Schwarzschildi meetrika: musta augu lahendus üldrelatiivsusteoorias
Schwarzschildi meetrika arvutati Karl Schwarzschildi poolt 1916. aastal Einsteini välivõrrandite lahenduseks. See on astrofüüsika valdkonnas tuntud ka kui Schwarzschildi lahendus ja kuulub üldrelatiivsusteooria rangeimate ning kõnekamate analüütiliste lahenduste hulka. Mõõdiku all mõistetakse siin ruumi‑aja (aegruumi) geomeetrilist kirjeldust – täpsemalt kirjeldab Schwarzschildi meetrika gravitatsioonivälja tühjas ruumis ümbritseva sfääriliselt sümmeetrilise massi (näiteks mittepöörleva musta augu) ümber. Lahend eeldab mittetöörlevat, sfäärilist massijaotust, kus puudub elektrilaeng ja must auk ei oma magnetvälja ning kosmoloogiline konstant on null.
Võrrand ja tähendused
Schwarzschildi meetrika metri komponentide kujul on
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} 
- Muutujad: t on koordinaataeg (kellade näidud kaugel massist), r on radiaalne koordinaat, θ ja φ on tavapärased nurkkordinaadid sfäärilises koordinaatsüsteemis.
- Füüsikalised konstandid: G on gravitatsioonikonstant, c on valguse kiirus ja M on keskne mass.
- Tähelised ruumid: signatuur, mida siin kasutatakse, on –+++ (negatiivne ajakomponent, positiivsed ruumikomponendid).
Põhitunnused ja tähtsad mõisted
- Schwarzschildi raadius (horizon): r_s = 2GM/c^2 on see iseloomulik skaala; see lõikeline r = r_s tähistab sündmuste horisondi koordinaadilist asukohta. Vaatleja kaugel massist ei saa r < r_s suunas tulevast informatsioonist teada – seega nimetatakse seda musta augu sündmuste horisondiks.
- Koordinaatsingulariteet: näiliselt divergentne käitumine meetrikus r = r_s on koordinaadi artefakt: Schwarzschildi koordinaadid muutuvad ebapiisavaks horisondi juures. Füüsikaline singulariteet asub r = 0, kus kurvatuurileit (nt R_{μνρσ}R^{μνρσ}) läheb lõpmatusse.
- Geodeesid ja liikumine: meetrik määrab vaba langemise trajektoorid (geodeesid) masside ja valguse jaoks. Aja‑sarnastel geodeesidel mõõdetakse osakese enda proper‑ajast (tau), valguse korral on ds^2 = 0.
- Aeglaeng ja punanihke: sümmeetrilisest lahendusest tuleneb gravitatsiooniline aja venimine: lähedal massile käib kohalik aja mõõtamine aeglasemalt võrreldes kaugetega. Samuti tekib valguse gravitatsiooniline punanihke.
Rakendused ja tähtsad testid
Schwarzschildi lahendil on olnud tähtis roll üldrelatiivsuse varajastes testides ja astrofüüsikas:
- Mercury periheeli liigendi seletamine: täiendav lähenemine periheelile tuleneb ruumi kõverusest ja sellega ennustati täpselt Mercury orbiidi täheldatud nihe.
- Valguse kõverdamine päikese lähedal ja gravitatsiooniline punanihke on Schwarzschildi lahendist tulenevad nähtused, mida on mitmel korral mõõdetud.
- Musta augu mõiste väljendus: Schwarzschildi lahendus on lihtsaim mudel mustast august — mittepöörlev, laetud ega kosmoloogilise konstandiga mittearvestav must auk.
Piirangud ja üldistused
- Ei sobi pöörlemiseks ega laenguks: Schwarzschildi meetrika kirjeldab ainult mittetöörlevat ja elektriliselt neutraalset süsteemi. Pöörlevate mustade aukude puhul kasutatakse Kerr‑lahendust, laetud aukude puhul Reissner–Nordströmi lahendit.
- Koordinaadimuutused: horisondi ümber probleeme vältida saab läbi sobivate koordinaatide (nt Kruskal–Szekeres või Eddington–Finkelstein), mis näitavad, et r = r_s ei ole füüsiline singulariteet vaid koordinaadiefekt.
- Asümptootiliselt tasane: Schwarzschildi lahendus on vakuumlahendus, mis läheneb kaugel massist Minkowski‑ruumi (tasane aegruumi) korraldusele.
Mõned tehnilised märkused
- Praktiliste arvutuste lihtsustamiseks kasutatakse tihti geomeetrilisi ühikuid, kus G = c = 1; siis Schwarzschildi raadius r_s = 2M.
