Konstantne funktsioon: definitsioon, omadused ja näited
Konstantne funktsioon: selge definitsioon, põhised omadused, graafikud ja praktilised näited, mis aitavad mõista selle käitumist matemaatikas.
Matemaatikas on konstantne funktsioon funktsioon, mille väljundväärtus on sama iga sisendväärtuse korral. Näiteks funktsioon y ( x ) = 4 {\displaystyle y(x)=4}
on konstantne funktsioon, sest y ( x ) {\displaystyle y(x)} väärtus 
on 4, olenemata sisendväärtusest x {\displaystyle x}
(vt joonis).
Definitsioon
Üldisemalt: olgu X mistahes hulga ja Y mingisuguse eesmärgaga (nt reaalarvud). Funktsioon f:X→Y on konstantne, kui leidub element c∈Y nii, et f(x)=c kõigi x∈X korral. Sellisel juhul on funktsiooni väärtuste(hulk) ehk afbeeldumine (range) üheelemendiline hulk {c}.
Peamised omadused
- Hulkade vaheline kujutis: f(X) = {c} ehk pilt on üheelementne.
- Graafik: reaalarvulise muutuja puhul on graafik horisontaalne sirg y = c.
- Kontinuitetsus: konstantfunktsioon on pidev kõikjal oma määramispiirkonnas (toodud topoloogias/reaaljoonel pidev kõigis punktides).
- Ühtlane kontinuitetsus: iga konstantne funktsioon on ühtlaselt pidev.
- Tuletis: kui f:ℝ→ℝ ja f on diferentseeruv, siis f'(x)=0 kõikjal (ja seega ka kõrgemad tuletised on nullid).
- Integratsioon: integraal üle intervalli [a,b] on ∫_a^b c dx = c(b−a).
- Monotoonsus: konstantne funktsioon on samaaegselt mitte-lahenduv (nondecreasing) ja mitte- kasvav (nonincreasing) — sageli öeldakse, et see on monotoonne mõlemal moel.
- Piiratudus ja Lipschitz: konstantfunktsioon on piiratud. See on ka Lipschitzi funktsioon kujul L=0, sest |f(x)−f(y)| ≤ 0·|x−y|.
- Inverteeritavus: konstanti f ei ole tavaliselt inverteeritav, välja arvatud juhul, kui määramispiirkond on ükseliik (singleton). Pöördfunktsioon ei eksisteeri, sest f ei ole injektiivne, kui domeenil on vähemalt kaks erinevat elementi.
- Kompositsioon: kui f(x)=c ja g on teine funktsioon, siis g∘f on konstantne ja võrdub konstantiga g(c). Kuid f∘g ei pruugi olla konstantne (sõltub g-st).
- Tasemed: tasemefunktsioonide puhul (level sets) on f^{-1}({c}) = X ja f^{-1}({y}) = ∅ iga y≠c jaoks.
Näited
- Elementaarne näide: f(x)=4 iga reaalarvu x korral. (Vt ülal olevaid kujutisi.)
- Nullfunktsioon: f(x)=0 kõigil x — tihti kasutatav võrdluspunkt analüüsis ja lineaarses algebras.
- Fikseeritud väärtus: g: {1,2,3} → ℝ, g(1)=g(2)=g(3)=5 — diskreetne konstantne kujutis.
- Kirjeldav näide: indicator- või astmefunktsiooni tüüpides on sageli piirkonnad, kus funktsioon on konstantne; näiteks tükiti konstantne funktsioon on konstantne iga osa peal.
- Kompositsiooni näide: kui f(x)=2 ja h(y)=y^2, siis h∘f(x)=h(2)=4 on konstantne.
Graafik ja visuaalne tõlgendus
Reaalfunktsiooni y=f(x)=c graafik on joonel y=c — horisontaalne sirg. See iseloomustab, et sõltumata x-st jääb füüsikaline või matemaatiline suurus muutumatuks. Kuna graafik on sirg, siis ei ole konstantfunktsioonil ühtegi kriitilist punkti või lokaalset ekstreemi (kõik punktid on sama tasemega).
Rakendused ja tähelepanekud
- Konstantfunktsioone kasutatakse sageli võrdlus- või lähtefunktsioonidena analüüsis ning diferentseeruvuses.
- Diferentsiaalvõrrandites tähistavad konstantlahendid sageli tasakaalu- või seisuolekut (steady state solutions).
- Topoloogias on konstantkaardistused (constant maps) lihtsad näited pidevatest kaardistustest ning neid kasutatakse ka homotoopiates kui triviaalset pinget.
- Statistikast ja andmetöötlusest tuntud "konstantne mudel" tähendab, et mudel ennustab kõigi vaatluste jaoks sama väärtust (nt keskmine või mediaan kui konstantne ennustus).
Kokkuvõte: konstantne funktsioon on kõige lihtsam tüüpi funktsioon — väärtus ei sõltu sisendist. Kuigi näiliselt triviaalne, on tal tähtsad omadused (pidevus, tuletis null, piiratudus jne) ja ta ilmub sageli nii teoreetilises kui ka rakenduslikus matemaatikas.
Konstantne funktsioon y=4
Põhilised omadused
Formaalselt on konstantne funktsioon f(x):R→R kujul f ( x ) = c {\displaystyle f(x)=c}
. Tavaliselt kirjutame y ( x ) = c {\displaystyle y(x)=c} 
või lihtsalt y = c {\displaystyle y=c}
.
- Funktsioonil y=c on 2 muutujat x ja у ning 1 konstant c. (Selles funktsioonivormis ei näe me x-i, kuid see on olemas.)
