Näited
Näide 1 (ASA): Olgu A = 40°, B = 60°, a = 10. Siis C = 180° − 40° − 60° = 80°.
- b = a * sin B / sin A = 10 * sin 60° / sin 40° ≈ 10 * 0.8660 / 0.6428 ≈ 13.47
- c = a * sin C / sin A = 10 * sin 80° / sin 40° ≈ 10 * 0.9848 / 0.6428 ≈ 15.32
- Ümberringi raadius R = a / (2 sin A) ≈ 10 / (2 * 0.6428) ≈ 7.78, seega D = 2R ≈ 15.56.
Näide 2 (SSA – mitmetähenduslik juhtum): Olgu a = 7, b = 10 ja A = 30°. Arvutame sin B = (b sin A) / a = 10 * sin 30° / 7 = 5 / 7 ≈ 0.71429.
- Kuna 0 < sin B < 1, on kaks võimalikku B: B1 ≈ arcsin(0.71429) ≈ 45.58° ja B2 = 180° − 45.58° ≈ 134.42°.
- Kontrollime nurgasummat mõlema puhul:
- Kui B1 = 45.58°, siis C1 = 180° − 30° − 45.58° = 104.42° (kehtiv). Selle korral c1 = a * sin C1 / sin A ≈ 7 * 0.9689 / 0.5 ≈ 13.56.
- Kui B2 = 134.42°, siis C2 = 180° − 30° − 134.42° = 15.58° (ka kehtiv). Selle korral c2 = 7 * sin 15.58° / 0.5 ≈ 7 * 0.2685 / 0.5 ≈ 3.76.
- Seega antud andmete puhul on kaks võimalikku kolmnurka (üks laia nurgaga, teine terava nurgaga).
Pange tähele ja näpunäited
- Arvutades nurka arcsin‑funktsiooniga, tuleb arvestada kahevõimalusliku lahendiga (θ ja 180° − θ) — see on peamine põhjus SSA‑juhtumi ambivalentsuseks.
- Kui nurk on väga lähedal 90°‑le, võib esineda numbriline tundlikkus (pyörlevus), eriti arvutamisel, kus jagamisel või ümardamisel tekib täpsuse kadu. Sellistel juhtudel võib olla stabiilsem kasutada kosinuste seadust või täpsemaid arvutusmeetodeid.
- Sinuseadus kehtib nii kraadides kui radiaanides mõõdetavate nurkade puhul; oluline on, et kasutatav trigonometriline funktsioon vastaks nurgaühikule.
Sinuseadus on üks kahest peamisest trigonomeetrilisest vahendist skaleeniliste kolmnurkade pikkuste ja nurkade leidmiseks; teine tähtis vahend on kosinuste seadus, mida kasutatakse peamiselt siis, kui on teada kolm külge või kaks külge ja vaheline nurk.
Selgitamiseks vajalike tähtedega tähistatud kolmnurk. A, B ja C on nurgad. a on külg, mis asub A vastaspoolel. b on külg, mis asub B vastaspoolel. c on külg, mis asub C vastaspoolel.
Tõend
Mis tahes kolmnurga pindala T {\displaystyle T}
saab kirjutada kui pool selle aluse pindalast korda selle kõrgus (tõmmates selle tipust, mis ei asu aluse peal). Sõltuvalt sellest, kumba külge valitakse aluspinnaks, saab pindala anda järgmiselt
T = 1 2 b ( c sin A ) = 1 2 c ( a sin B ) = 1 2 a ( b sin C ) . {\displaystyle T={\frac {1}{2}}b(c\sin A)={\frac {1}{2}}c(a\sin B)={\frac {1}{2}}a(b\sin C)\,. } 
Korrutades neid 2 / a b c {\displaystyle 2/abc}
saadakse
2 T a b c = sin A a = sin B b = sin C c . {\displaystyle {\frac {2T}{abc}}={\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}\,. } 
Küsimused ja vastused
K: Mis on siinuse seadus?
V: Siinuse seadus, mida tuntakse ka siinuse reegli nime all, on matemaatikas kasutatav teoreem, mis väidab, et kui on olemas selline kolmnurk nagu pildil, siis on võrrand tõene.
K: Mida see võrrand ütleb?
V: See võrrand väidab, et iga küljepikkuse ja selle vastasnurga siinusarvu suhe on võrdne.
K: Kuidas seda võrrandit kasutatakse?
V: Siinuse seadust saab kasutada kolmnurga ülejäänud külgede leidmiseks, kui on teada kaks nurka ja üks külg. Seda saab kasutada ka siis, kui on teada kaks külge ja üks nende kahe küljega hõlmamata nurkadest.
K: Mis juhtub mitmetähenduslikul juhul?
V: Mõnel juhul annab valem kaks võimalikku väärtust ümbritsetud nurgale. Seda nimetatakse mitmetähenduslikuks juhtumiks.
K: Kuidas on see võrreldav teiste trigonomeetriliste võrranditega?
V: Siinuse seadus on üks kahest trigonomeetrilisest võrrandist, mida kasutatakse pikkuste ja nurkade leidmiseks skaleen-kolmnurkades. Teine on kosinuste seadus.
K: Millega on D võrdne? V: D on võrdne kolmnurga ümberringi läbimõõduga.