- Schwarzschildi lahendus pärineb Birkhoffi teoreemist: iga sfääriliselt sümmeetriline lahendus vakumise Einstein‑võrranditele peab olema aeglaselt stabiilne ja sarnanema Schwarzschildi lahendile väljaspool massijaotust.
Kokkuvõtlikult on Schwarzschildi meetrika fundamentaalne ja intuitiivne lahendus, mis annab esialgse, kuid paljudeks nähtusteks adekvaatse kirjelduse mustade aukude ja sfäärilise massijaotuse ümber tekkivast aegruumi kõverusest. Selle lihtsus võimaldas teha esimesed täpsed kvantitatiividest tulenevad ennustused, mis kinnitasid üldrelatiivsusteooriat vaatlusandmete abil.
Tuletamine
Kuigi Schwarzschildi meetrika arvutamiseks võib leida keerulisema viisi, kasutades Christoffeli sümboleid, saab selle tuletada ka põgenemiskiiruse ( v e {\displaystyle v_{e}}
), ajadilatatsiooni (dt') ja pikkuskontraktsiooni (dr') võrrandeid kasutades:
v e = v = 2 G M r {\displaystyle v_{e}=v={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}} 
(1)
v on osakese kiirus
G on gravitatsioonikonstant
M on musta augu mass
r on see, kui lähedal on osakene raskele objektile.
d t ′ = d t 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dt'=dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}} 
(2)
d r ′ = d r 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dr'={\frac {dr}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}} 
(3)
dt' on osakese tegelik ajamuutus
dt on osakese ajamuutus
dr' on osakese tegelik läbitud teekond
dr on osakese teekonna muutus
v on osakese kiirus
c on valguse kiirus
Märkus: osakese poolt läbitud tegelik ajaperiood ja tegelik vahemaa on erinevad klassikalise füüsika arvutustes arvutatud ajast ja vahemaast, kuna ta liigub sellises raskes gravitatsiooniväljas!
Kasutades sfäärilistes koordinaatides lameda ruumi aja võrrandit:
( d s ) 2 = - c 2 ( d t ) 2 + ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} 
(4)
ds on osakese teekond
θ \displaystyle \theta } 
on nurk
d θ {\displaystyle \theta } ja d ϕ {\displaystyle \phi } 
on nurkade muutus.
Sisestades põgenemiskiiruse, ajadilatatsiooni ja pikkuskontraktsiooni võrrandid (võrrandid 1, 2 ja 3) lame aegruumi võrrandisse (võrrand 4), saame Schwarzschildi meetrika:
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + ( d r ) 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {(dr)^{2}}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} 
(5)
Sellest võrrandist saame välja võtta Schwarzschildi raadiuse ( r s {\displaystyle r_{s}}
), mis on selle musta augu raadius. Kuigi seda kasutatakse kõige sagedamini Schwarzschildi musta augu kirjeldamiseks, saab Schwarzschildi raadiust arvutada mis tahes raske objekti jaoks.
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - r s r ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - r s r ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {r_{s}}}{r}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {r_{s}}{r}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} 
(6)
r s {\displaystyle r_{s}} on objekti määratud raadiuse piirväärtus.
Küsimused ja vastused
K: Mis on Schwarzschildi meetrika?
V: Schwarzschildi meetrika on üldrelatiivsusteooria võrrand astrofüüsika valdkonnas, mis kirjeldab, kuidas osake liigub läbi ruumi musta augu lähedal. Selle arvutas Karl Schwarzschild 1916. aastal Einsteini välivõrrandite lahendusena.
K: Mida tähendab meetrika?
V: Mõõdiku all mõeldakse võrrandit, mis kirjeldab ruumi aega; eelkõige kirjeldab Schwarzschildi mõõdik gravitatsioonivälja Schwarzschildi musta augu ümber.
K: Millised on Schwarzschildi musta augu mõned omadused?
V: Schwarzschildi must auk on mittepöörlev, sfääriline ja tal puudub magnetväli. Lisaks on selle kosmoloogiline konstant null.
K: Kuidas saab kirjeldada gravitatsioonivälja Schwarzschildi musta augu ümber?
V: Me saame seda kirjeldada, kasutades Schwartzchildi meetrilist võrrandit, mis kirjeldab, kuidas osakesed liiguvad läbi ruumi seda tüüpi musta augu lähedal.
K: Kes arvutas selle võrrandi esimesena välja?
V: Karl Schwartzchild arvutas selle võrrandi esimesena Einsteini välivõrrandite lahendina välja 1916. aastal.
K: Mida tähistab selles võrrandis (ds)^2?
V: (ds)^2 tähistab kahe ruumi aja- ja ruumikoordinaatide suhtes mõõdetud kahe punkti vahelist kaugust.
