Poincaré'i oletus: sfääride topoloogia ja Perelmani tõestus
Poincaré konjektsioon on fundamentaalne küsimus sfääride kohta matemaatikas. See on nime saanud Henri Poincaré, prantsuse matemaatiku ja füüsiku järgi, kes selle 1904. aastal sõnastas. Lihtsustatult küsib Poincaré konjektsioon, kas iga kolmemõõtmeline, kompaktne ja servata (st piirideta) ruum, millel iga silmus saab kokku tõmmata punktini, on tegelikult tavaline 3-sfäär.
Oletuse täpne sõnastus
Matemaatiliselt öeldes tähendab see: kui kolmemõõtmeline manjääv (ruum, mis kohalikult näeb välja nagu tavaline R^3) on lihtsalt seotud ehk selle fundamentaalgrupp on triviaalne (ei sisalda mitte-triviaalset silmuseklasside ringi), ning see manjääv on suletud (kompaktne) ja piirideta, siis kas see manjääv on kodhomeomorfne tavalise 3-sfääriga S^3? Poincaré konjektsioon vastab: jah.
Miks see on raskem kui madalamatel mõõtmetel
2-sfääri (tavalisel kera pinnal) omaduse eristamine on intuitiivne: iga silmus saab seal kokku tõmmata, st 2-sfäär on lihtsalt seotud. On tõestatud, et kompaktne, servata ja lihtsalt seotud pind peab olema just 2-sfäär. Kuid kolmemõõtmelises maailmas ilmnevad palju keerukamad võimalused; on palju erinevaid viise, kuidas kolmemõõtmeline ruum võib „silmuseid ja taskuid“ sisaldada, ning need struktuurid teevad küsimuse raskemaks.
Perelmani tõestus ja meetodid
Kolmemõõtmeline Poincaré konjektsioon lahendati lõplikult 2002–2003, kui vene matemaatik Grigori Perelman avaldas mitu artiklit, kus ta kasutas geomeetrilisi meetodeid, eelkõige Ricci-voogu, et tuua 3-manjäävid teatud standardsete geomeetriliste tüüpide kujule. Perelman kasutas ja edasi arendas Richard Hamiltoni poolt algatatud Ricci-voo ideid: ta tõestas olulisi uusi omadusi (sh mitte-lokaalse kokkukukkumise puudumine — no local collapsing — ja „entsroopia“ vähenemise) ning andis täpsema skeemi, kuidas teha nii-öelda „kirurgiaid“ keerulistel hetkedel, et hoida voo kontrolli all. Tema töö näitas laiemalt tõe kohta Thurstone'i geomeetrilise hulkade (geometrization) programmist, millest Poincaré erijuht on.
Perelmani tulemused avaldati esmalt preprintidena internetis ja seejärel kontrollis ning kinnitas matemaatikute kogukond järk-järgult tema argumentide õigsuse; tänu sellele tunnistati Poincaré konjektsioon tõestatuks. Tema töö eest pakuti talle 2006. aastal Fieldsi medalit ning 2010. aastal aastatuhandeauhinda (Clay Millennium Prize) summas 1 miljon dollarit, kuid Perelman mõlemast auhinnast keeldus.
Üldistused ja kõrgemad mõõtmed
Poincaré konjektsioonil on üldine kuju kõrgemates mõõtmetes, nn üldistatud Poincaré konjektsioon: kas iga n-mõõtmeline kompaktne, piirideta ja lihtsalt seotud manjääv on homöomorfne n-sfääriga? Vastus sõltub mõõtmetest.
- Suuremates dimensioonides (n ≥ 5) tõestas Stephen Smale 1960. aastate alguses (Smale 1961 jt) h-cobordismi ja teiste tööde kaudu, et üldistatud Poincaré konjektsioon kehtib — st sellised manjäävid on standardsete keradega ekvivalentsed.
- Neljas dimensioon on erandlik: Michael Freedman tõestas 1982. aastal topoloogilises kategoorias nelja-mõõtmelise Poincaré konjektsiooni (st topoloogilised 4-manjäävid), mille eest ta sai Fieldsi medali. Oluline on aga eristada topoloogilist ja sujuvat (smooth) kategooriat — neljas mõõde sisaldab peenemaid probleeme sujuvuse kohta, kus veelgi keerukamad nähtused võivad ilmneda.
Mis tähendust Poincaré konjektsioonil on?
Poincaré konjektsiooni lahendamine on olnud üks 20. sajandi ja 21. sajandi tähtsamaid saavutusi matemaatikas, sest see sidus kokku erinevaid valdkondi: algebrailise topoloogia (fundamentaalgrupi roll), diferentiaalgeomeetria (Ricci-voog ja kumerusprobleemid) ning globaalse geomeetria ja maniifoolide klassifikatsiooni. Perelmani töö kinnitas Thurston'i laiemat geomeetrizeerimisskaemat, mis klassifitseerib 3-manjääve seitsme tüüpi geomeetria abil, ning andis uusi tööriistu ja ideid geomeetria uurimiseks.
Salgad ja intuitiivsed näited
Intuitiivselt aitab idee selgitada lihtsustatud võrdlus: donuti pinnal (torus) leidub silmuseid, mida ei saa punktini kokku tõmmata, sest need „mähivad“ toruse ümber. See eristab torust kera pinnast. Poincaré küsimus palub selgitada, kas kolmemõõtmelises maailmas võib olemas olla mingi „varjatud“ objektiiv, mis on lihtsalt seotud aga siiski ei oleks tavaline 3-sfäär — Perelman näitas, et sellist „varjatud“ objekti ei ole, kui manjääl on kompaktne ja piirideta.
Kui soovite, võin lisada lihtsustatud joonised või visualiseeringud, seletada Ricci-voo põhiideed samm-sammult või tuua konkreetseid ajaloolisi viiteid ja allikaid Perelmani tööle ja tema tõestuse kinnitamise protsessile.
Küsimused ja vastused
K: Mis on Poincaré konjektsioon?
V: Poincaré konjektsioon on Henri Poincaré järgi nime saanud küsimus sfääride kohta matemaatikas, milles küsitakse, kas teatud 2-sfääri omadused kehtivad ka 3-sfääri kohta.
K: Milline omadus on 2-sfääril?
V: 2-sfääril on omadus, et iga silmus sellel saab kokku tõmmata punktiks.
Küsimus: Kas see omadus on ainult 2-sfääril?
V: See omadus on 2-sfäärile ainulaadne väikeste ruumide suhtes, millel ei ole servi. Kuid lõpmatult suur tasand ja korrapärane ketas (ring ja selle sisemus) on mõlemad lihtsalt seotud, kuid neil on servad.
K: Kes tõestas, et see kehtib ka suuremõõtmeliste kerade kohta?
V: 1960. aastal tõestas Smale, et see kehtib 5-mõõtmeliste, 6-mõõtmeliste ja kõrgemate kerade puhul, ja 1982. aastal tõestas Freedman, et see kehtib ka 4-mõõtmeliste kerade puhul.
K: Kes lahendas Poincaré oletuse?
V: Poincaré oletuse lahendas vene matemaatik Grigori Perelman, kes kasutas geomeetria meetodeid, et näidata, et see on tõepoolest tõene.
K: Milliseid auhindu sai Perelman oma töö eest?
V: Perelman sai Poincaré konjektsiooni lahendamise eest Fieldsi medali ja 1 miljoni dollari suuruse aastatuhande auhinna, kuid ta keeldus mõlemast auhinnast.
