Poincaré'i oletus
Poincaré konjektsioon on küsimus sfääride kohta matemaatikas. See on nime saanud Henri Poincaré, prantsuse matemaatiku ja füüsiku järgi, kes selle 1904. aastal sõnastas.
Sfääril (mida nimetatakse ka 2-sfääriks, sest see on kahemõõtmeline pind, kuigi tavaliselt nähakse seda kolmemõõtmelises ruumis) on omadus, et iga silmus sellel saab kokku tõmmata punktini (kui kera ümber mähitakse kummipael, on võimalik seda punktini libistada). Matemaatikud ütlevad, et 2-sfäär on lihtsalt seotud. Teistel ruumidel seda omadust ei ole, näiteks donutil: kummilinti, mis käib kord ümber kogu donuti, ei saa libistada alla punktile, ilma et see lahkuks pinnalt.
Matemaatikud teadsid, et see omadus on unikaalne 2-sfäärile selles mõttes, et iga teine lihtsalt seotud ruum, millel ei ole servi ja mis on piisavalt väike (matemaatiliselt öeldes kompaktne), on tegelikult 2-sfäär. See ei ole aga enam tõsi, kui me eemaldame väiksuse idee, sest ka lõpmatult suur tasand on lihtsalt seotud. Ka korrapärane ketas (ring ja selle sisemus) on lihtsalt seotud, kuid tal on üks serv (piirnev ring).
Oletus küsib, kas sama kehtib ka 3-sfääri kohta, mis on objekt, mis elab loomulikult neljas dimensioonis. See küsimus ajendas suurt osa tänapäeva matemaatikast, eriti topoloogia valdkonnas. Küsimus lahendati lõpuks 2002. aastal vene matemaatiku Grigori Perelmani poolt geomeetriast pärit meetoditega, näidates, et see on tõepoolest tõsi. Tema töö eest anti talle Fieldsi medal ja 1 miljoni dollari suurune aastatuhande auhind, millest ta mõlemast keeldus.
Poincaré konjektsiooni saab laiendada ka kõrgematele mõõtmetele: see on üldistatud Poincaré konjektsioon. Üllataval kombel oli seda lihtsam tõestada suuremõõtmeliste kerade puhul: 1960. aastal tõestas Smale, et see kehtib 5-sfääri, 6-sfääri ja kõrgemate kerade puhul. Aastal 1982 tõestas Freedman, et see kehtib ka 4-sfääri kohta, mille eest ta sai Fieldsi medali.
Küsimused ja vastused
K: Mis on Poincaré konjektsioon?
V: Poincaré konjektsioon on Henri Poincaré järgi nime saanud küsimus sfääride kohta matemaatikas, milles küsitakse, kas teatud 2-sfääri omadused kehtivad ka 3-sfääri kohta.
K: Milline omadus on 2-sfääril?
V: 2-sfääril on omadus, et iga silmus sellel saab kokku tõmmata punktiks.
Küsimus: Kas see omadus on ainult 2-sfääril?
V: See omadus on 2-sfäärile ainulaadne väikeste ruumide suhtes, millel ei ole servi. Kuid lõpmatult suur tasand ja korrapärane ketas (ring ja selle sisemus) on mõlemad lihtsalt seotud, kuid neil on servad.
K: Kes tõestas, et see kehtib ka suuremõõtmeliste kerade kohta?
V: 1960. aastal tõestas Smale, et see kehtib 5-mõõtmeliste, 6-mõõtmeliste ja kõrgemate kerade puhul, ja 1982. aastal tõestas Freedman, et see kehtib ka 4-mõõtmeliste kerade puhul.
K: Kes lahendas Poincaré oletuse?
V: Poincaré oletuse lahendas vene matemaatik Grigori Perelman, kes kasutas geomeetria meetodeid, et näidata, et see on tõepoolest tõene.
K: Milliseid auhindu sai Perelman oma töö eest?
V: Perelman sai Poincaré konjektsiooni lahendamise eest Fieldsi medali ja 1 miljoni dollari suuruse aastatuhande auhinna, kuid ta keeldus mõlemast auhinnast.
