Maatriksmehaanika — definitsioon, Heisenberg, Born ja määramatuse printsiip
Maatriksmehaanika on esimene viis, mille füüsikud leidsid, et väljendada kvantfüüsikat matemaatilises vormis. Werner Heisenberg töötas selle füüsikaseaduste väljendusvormi algselt välja lihtsalt võrrandina, mida ta sai kasutada fotoonide intensiivsuste ennustamiseks vesinikuspektri eri ribades.
Heisenbergi õpetaja ja kolleeg Max Born nägi, et tema võrrand oli sisuliselt plaan maatriksite loomiseks ja korrutamiseks. Kvantfüüsika maatriksvormi kasutatakse siiani, sest see on mõnel otstarbel kasulik ja mugav. Teised matemaatilised viisid, eriti Erwin Schrödingeri võrrand, mis kasutab lainefunktsiooni, on matemaatiliselt samaväärsed, kuid neid on lihtsam kasutada muudel eesmärkidel.
Üks selle teooria varajase edu saavutusi kuulutati peagi välja ja seda nimetatakse nüüd Heisenbergi määramatuse printsiibiks (Heisenbergi määramatuse printsiip).
Mida maatriksmehaanika tegelikult tähendab
Maatriksmehaanika esindab füüsikalisi suurusi (näiteks energia, positsioon, impuls) maatrikstena — kahe- või mitmemõõtmeliste arvude tabelitena. Iga maatriks kirjeldab, kuidas see suurus seondub süsteemi erinevate kvantolekute (olekvektorite) vahel. Olulised omadused:
- Observaablid on hermiitse tüüpi maatriksid (või operaatorid), mille omaväärtused vastavad mõõtmistulemustele.
- Ei-kommuteerimine: kahe maatriksi järjestus loeb — AB ei pruugi olla võrdne BA-ga. See mitte-kommutatiivsus on kvantkäitumise keskne tunnus.
- Ajaline areng Heisenbergi pildis toimub maatriksite muutuse kaudu: dA/dt = (i/ħ)[H,A] + (∂A/∂t), kus H on Hamiltoni maatriks ja [H,A] = HA − AH on kommutaator.
Ajalooline kontekst ja arendajad
Heisenberg avaldas maatrikslähenemise 1925. aastal. Max Born ja Pascual Jordan andsid sellele kiirelt formaalse maatriksteooria kuju ning sellega loodi nn Born–Jordan teooria. Peagi tõestati, et Schrödingeri lainevõrrandist tulenev lainemehaanika on mustandiliselt samaväärne maatriksmehaanikaga — nad on eri matemaatilised formulatsioonid samast füüsikast.
Määramatuse printsiip ja kommutaatorid
Heisenbergi määramatuse printsiip pärineb maatriksteooria kesksemast omadusest — kommutatsioonist. Üldisemalt kehtib kvantfüüsikas järgmine seos kahe mõõdetava suuruse A ja B dispersioonide (pealehakkamiste) ΔA ja ΔB kohta:
ΔA · ΔB ≥ (1/2) |⟨[A,B]⟩|
Siin on [A,B] = AB − BA kommutaator ja ⟨...⟩ tähistab keskmist konkreetse kvantoleku puhul. Eriline ja palju tsiteeritud juhtum on positsiooni x ja impulsi p paar, mille kommutaator on [x,p] = iħ. Sellest tuleneb
Δx · Δp ≥ ħ/2
See tähendab, et kvantolekus ei saa samaaegselt täpselt määrata positsiooni ja vastavat impulsit — mida täpsem on üks, seda suurem on teise ebatäpsus. Oluline on rõhutada, et see pole pelgalt mõõteviga ega sekkumise tagajärg, vaid fundamentaalne omadus kvantolekutest, mis tuleneb operaatorite matemaatilisest struktuurist.
Märkused ja kaasaegne tähtsus
- Maatriksmehaanika on eriti mugav süsteemide puhul, mille olekuruum on lõplik- või lugematu-baasiga (nt spinisüsteemid, kvantinfo). Paljud kvantstatistilised ja mitmeosakese probleemid lahendatakse maatriksi- ja operaatorivormis.
- Kuigi Schrödingeri lainefunktsioon on intuitiivsem mõningates kontekstides, annab maatriksmehaanika selge ja üldistatud keele, eriti kui käsitleda mittesobivate (non-commuting) suuruste omavahelist suhteid.
- Maatriksid ja operaatorid on tänapäeval keskseks tööriistaks kvantkeemias, tahkis- ja osakeste teoorias ning kvantarvutuse matemaatilises modelleerimises.
Lõppsõna
Maatriksmehaanika oli ja on üks fundamentaalne formaalne väljendus kvantfüüsikast. Heisenbergi algne idee, mida arendasid edasi Max Born, Pascual Jordan ja teised, andis meile uue arusaama maailma mõõtmetest ja piirangutest — kõige tuntumaks väljundiks on Heisenbergi määramatuse printsiip. Kuigi vormid võivad erineda (laine- vs maatriksmehaanika), kirjeldavad need kõik samu eksperimentaalseid tulemusi ja moodustavad kvantteooria selgroo.
Küsimused ja vastused
K: Mis on maatriksmehaanika?
V: Maatriksmehaanika on Werner Heisenbergi poolt välja töötatud füüsikaseaduste väljendusvorm, mis kasutab maatriksid, et ennustada fotoonide intensiivsusi vesinikuspektri erinevates ribades.
K: Kes töötas välja maatriksmehaanika?
V: Werner Heisenberg töötas algselt välja maatriksmehaanika kui võrrandi, millega ennustada fotoonide intensiivsusi vesinikuspektri eri ribades.
K: Kuidas see avastati?
V: Max Born nägi, et Heisenbergi võrrand oli sisuliselt kava maatriksite loomiseks ja korrutamiseks, mis viis maatriksmehaanika avastamiseni.
K: Kas seda kasutatakse tänapäevalgi veel?
V: Jah, maatriksmehaanikat kasutatakse tänapäevalgi, sest see on kasulik ja mugav teatud eesmärkidel.
K: Kas kvantfüüsika väljendamiseks on ka teisi matemaatilisi viise?
V: Jah, Erwin Schrödingeri võrrand, milles kasutatakse lainefunktsiooni, on matemaatiliselt samaväärne, kuid seda on lihtsam kasutada muudel eesmärkidel.
K: Milline oli üks selle teooriaga seotud varajane edu?
V: Üks selle teooriaga seotud varajane edu oli see, mida nüüd tuntakse Heisenbergi määramatuse printsiibina.
K: Kes kuulutas selle edu välja vahetult pärast selle väljatöötamist?
V: Selle edu kuulutas vahetult pärast selle väljatöötamist välja Werner Heisenberg ise.
