Tõenäosuse alused: definitsioon, reeglid ja praktilised näited

Tõenäosuse alused: selged definitsioonid, reeglid ja praktilised näited (mündid, täringud, kombinatsioonid). Õpi valemeid ja samm-sammult juhised igapäevaste näidete kaudu.

Tõenäosus on osa rakendusmatemaatikast ja tegeleb juhuslike katsete tulemuste uurimisega. Tõenäosus aitab kirjeldada, kui tõenäoline on mingi sündmus — näiteks kas midagi juhtub või mitte — ning väljendatakse tavaliselt arvuga p, mis jääb alati nulli (võimatu) ja ühe (kindel) vahele: 0 ≤ p ≤ 1.

Lihtne mõiste, mida tihti kasutatakse, on proovivõtu ruum ehk kõigi võimalikud tulemuste kogum. Näiteks mündi viskamise korral on proovivõtu ruum {“Külg1” ehk “kõrv”, “Külg2” ehk “saba”}. Kui münt on õiglane, siis kummalgi tulemusel on tõenäosus 1/2. Paljudel müntidel nimetatakse peaga külge "pähe" ja teist külge "sabaks".

Näited: münt ja täring

Kui viskame münti, siis lihtsaimad tulemused on "kaks varianti" ja igaühe tõenäosus on 1/2 (õiglane münt). Kui viskame täringut, siis proovivõtu ruum on {1,2,3,4,5,6}. Täringu ühe konkreetse külje (näiteks 1) tõenäosus on 1/6, sest täringul on kuus võrdset võimalust. Sama kehtib ka teiste külgede kohta: P(2)=1/6, P(3)=1/6 jne. Kokkuvõttes on kõigi võimalike tulemuste tõenäosuste summa 1: P(1)+P(2)+...+P(6)=1.

Tõenäosusi saab arvutada ja modelleerida matemaatika abil. Mõnikord ei ole vastus kohe ilmne — näiteks kui visata kuus täringut ja küsida tõenäosust, et nende summa on suurem kui 10 — aga selle saab välja arvutada kombinatoorika, konvolutsiooni või arvutisimulatsiooni abil. Kokkuvõte: iga sündmuse tõenäosus saab matemaatiliselt määrata, kui tead proovivõtu ruumi suurust ja kuidas huvipakkuvad tulemused sinna sisse langevad.

Reeglid ja olulised mõisted

• Komplement: sündmuse A komplement (A^c) on tõenäosus, et A ei toimu. P(A^c) = 1 − P(A).
• Liitmisreegel kahe sündmuse jaoks: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Kui A ja B on üksteist välistavad (mutually exclusive), siis P(A ∩ B) = 0 ja P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
• Korrutamisreegel (sõltumatute sündmuste korral): kui sündmused A ja B on sõltumatud (ühe toimumine ei mõjuta teise tõenäosust), siis P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
• Tinglik tõenäosus: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B), kui P(B) > 0. See kirjeldab A tõenäosust eeldusel, et B juhtus.

Praktilised näited

1) Kaks täringut: kui viskate kaks täringut järjest ja huvi on täpselt tulemuse jada (näiteks kõigepealt 3 ja seejärel 5), siis iga viske tõenäosus 3 saamiseks on 1/6 ja 5 saamiseks 1/6. Kuna visked on sõltumatud, on mõlema toimumise tõenäosus 1/6 × 1/6 = 1/36 ≈ 0,02778.

2) Kolme täringu näide: tõenäosus saada järjest näiteks 3, siis 5 ja siis 2 on (1/6) × (1/6) × (1/6) = 1/216 ≈ 0,00463.

3) Vähemalt üks kuus kahe täringu viskel: lihtsam viis arvutada "vähemalt üks" tõenäosus on kasutada komplementi. P( vähemalt üks 6 kahe viske jooksul ) = 1 − P(ühtki 6 ei tule). P(ühtki 6 ei tule) = (5/6) × (5/6) = (5/6)^2 = 25/36. Seega P(at least one six) = 1 − 25/36 = 11/36 ≈ 0,3056.

4) Näide sõltuvusest (ilma tagasipanemata): kui me valime palli kastist, kus on 2 punast ja 3 sinist palli, ning ei pane palli tagasi enne teist valikut, siis esimese valiku tõenäosus mõjutab teise tõenäosust — sündmused on sõltuvad. Selle jaoks kasutatakse tinglikku tõenäosust ja korrutamisreeglit: P(esimene punane ja teine punane) = P(esimene punane) × P(teine punane | esimene punane) = (2/5) × (1/4) = 2/20 = 1/10.

Mida tasub meeles pidada

• Tõenäosus on matemaatiline mudel, mis kirjeldab juhuslikkust; mudeli täpsus sõltub eeldustest (nt „õiglane“ täring või münt).
• Sõltumatuse ja sõltuvuse vahe on oluline: kas ühe sündmuse toimumine muudab teise tõenäosust?
• Piltlikult: liitmisreeglid ja korrutamisreeglid on tööriistad eri tüüpi küsimuste lahendamiseks — "või" tüüpi küsimused vajavad liitmist ja "ja" tüüpi küsimused vajavad korrutamist (viidates selle peale, kas sündmused on sõltumatud või mitte).

Kui soovite, võin lisada samm-sammulisi arvutusnäiteid (näiteks kuue täringu summa tõenäosuse leidmine), visualiseeringuid või lihtsaid simulatsioone, mis aitavad keerulisemaid juhtumeid paremini mõista.

Küsimused ja vastused

K: Mis on tõenäosus?

K: Kuidas saab tõenäosust väljendada?

K: Mis on näide tõenäosuse kasutamise kohta?

K: Kuidas arvutada tõenäosus, et kahe täringu viskamisel saadakse teatud kombinatsioon?

K: Mida tähendab "saba", kui räägitakse müntidest?

K: Mis juhtub, kui korrutada kaks tõenäosust kokku?

Otsing