Kanonilised konjugaatmuutujad: asukoht, impulss ja kvantmehaanika

Konjugaatmuutujad (või kanonilised konjugaatmuutujad) on paarid suurusi — tavaliselt asend (positsioon) ja selle vastav impulso — mille operaatorid kvantmehaanikas ei ole omavahel kommuteeruvad. See tähendab, et järjestusel, milles operaatoritega korrutist teostatakse, on tähtsus: operaatorite QP ja PQ korrutised ei pruugi olla võrdsed. Siin tähistab tähis "*" või lihtsalt järjestus operatorite järjestatud tehet (operaatorite korrutist), mitte tingimata tavalist arvude korrutamist.

Miks see oluline on

Konjugaatmuutujate mittekommuteeruvus on kvantmehaanika keskne omadus. Klassikalises mehaanikas vastavad neile muutujaile Poissoni bracket'id (Poisson brackets), mille väärtus üheks konjugaatpaariks on üks. Kvantmehaanikas asendatakse Poissoni bracket kommutandiga (commutator), mis kirjeldab, kuidas kaks operaatorit üksteist mõjutavad. Selle mittetühisus annab otsese matemaatilise põhjuse kvantmehaaniliste nähtuste, näiteks määramatuse põhimõtte, tekkeks.

Ajalooline taust

Werner Heisenberg ja tema kolleegid arendasid 1925. aastal välja nii-öelda mantaine-mehaanika (matrix mechanics) lähenemise kvantmehaanikale. Heisenberg tuvastas, et impulsi (klassikaliselt p = mass × kiirus, siin tähistatuna P) ja asukoha (Q) operaatorite järjekord on oluline: P*Q ei ole üldjuhul võrdne Q*P-ga.

Heisenbergi meetodiga tekkisid võrrandid, mis väljendavad näiteks süsteemi üleminekute amplituude eri olekute vahel. Artiklis on toodud üldised summavõrrandid kahe operaatori järjekorra kohta: ühe puhul leitakse järjestus p siis q, ja teise puhul q siis p.

Esimene võrrand (järjestus p siis q):

Y ( n , n - b ) = ∑ a p ( n , n - a ) q ( n - a , n - b ) {\displaystyle Y(n,n-b)=\sum _{a}^{}\,p(n,n-a)q(n-a,n-b)}

Teine võrrand (järjestus q siis p):

Z ( n , n - b ) = ∑ a q ( n , n - a ) p ( n - a , n - b ) {\displaystyle Z(n,n-b)=\sum _{a}^{}\,q(n,n-a)p(n-a,n-b)}

Need summavõrrandid on näited maatriksite (või operaatorite) elementide korrutamisest, kus summa üle indeksite väljendab võimalikku vaheolekute seeriat süsteemi üleminekutes — nii töötas Heisenberg, kui kirjeldas näiteks vesinikuaatomis toimuvaid üleminekuid.

Borni ja kommutand

Max Born tõstatas selle uue formaalsuse põhjal idee kommutandist: kaks operaatorit A ja B ei pruugi olla vahetatavad ning nende erinevus järjestuses antakse kommutandiga [A,B] = AB − BA. Born ja teised leidsid, et positsiooni Q ja impulsi P kommutant ei ole null, vaid seotud Plancki konstandiga. Selle klassikalise näitena kehtib:

Q ∗ P - P ∗ Q = i h 2 π {\displaystyle {Q*P-P*Q={\frac {ih}{2\pi }}}}

Sellet avaldist kirjutatakse tavaliselt lühemalt kasutades vähendatud Plancki konstantti ħ = h/(2π):

[Q,P] = QP − PQ = iħ.

Selle võrduse tähendus on oluline: positsiooni ja impulsi operaatorite mittetühine kommutant on fundamentaalne omadus, mis viib otseselt kvantmehaanilise määramatuse (Heisenbergi määramatuse) põhiformulini.

Määramatuse põhimõte

Konjugaatmuutujate mittetühisus annab matemaatilise aluse määramatuse põhimõttele. Kui Q ja P on omavahel kanoniliselt konjugeeritud operaatorid, siis nende dispersioonid (hajuvused) rahuldavad:

• ΔQ · ΔP ≥ ħ/2

See tähendab, et mida täpsemalt mõõdetakse positsiooni, seda suurem on häälestus impulsi määramatus, ja vastupidi. See ei ole eksperimentaalne piirang mõõteseadmetele, vaid kvantisüsteemi fundamentaalne omadus.

Operaatorite esitus

Positsiooni ja impulsi operaatorite kujutised sõltuvad valitud representatsioonist. Näiteks asendiesituses (positsioonibaasis) on tavaline esitus ühemõõtmelisele osakesele:

• Q kui ruumipunkti skaalaoperaator: (Qψ)(x) = x ψ(x)
• P kui diferentsiaaloperaator: (Pψ)(x) = −iħ ∂ψ/∂x

Nende operaatorite kommutant annabki [Q,P] = iħ, kui operaatorid on määratletud sobivalt (ja vaatamata tehnilistele küsimustele domeenide kohta, mis matemaatiliselt olulised on). Teistes representatsioonides (näiteks impulsi representatsioonis) on P diagonaalne ja Q esitatakse diferentseeriva operaatorina impulsi suhtes.

Kasutusalad ja näited

Konjugaatmuutujaid ja nende kommutatsioonseoseid kasutatakse laialdaselt kvantmehaanikas ning neist tulenevad arvukad rakendused ja teoreetilised tulemused:

• kvantolekute klassifikatsioon ja loendamine (näiteks harmooniline ostsillaator),
• mõisteid nagu loomise ja hävitamise operaatorid (ladumis- ja tõstmisoperaatorid),
• kvantväljade teooria ja osakeste süntees ning annihilatsioon,
• koolis ja teadustöös kvantmehaaniliste süsteemide arvutus — näiteks vesinikuaatomi energia- ja üleminekute kirjeldamine (viidatud pildil kujutatud elektronituhmumine ja fotoni emissioon),
• keemia, kus elektronide kvantolekute ja sidemeomaduste kvantitatiivne kirjeldus põhineb antud operaatorite omadustel.

Lõppsõna

Kanonilised konjugaatmuutujad on kvantmehaanika keskne kontseptsioon, mis ühendab klassikalise mehaanika struktuuri ja kvantoperatsioonide spetsiifilisuse. Mittetühine kommutant [Q,P] = iħ selgitab, miks kvantmaailmas kehtivad fundamentaalsed piirangud mõõtmiste täpsusele ning annab matemaatilise raamistiku paljudele kvantsüsteemide nähtustele.

[Sümbol Q on positsiooni maatriks või operaator, P on impulsi maatriks/operaator, i on kompleksarv ja h on Plancki konstant; vähenenud konstant on ħ = h/2π.]

Konjugaatmuutujaid kasutatakse kõikjal füüsikas, keemias ja paljudes teistes teadusvaldkondades.

Küsimused ja vastused

K: Mis on konjugatsioonilised muutujad?

Küsimus: Kes avastas konjugatiivsed muutujad?

Küsimus: Millise võrrandi abil saab arvutada impulsi ja asendi korrutist?

K: Millist võrrandit saab kasutada asendi ja impulsi korrutise arvutamiseks?

K: Mida avastas Max Born konjugeeritud muutujate kohta?

K: Kuidas ilmneb Plancki konstant kvantmehaanikas?

K: Millistes valdkondades on konjugeeritud muutujatel rakendusi?

Otsing