Konvex korrapärane 4-polütoop

Matemaatikas on konvex korrapärane 4-polütoop (või polükoor) 4-mõõtmeline (4D) polütoop, mis on nii korrapärane kui ka konvex. Need on Platoni tahkete kehade (kolmemõõtmelised) ja regulaarsete hulknurkade (kahemõõtmelised) neljamõõtmelised analoogid.

Neid polütoope kirjeldas esimest korda Šveitsi matemaatik Ludwig Schläfli 19. sajandi keskel. Schläfli avastas, et selliseid kujundeid on täpselt kuus. Viit neist võib pidada Platoni tahkete kehade kõrgemate mõõtmete analoogideks. On veel üks arv (24-kohaline), millel ei ole kolmemõõtmelist vastet.

Iga kumer korrapärane 4-polütoop on piiratud kolmemõõtmeliste rakkude kogumiga, mis on kõik sama tüüpi ja suurusega platoonilised kehad. Need on piki oma vastavaid külgi korrapäraselt kokku sobitatud.

Omadused

Järgnevates tabelites on loetletud kuue kumera korrapärase polükoora mõned omadused. Nende polükoorade sümmeetriarühmad on kõik Coxeteri rühmad ja need on esitatud selles artiklis kirjeldatud notatsiooniga. Rühma nime järel olev number on rühma järjestus.

Nimed	Perekond	Schläfli sümbol	Vertikaalid	Servad	Faces	Rakud	Vertex arvud	Kaksikpolütope	Sümmeetria rühm
Pentachoron5-tsellpentatopehüperpüramiidhüpertetraeeder4-simpleks	simplex (n-simplex)	{3,3,3}	5	10	10 kolmnurgad	5 tetraeedrid	tetraeedrid	(iseenda duaal)	A₄	120
Tesseractoctachoron8-cellhypercube4-cube	hüperkuubik (n-kuubik)	{4,3,3}	16	32	24 ruudud	8 kuubikud	tetraeedrid	16-kohaline	B₄	384
Hexadecachoron16-elementorthoplexhyperoktaeder4-orthoplex	ristpolütoop (n-ortopleks)	{3,3,4}	8	24	32 kolmnurgad	16 tetraeedrid	oktaedrid	tesserakt	B₄	384
Icositetrachoron24-celloctaplexpolyoktaeder		{3,4,3}	24	96	96 kolmnurgad	24 oktaedrid	kuubikud	(iseenda duaal)	F₄	1152
Hekatoonikosakooron120-rakulinedodekaedrihüperdodekaedripolüdodekaedrihüperdodekaedrihüperdodekaedrihüperdodekaeder		{5,3,3}	600	1200	720 viisnurkade	120 dodekaeedrid	tetraeedrid	600-rakuline	H₄	14400
Hexacosichoron600-rakuline tetraplekshyperikosaeederpolütetraeeder		{3,3,5}	120	720	1200 kolmnurgad	600 tetraeedrid	icosahedra	120-rakuline	H₄	14400

Kuna iga sellise kujundi piirid on topoloogiliselt samaväärsed 3-sfääriga, mille Euleri karakteristik on null, siis on meil olemas Euleri polüühikavalemi 4-mõõtmeline analoog:

N 0- N +1 N2 - N = 3{\displaystyle0 N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0\,} $N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0\,$

kus N _ktähistab k-külgede arvu polütoopis (tipp on 0-külg, serv on 1-külg jne).

Visualiseerimine

Järgnevas tabelis on esitatud mõned nende polütoopide 2-mõõtmelised projektsioonid. Erinevad muud visualiseeringud on leitavad teistelt veebilehtedelt allpool. Coxeter-Dynkini diagrammi graafikud on esitatud ka Schläfli sümboli all.

5-rakuline	8-kohaline	16-kohaline	24-kohaline	120-rakuline	600-rakuline
{3,3,3}	{4,3,3}	{3,3,4}	{3,4,3}	{5,3,3}	{3,3,5}

Petrie polügoonide sees olevad ortograafilised traatprojektsioonid.

Tahked ortograafilised projektsioonid
tetraeedriline ümbris (rakk/vertex-keskne)	kuubiline ümbris (rakukeskne)	octahedralenvelope (vertex centered)	kuboktaedriline ümbris (rakukeskne)	kärbitud rombikujuline tahvel (rakukeskne)	Pentakis icosidodecahedralenvelope (tipukeskne)
Trajektoorne Schlegeli skeem (perspektiivprojektsioon)
(rakukeskne)	(rakukeskne)	(rakukeskne)	(rakukeskne)	(rakukeskne)	(Vertex-keskne)
Traatstruktuurilised stereograafilised projektsioonid (hüpersfäärilised)

Seotud leheküljed

Regulaarne polütoop
Platooniline tahkis

Küsimused ja vastused

K: Mis on kumer korrapärane 4-polütiop?

V: Konvex korrapärane 4-polütoop on 4-mõõtmeline polütoop, mis on nii korrapärane kui ka konvex.

K: Millised on kumerate regulaarsete 4-polütoopide analoogid kolmes ja kahes mõõtmes?

V: Kumerate regulaarsete 4-polütoopide analoogid kolmemõõtmelistes mõõtmetes on Platoni tahked kehad, kahes mõõtmes aga regulaarsed hulknurgad.

K: Kes kirjeldas esimesena kumerad korrapärased 4-polütoopid?

V: Šveitsi matemaatik Ludwig Schläfli kirjeldas esimesena 19. sajandi keskel konvexe korrapäraseid 4-polütoope.

Küsimus: Kui palju on olemas kumerad korrapärased 4-polütoopid?

V: Konvexe regulaarseid 4-polütoope on täpselt kuus.

Küsimus: Mis on 24-kohalise polütoopi eripära kumerate regulaarsete 4-polütoopide hulgas?

V: 24-rakulisel polütoobil ei ole kumerate regulaarsete 4-polütoopide hulgas kolmemõõtmelist ekvivalenti.

K: Millised on kolmemõõtmelised rakud, mis piiravad iga kumerat regulaarset 4-polütoopi?

V: Iga kumerat regulaarset 4-polütoopi piiravad kolmemõõtmelised rakud, mis on kõik sama tüüpi ja suurusega Platoni tahkised.

K: Kuidas on 3-mõõtmelised rakud kokku pandud kumeras korrapärases 4-polütoopis?

V: 3-mõõtmelised rakud on konvexes korrapärases 4-polütoopis piki oma vastavaid külgi korrapäraselt kokku sobitatud.