Matemaatikas on konstantne funktsioon funktsioon, mille väljundväärtus on sama iga sisendväärtuse korral. Näiteks funktsioon y ( x ) = 4 {\displaystyle y(x)=4}{\displaystyle y(x)=4} on konstantne funktsioon, sest y ( x ) {\displaystyle y(x)} väärtus {\displaystyle y(x)}on 4, olenemata sisendväärtusest x {\displaystyle x}x (vt joonis).

Definitsioon

Üldisemalt: olgu X mistahes hulga ja Y mingisuguse eesmärgaga (nt reaalarvud). Funktsioon f:X→Y on konstantne, kui leidub element c∈Y nii, et f(x)=c kõigi x∈X korral. Sellisel juhul on funktsiooni väärtuste(hulk) ehk afbeeldumine (range) üheelemendiline hulk {c}.

Peamised omadused

  • Hulkade vaheline kujutis: f(X) = {c} ehk pilt on üheelementne.
  • Graafik: reaalarvulise muutuja puhul on graafik horisontaalne sirg y = c.
  • Kontinui­tetsus: konstantfunktsioon on pidev kõikjal oma määramispiirkonnas (toodud topoloogias/reaaljoonel pidev kõigis punktides).
  • Ühtlane kontinui­tetsus: iga konstantne funktsioon on ühtlaselt pidev.
  • Tuletis: kui f:ℝ→ℝ ja f on diferentseeruv, siis f'(x)=0 kõikjal (ja seega ka kõrgemad tuletised on nullid).
  • Integratsioon: integraal üle intervalli [a,b] on ∫_a^b c dx = c(b−a).
  • Monotoonsus: konstantne funktsioon on samaaegselt mitte-lahenduv (nondecreasing) ja mitte- kasvav (nonincreasing) — sageli öeldakse, et see on monotoonne mõlemal moel.
  • Piiratudus ja Lipschitz: konstantfunktsioon on piiratud. See on ka Lipschitzi funktsioon kujul L=0, sest |f(x)−f(y)| ≤ 0·|x−y|.
  • Inverteeritavus: konstanti f ei ole tavaliselt inverteeritav, välja arvatud juhul, kui määramispiirkond on ükseliik (singleton). Pöördfunktsioon ei eksisteeri, sest f ei ole injektiivne, kui domeenil on vähemalt kaks erinevat elementi.
  • Kompositsioon: kui f(x)=c ja g on teine funktsioon, siis g∘f on konstantne ja võrdub konstantiga g(c). Kuid f∘g ei pruugi olla konstantne (sõltub g-st).
  • Tasemed: tasemefunktsioonide puhul (level sets) on f^{-1}({c}) = X ja f^{-1}({y}) = ∅ iga y≠c jaoks.

Näited

  • Elementaarne näide: f(x)=4 iga reaalarvu x korral. (Vt ülal olevaid kujutisi.)
  • Nullfunktsioon: f(x)=0 kõigil x — tihti kasutatav võrdluspunkt analüüsis ja lineaarses algebras.
  • Fikseeritud väärtus: g: {1,2,3} → ℝ, g(1)=g(2)=g(3)=5 — diskreetne konstantne kujutis.
  • Kirjeldav näide: indicator- või astmefunktsiooni tüüpides on sageli piirkonnad, kus funktsioon on konstantne; näiteks tükiti konstantne funktsioon on konstantne iga osa peal.
  • Kompositsiooni näide: kui f(x)=2 ja h(y)=y^2, siis h∘f(x)=h(2)=4 on konstantne.

Graafik ja visuaalne tõlgendus

Reaalfunktsiooni y=f(x)=c graafik on joonel y=c — horisontaalne sirg. See iseloomustab, et sõltumata x-st jääb füüsikaline või matemaatiline suurus muutumatuks. Kuna graafik on sirg, siis ei ole konstantfunktsioonil ühtegi kriitilist punkti või lokaalset ekstreemi (kõik punktid on sama tasemega).

Rakendused ja tähelepanekud

  • Konstantfunktsioone kasutatakse sageli võrdlus- või lähtefunktsioonidena analüüsis ning diferentseeruvuses.
  • Diferentsiaalvõrrandites tähistavad konstantlahendid sageli tasakaalu- või seisuolekut (steady state solutions).
  • Topoloogias on konstantkaardistused (constant maps) lihtsad näited pidevatest kaardistustest ning neid kasutatakse ka homotoopiates kui triviaalset pinget.
  • Statistikast ja andmetöötlusest tuntud "konstantne mudel" tähendab, et mudel ennustab kõigi vaatluste jaoks sama väärtust (nt keskmine või mediaan kui konstantne ennustus).

Kokkuvõte: konstantne funktsioon on kõige lihtsam tüüpi funktsioon — väärtus ei sõltu sisendist. Kuigi näiliselt triviaalne, on tal tähtsad omadused (pidevus, tuletis null, piiratudus jne) ja ta ilmub sageli nii teoreetilises kui ka rakenduslikus matemaatikas.