Schwarzschildi meetrika
Schwarzschildi meetrika arvutati Karl Schwarzschildi poolt 1916. aastal Einsteini välivõrrandite lahenduseks. See on astrofüüsika valdkonnas tuntud ka kui Schwarzschildi lahendus, mis on üldrelatiivsusteooria võrrand. Mõõdiku all mõistetakse võrrandit, mis kirjeldab aegruumi; eelkõige kirjeldab Schwarzschildi meetrika gravitatsioonivälja Schwarzschildi musta augu ümber - mittepöörlev, sfääriline must auk, millel puudub magnetväli ja kus kosmoloogiline konstant on null.
See on sisuliselt võrrand, mis kirjeldab, kuidas osakeste liikumine läbi ruumi musta augu lähedal.
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} 
Tuletamine
Kuigi Schwarzschildi meetrika arvutamiseks võib leida keerulisema viisi, kasutades Christoffeli sümboleid, saab selle tuletada ka põgenemiskiiruse ( v e {\displaystyle v_{e}}
), ajadilatatsiooni (dt') ja pikkuskontraktsiooni (dr') võrrandeid kasutades:
v e = v = 2 G M r {\displaystyle v_{e}=v={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}} 
(1)
v on osakese kiirus
G on gravitatsioonikonstant
M on musta augu mass
r on see, kui lähedal on osakene raskele objektile.
d t ′ = d t 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dt'=dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}} 
(2)
d r ′ = d r 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dr'={\frac {dr}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}} 
(3)
dt' on osakese tegelik ajamuutus
dt on osakese ajamuutus
dr' on osakese tegelik läbitud teekond
dr on osakese teekonna muutus
v on osakese kiirus
c on valguse kiirus
Märkus: osakese poolt läbitud tegelik ajaperiood ja tegelik vahemaa on erinevad klassikalise füüsika arvutustes arvutatud ajast ja vahemaast, kuna ta liigub sellises raskes gravitatsiooniväljas!
Kasutades sfäärilistes koordinaatides lameda ruumi aja võrrandit:
( d s ) 2 = - c 2 ( d t ) 2 + ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} 
(4)
ds on osakese teekond
θ \displaystyle \theta } 
on nurk
d θ {\displaystyle \theta } ja d ϕ {\displaystyle \phi } 
on nurkade muutus.
Sisestades põgenemiskiiruse, ajadilatatsiooni ja pikkuskontraktsiooni võrrandid (võrrandid 1, 2 ja 3) lame aegruumi võrrandisse (võrrand 4), saame Schwarzschildi meetrika:
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + ( d r ) 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {(dr)^{2}}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} 
(5)
Sellest võrrandist saame välja võtta Schwarzschildi raadiuse ( r s {\displaystyle r_{s}}
), mis on selle musta augu raadius. Kuigi seda kasutatakse kõige sagedamini Schwarzschildi musta augu kirjeldamiseks, saab Schwarzschildi raadiust arvutada mis tahes raske objekti jaoks.
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - r s r ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - r s r ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {r_{s}}}{r}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {r_{s}}{r}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} 
(6)
r s {\displaystyle r_{s}} on objekti määratud raadiuse piirväärtus.
Küsimused ja vastused
K: Mis on Schwarzschildi meetrika?
V: Schwarzschildi meetrika on üldrelatiivsusteooria võrrand astrofüüsika valdkonnas, mis kirjeldab, kuidas osake liigub läbi ruumi musta augu lähedal. Selle arvutas Karl Schwarzschild 1916. aastal Einsteini välivõrrandite lahendusena.
K: Mida tähendab meetrika?
V: Mõõdiku all mõeldakse võrrandit, mis kirjeldab ruumi aega; eelkõige kirjeldab Schwarzschildi mõõdik gravitatsioonivälja Schwarzschildi musta augu ümber.
K: Millised on Schwarzschildi musta augu mõned omadused?
V: Schwarzschildi must auk on mittepöörlev, sfääriline ja tal puudub magnetväli. Lisaks on selle kosmoloogiline konstant null.
K: Kuidas saab kirjeldada gravitatsioonivälja Schwarzschildi musta augu ümber?
V: Me saame seda kirjeldada, kasutades Schwartzchildi meetrilist võrrandit, mis kirjeldab, kuidas osakesed liiguvad läbi ruumi seda tüüpi musta augu lähedal.
K: Kes arvutas selle võrrandi esimesena välja?
V: Karl Schwartzchild arvutas selle võrrandi esimesena Einsteini välivõrrandite lahendina välja 1916. aastal.
K: Mida tähistab selles võrrandis (ds)^2?
V: (ds)^2 tähistab kahe ruumi aja- ja ruumikoordinaatide suhtes mõõdetud kahe punkti vahelist kaugust.