- Konstant c on reaalarv. Enne lineaarse funktsiooniga töötamist asendame c reaalse arvuga.
- Y=c domeen või sisend on R. Seega võib sisestada mis tahes reaalarvu x. Väljundiks on aga alati väärtus c.
- Ka y=c vahemik on R. Kuna aga väljundiks on alati c väärtus, siis on kaasvaldkond ainult c.
Näide: Funktsioon y ( x ) = 4 {\displaystyle y(x)=4} või lihtsalt y = 4 {\displaystyle y=4}
on konkreetne konstantne funktsioon, mille väljundväärtus on c = 4 {\displaystyle c=4}
. Domeeniks on kõik reaalarvud ℝ. Kaasvaldkond on lihtsalt {4}. Nimelt y(0)=4, y(-2,7)=4, y(π)=4,..... Olenemata sellest, milline x-i väärtus sisestatakse, on väljundiks "4".
- Konstantfunktsiooni y = c {\displaystyle y=c} graafik on horisontaalne sirge tasapinnal, mis läbib punkti ( 0 , c ) {\displaystyle (0,c)}
. - Kui c≠0, siis on konstantne funktsioon y=c ühe muutuja x nulltasemega polünoom.
- Selle funktsiooni y-lõikepunkt on punkt (0,c).
- Sellel funktsioonil puudub x-intertseptsioon. See tähendab, et tal ei ole juurt ega nulli. See ei ületa kunagi x-telge.
- Kui c=0, siis on meil y=0. See on nullpolünoom ehk identne nullfunktsioon. Iga reaalarv x on juur. Graafik y=0 on tasandi x-telg.
- Konstantne funktsioon on ühtlane funktsioon, nii et y-telg on iga konstantse funktsiooni sümmeetriatelg.
Konstantse funktsiooni tuletis
Selles kontekstis, kus see on määratletud, mõõdab funktsiooni tuletis funktsiooni (väljund) väärtuste muutumise kiirust sisendväärtuste muutumise suhtes. Konstantne funktsioon ei muutu, seega on selle tuletis 0. Seda kirjutatakse sageli: ( c ) ′ = 0 {\displaystyle (c)'=0} 
Näide: y ( x ) = - 2 {\displaystyle y(x)=-{\sqrt {2}}}
. Funktsiooni y tuletis on identselt nullfunktsioon y ′ ( x ) = ( - 2 ) ′ = 0 {\displaystyle y'(x)=(-{\sqrt {2}})'=0} 
Vastupidine (vastupidine) on samuti tõsi. See tähendab, et kui funktsiooni tuletis on kõikjal null, siis on see funktsioon konstantne funktsioon.
Matemaatiliselt kirjutame need kaks avaldist:
y ( x ) = c ⇔ y ′ ( x ) = 0 , ∀ x ∈ R {\displaystyle y(x)=c\,\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\,y'(x)=0\,,\,\,\,\,\forall x\in \mathbb {R} } 
Üldistus
Funktsioon f : A → B on konstantne funktsioon, kui f(a) = f(b) iga a ja b jaoks A-s.
Näited
Reaalse maailma näide: Kauplus, kus iga toode müüakse 1 euro eest. Selle funktsiooni domeeniks on kaupluses olevad esemed. Kaasvaldkond on 1 euro.
Näide: Olgu f : A → B, kus A={X,Y,Z,W} ja B={1,2,3} ning f(a)=3 iga a∈A puhul. Siis on f konstantne funktsioon.
Näide: z(x,y)=2 on konstantne funktsioon punktist A=ℝ² punktile B=ℝ, kus iga punkt (x,y)∈ℝ² vastab väärtusele z=2. Selle konstantse funktsiooni graafik on horisontaaltasand (paralleelne x0y-tasandiga) kolmemõõtmelises ruumis, mis läbib punkti (0,0,2).
Näide: Polaarfunktsioon ρ(φ)=2,5 on konstantne funktsioon, mis vastab iga nurga φ raadiusele ρ=2,5. Selle funktsiooni graafik on raadiusega 2,5 ring tasandis.
|
|
|
|
Muud omadused
Konstandifunktsioonidel on ka muid omadusi. Vt Constant function in English Wikipedia
Seotud leheküljed
Küsimused ja vastused
K: Mis on konstaabli funktsioon?
V: Konstantne funktsioon on funktsioon, mille väljundväärtus jääb iga sisendväärtuse korral samaks.
K: Kas te oskate tuua näite konstantsest funktsioonist?
V: Jah, näide konstantsest funktsioonist oleks y(x) = 4, kus y(x) väärtus on alati võrdne 4, olenemata sisendväärtusest x.
K: Kuidas saab kindlaks teha, kas funktsioon on konstantne funktsioon?
V: Seda, kas funktsioon on konstantne, saab kindlaks teha selle järgi, kas selle väljundväärtus jääb iga sisendväärtuse korral samaks.
K: Mida tähendab see, kui konstantsete funktsioonide kohta öeldakse, et "y(x)=4"?
V: Kui me ütleme, et "y(x)=4", siis tähendab see, et y(x) väljundväärtus on alati võrdne 4, olenemata sellest, milline on sisendväärtus x.
K: Kas on võimalik kuidagi visualiseerida, kuidas konstandifunktsioonid välja näevad?
V: Jah, üks võimalus visualiseerida, kuidas konstandifunktsioon välja näeb, on pilt või graafik.
K: Kas väljund muutub sõltuvalt sisendist konstandifunktsioonides?
V: Ei, konstandifunktsioonides ei muutu väljund sõltuvalt sisendist.
Otsige