Monty Halli probleem on kuulus tõenäosusprobleem. Probleemi kuju tuleneb Ameerika Ühendriikide telemängusaate "Teeme ära" formaatist ning on nime saanud saatejuhi Monty Halli järgi.

Reeglid lühidalt: laual on kolm ust. Ühe ukse taga on auto (väärtuslik auhind) ja kahe teise ukse taga on kitsed (väikese väärtusega auhind). Mängija valib alguses ühe ukse, kuid ei ava seda. Seejärel avab võõrustaja ühe teise ukse, mille taga kindlasti on kits (võõrustaja teab, mis uste taga on). Lõpuks pakutakse mängijale võimalust kas jääda oma algse valiku juurde või vahetada see vastu teise veel suletud ukse.

Miks vahetamine suurendab võiduvõimalust?

Paljudele tundub intuitiivne, et pärast ühe uue ukse avamist on kaks suletud ust võrdse tõenäosusega (1/2 ja 1/2). See ei kehti, sest võõrustaja tegevus sõltub sellest, kus auto tegelikult on ja ta ei ava kunagi autouhte ust. Õige vastus: vahetades tõuseb auto võitmise tõenäosus 1/3-lt 2/3-ni.

Lihtne selgitus

Kui mängija valib esimese ukse, on sellel auto saamise tõenäosus 1/3 ja tõenäosus, et auto on mõnes teises ukse taga, 2/3. Võõrustaja avab ühe ukse, mille taga on kits – see tegevus ei jaota tõenäosusi ühtlaselt ümber, vaid annab kogu 2/3 tõenäosuse teisele suletud uksile juhul, kui algne valik oli vale.

Kolm võimalikku juhtumit (võtame uksed A, B ja C):

  • Juhtum 1 (1/3): Mängija valib auto-ukse (nt A). Võõrustaja avab kas B või C (kits). Kui mängija vahetab, kaotab ta (liigub kitse ukse poole).
  • Juhtum 2 (1/3): Mängija valib kitse (nt B), auto on A. Võõrustaja avab C (kits). Kui mängija vahetab, valib ta auto (A) — võit.
  • Juhtum 3 (1/3): Mängija valib kitse (nt C), auto on A. Võõrustaja avab B (kits). Kui mängija vahetab, valib ta auto (A) — võit.

Nii on kokku kaks juhtumit kolmest, kus vahetades võidetakse (2/3), ja üks juhtum kolmest, kus vahetades kaotatakse (1/3).

Teisene selgitus tingimusliku tõenäosuse keeltes

Oluline eeldus on, et võõrustaja teab, kus auto on, ning ta avab alati ukse, mille taga on kits, ja pakub alati vahetust. Sellisel juhul on tingimuslik tõenäosus, et auto on teisel suletud uksel pärast kitse ukse avamist, 2/3. Kui võõrustaja käitub teisiti (nt avab uksi juhuslikult või mõnikord ei paku vahetust), siis muutub olukord ja vastus ei pruugi kehtida.

Kuidas seda katsetada praktiliselt?

  • Proovi mängida seda näiteks rahapaberiga või kaartidega: märgi üks kaart autoks ja kaks kitsedeks, vali üks, lase sõbral (kes teab, mis taga on) avada üks kitsede kaart ning proovi vahetada/mitte vahetada palju kordi – näed, et vahetades võidad ~2/3 korda.
  • Võid ka kirjutada lihtsa simulatsiooni arvutis (sageli kasutatakse seda demonstratsioonina programmeerimise või statistikaõppetundides).

Kokkuvõte

Kui võõrustaja alati avab ukse, mille taga on kits, ning alati pakub vahetust, siis vahetamine annab suurema tõenäosuse auto saamiseks: algne valik annab võidu tõenäosusega 1/3, vahetamine annab võidu tõenäosusega 2/3. Peamine eksitus paljudel on eeldada, et pärast ühe ukse avamist muutub olukord symmeetriliseks — tegelikult ei muutu algne 1/3 tõenäosus, vaid kogu ülejäänud 2/3 koondub ühele ülejäänud suletud uksale.