Nomogramm: definitsioon, ajalugu ja kasutus inseneri- ning matemaatikas

Nomogramm ehk joondusgraafik ehk abaque on graafiline arvutusvahend: kahemõõtmeline diagramm, mis võimaldab leida matemaatilise funktsiooni või võrrandi lahendusi ilma täisarvutusi tegemata. Nomogramm annab visuaalse seose muutuja(te) vahel ja võimaldab kiiret ligikaudset vastuse lugemist otse skaalalt (matemaatilise funktsiooni jaotuse kujutisena).

Ajalugu

Nomograafia sai alguse 1884. aastal, kui prantsuse insener Philbert Maurice d'Ocagne (1862–1938) töötas välja meetodid graafiliste arvutusdiagrammide koostamiseks. d'Ocagne'i meetodid kasutasid tavapärasest erinevat, paralleelset koordinaatsüsteemi ja võimaldasid kujutada mitme muutuja vahelist seost lihtsate joonekatkendite abil. 19. ja 20. sajandi esimesel poolel olid nomogrammid laialdaselt kasutusel inseneritöös, meditsiinis ja teaduses kuni elektroonsete kalkulaatorite ja arvutite levikuni; tänapäeval kasutatakse neid veel valdkondades, kus on vaja kiiret, töökindlat ja patareivaba ligikaudset arvutust.

Põhimõte ja konstruktsioon

Nomogramm koosneb tavaliselt n skaalast, kus iga skaala vastab võrrandis olevale muutujale. Kui võrrandis on n muutujat, siis teades n−1 muutuja väärtusi saab leida viimase muutuja väärtuse, asetades sirgjoone (nt joonlaua) läbi teadaolevate väärtuste punktide ja lugedes, kus see sirgjoon lõikab vastava skaalal oleva punkti.

Sagedased konstruktsioonid kasutavad kas:

• lineaarseid skaalasid (otsesed mõõtmed),
• logaritmilisi skaalasid – kasulikud korrutamis- ja jagamisoperatsioonide visualiseerimiseks (sarnaselt logaritmikettaga),
• kõveraid või mittelineaarseid skaalasid – kui võrrand on keerulisem ja vajab teisendust,
• eriversioonid nagu diagonaalnomogrammid, kolmeskaalalised liitnomogrammid, ristvõrgustikud ja ringnomogrammid.

Nomogrammi abil loodud virtuaalset või tõmmatud joont nimetatakse indeksjooneks või isopleetiks; inglise keeles kasutatakse tihti terminit “isopleth” või “alignment line”.

Tüübid ja näited

• Kaheastmeline (2-muuttuja) nomogramm – lihtne seos kahe muutuja vahel; sageli kasutatakse otseproportsionaalsuse kuvamiseks.
• Kolmeskaalaline (3-muuttuja) nomogramm – klassikaline joondusgraafik: kaks teadaolevat väärtust määravad rea, mille lõikepunkt kolmanda skaala peal annab otsitava väärtuse. Näide: V = I·R (Ohmi seadus) — kolme skaala abil saab, asetades joonlaua läbi voolu (I) ja takistuse (R) väärtuste, lugeda pinget (V).
• Logaritmiline nomogramm – sobib korrutamise, jagamise ja astendamise probleemide jaoks, sest log-skaalad muundavad korrutise summaks.
• Komposiit- ja mittelineaarsed nomogrammid – kujutavad keerukamaid funktsioone, kus skaalad ei ole sirgjoonelised.

Kuidas nomogrammi kasutada

Põhietapid on järgmised:

• Leia nomogrammil need skaalad, mis vastavad teadaolevatele muutujatele.
• Aseta joonlaud või sirgjoon läbi kahest (või enamast) teadaolevast väärtusest.
• Loostaud sirgjoone (indeksjoone) ja kolmenda skaala lõikumispunkt annab otsitava väärtuse; vajadusel interpoleeri täpsema lugemise saamiseks.

Nomogrammide täpsus sõltub skaala pikkusest, jaotusest ning trüki või kuvari resolutsioonist. Palju kasutatakse täpsema lugemise võimaldamiseks alamjaotusi ja peenikesi tähistusi.

Kasutusvaldkonnad

Nomogramme on traditsiooniliselt kasutatud ja kasutatakse tänapäevalgi mitmetes valdkondades:

• inseneriteadus (torustiku voolude arvutused, rõhud, jõud),
• meditsiin (annustamise tabelid, kehamassi/pinna indeksid),
• hüdroloogia ja meteoroloogia (voogude, sademe arvestused),
• aviatsioon ja merendus (kütusekulu, kandevõime hinnangud),
• elektroonika ja side (impedantside teisendused; Smith'i diagramm on erijuht, mis graafiliselt aitab lahendada kompleksseid impedantsiprobleeme),
• keemia ja reaktoriteadmised (reageerimiskiiruste ligikaudsed hinnangud).

Eelised ja piirangud

• Eelised:
  • kiirus ja lihtsus — kiire ligikaudse vastuse saamine ilma elektroonikata;
  • visualiseerimine — aitab visualiseerida muutujaid ja nende omavahelisi seoseid;
  • õpetuslik väärtus — aitab mõista skaalade ja teisenduste mõju tulemustele.
• Piirangud:
  • piiratud täpsus võrreldes täisarvutustega; täpsus sõltub skaalast ja kasutajast;
  • komplekssed võrrandid võivad nõuda mitmeid teisendusi või keerukaid nomogramme;
  • töötab kõige paremini siis, kui teada on n−1 muutujat (muidu tuleb kasutada teisendusi või iteratsioone).

Kaasaegne tähendus

Kuigi digitaalsed kalkulaatorid ja tarkvara on paljud traditsioonilised nomogrammid asendanud, on nomogrammid endiselt väärtuslik tööriist kohtades, kus on vaja kiiret ja usaldusväärset ligikaudset vastust ilma elektrita või kus visuaalne esitlus aitab otsuseid langetada. Tänapäeval valmistatakse nomogramme ka interaktiivselt — tarkvaraga genereeritud diagrammid võimaldavad suumimist, täpset interpoleerimist ja trükitavaid template'e.

Nomogrammid ühendavad graafilise lihtsuse ja matemaatilise täpsuse vahelise kompromissi ning jäävad abivahendiks nii praktikas kui ka õppetöös.

Küsimused ja vastused

K: Mis on nomogramm?

K: Kes leiutas nomograafia?

K: Mis oli nomogrammide eesmärk?

K: Mitmest skaalast koosneb nomogramm?

K: Kuidas saab tundmatu muutuja väärtuse leida nomogrammi abil?

K: Kuidas nimetatakse sirgjoonega loodud virtuaalset või tõmmatud joont?

K: Millist koordinaatsüsteemi kasutatakse nomogrammides?

Otsing