Kumerad korrapärased 4‑polütoobid (4D): definitsioon, Schläfli ja näited

Kumerad korrapärased 4‑polütoobid (4D): selge definitsioon, Schläfli avastus, kuue ja 24‑elementse polütoobi ülevaade, näited ja illustratsioonid matemaatiliseks süvenemiseks.

Matemaatikas on konvex korrapärane 4-polütoop (või polükoor) 4-mõõtmeline (4D) polütoop, mis on nii korrapärane kui ka konvex. Need on Platoni tahkete kehade (kolmemõõtmelised) ja regulaarsete hulknurkade (kahemõõtmelised) neljamõõtmelised analoogid.

Neid polütoope kirjeldas esimest korda Šveitsi matemaatik Ludwig Schläfli 19. sajandi keskel. Schläfli avastas, et selliseid kujundeid on täpselt kuus. Viit neist võib pidada Platoni tahkete kehade kõrgemate mõõtmete analoogideks. On veel üks arv (24-kohaline), millel ei ole kolmemõõtmelist vastet.

Iga kumer korrapärane 4-polütoop on piiratud kolmemõõtmeliste rakkude kogumiga, mis on kõik sama tüüpi ja suurusega platoonilised kehad. Need on piki oma vastavaid külgi korrapäraselt kokku sobitatud.

Schläfli sümbol {p,q,r} ja selle tähendus

Korrapäraste 4-polütoopide puhul kasutatakse Schläfli sümbolit {p,q,r}. Selle sümboli tähendus on järgmine:

• rakud (cells) on regulaarsed hulknurgad tüüpi {p,q};
• iga ühe rakku kohal paiknev nägu on {p,q} tüüpi ning iga tipu ümber moodustuv tipunurk (vertex figure) on {q,r}.

Teisisõnu: {p,q,r} ütleb, millist tüüpi on rakud ja milline on tipu-kuju. Korrapäraste 4-polütoopide olemasolu on rangelt piiratud ja Schläfli näitas, et vaid kuus sellist finitset kumerat kujundit eksisteerib.

Kuus kumerat korrapärast 4-polütoopi (loend ja omadused)

Alljärgnevalt on kuus regulaarselt tuntud kumerat 4-polütoopi, koos nende Schläfli sümboli, tuntuima nime, rakutüübiga ja oluliste arvuliste andmetega (tipud V, servad E, pinnad F, rakud C):

• {3,3,3} — 4-simpleks (5-cell)
  • rakud: 5 tetraeedrit ({3,3})
  • V = 5, E = 10, F = 10, C = 5
  • isend: ise-duaalne (self-dual)
• {4,3,3} — tesserakt (8-cell, hüperkuup)
  • rakud: 8 kuupi ({4,3})
  • V = 16, E = 32, F = 24 (ruudud), C = 8
  • duaalpaar: {3,3,4} (16-cell)
  • tipu-kuju (vertex figure): kuup {4,3}
• {3,3,4} — 16-cell
  • rakud: 16 tetraeedrit ({3,3})
  • V = 8, E = 24, F = 32, C = 16
  • duaalpaar: {4,3,3} (tesserakt)
  • tipu-kuju: oktaaedriga seotud (vertex figure {3,4} ehk oktaaedri sarnane)
• {3,4,3} — 24-cell
  • rakud: 24 oktaeedrit ({3,4})
  • V = 24, E = 96, F = 96, C = 24
  • isend: ise-duaalne (self-dual)
  • eriline selles, et tal pole kolmemõõtmelist vastet — 24-cell on puhtalt neljamõõtmeline regulaarne kujund
• {5,3,3} — 120-cell
  • rakud: 120 dodekaeedrit ({5,3})
  • V = 600, E = 1200, F = 720, C = 120
  • duaalpaar: {3,3,5} (600-cell)
• {3,3,5} — 600-cell
  • rakud: 600 tetraeedrit ({3,3})
  • V = 120, E = 720, F = 1200, C = 600
  • duaalpaar: {5,3,3} (120-cell)

Duanaalsus ja topoloogilised seosed

Neist kuuest on kaks ise-duaalset ({3,3,3} ja {3,4,3}) ning kaks moodustavad duaalpaare ({4,3,3} ↔ {3,3,4} ja {5,3,3} ↔ {3,3,5}). Duanaalsus tähendab, et tipud ja rakud vahetavad rolli: ühel kujundil tipud vastavad teise raketele ja vastupidi.

Lisaks kehtib kumerate korrapäraste 4-polütoopide piirpinnal Euleri‑tüüpi seos, sest piir on 3‑kujuline sfäär (S^3). Selle tulemusena kehtib lihtsustatud relatsioon V − E + F − C = 0 (see on 3-mõõtmelise piirpinna Euler‑karakteristikast tulenev seos).

Näited ja geomeetriline esitus

• Tesserakti saab esitada koordinaatidena punktilt kõik kombineeritud ±1/2 koordinaadid 4-teljega (kui keskpunkt on alguspunkt), mis annab 16 tipuga kuubi‑struktuuri neljandas mõõtmes.
• 16-cell on tesserakti duaal; tema tipud korreleeruvad tesserakti rakkude keskmepunktidega ja tema kuju suurepäraselt näitab, kuidas tetraeedrid võivad kokku sobituda neljamõõtmelises ruumis.
• 24-cell on eriline: tal pole kolmemõõtmelist Platoni analoogi ja tema sümmeetria on seotud H4-kõrgema taseme Coxeteri rühmaga; see kujund ilmneb ka kvaternionide ja uute sümmeetriavõrgustike uurimisel.

Kokkuvõte ja ajalooline märk

Kumerad korrapärased 4-polütoobid on neljamõõtmelised analoogid Platoni kehadele ja regulaarsetele hulknurkadele. Ludwig Schläfli tõestas nende piiratud arvu ja kirjeldas kuus võimalikku puudriiti: 4-simpleks, tesserakt, 16-cell, 24-cell, 120-cell ja 600-cell. Igaüks neist on sümmeetriline ja koosneb ühesugustest platoonilistest rakkudest, kuid 24-cell on eriti iseloomulik, kuna tal puudub kolmemõõtmeline vastetüüp.

Küsimused ja vastused

K: Mis on kumer korrapärane 4-polütiop?

K: Millised on kumerate regulaarsete 4-polütoopide analoogid kolmes ja kahes mõõtmes?

K: Kes kirjeldas esimesena kumerad korrapärased 4-polütoopid?

Küsimus: Kui palju on olemas kumerad korrapärased 4-polütoopid?

Küsimus: Mis on 24-kohalise polütoopi eripära kumerate regulaarsete 4-polütoopide hulgas?

K: Millised on kolmemõõtmelised rakud, mis piiravad iga kumerat regulaarset 4-polütoopi?

K: Kuidas on 3-mõõtmelised rakud kokku pandud kumeras korrapärases 4-polütoopis?

Otsing