Maatriksi determinant: definitsioon, omadused ja arvutamine
Maatriksi determinant: selge definitsioon, põhiolemus ja samm-sammult arvutamismeetodid ruutmaatriksitele, näited ja tähtsamad omadused õppimiseks ja rakendusteks.
Ruutmaatriksi determinant on skalaar (arv), mis ütleb midagi selle maatriksi käitumise kohta. Determinandi saab arvutada maatriksi arvude põhjal.
"Maatriksi A {\displaystyle A} determinant on 
" kirjutatakse valemis det ( A ) {\displaystyle \det(A)} 
või | A | {\displaystyle |A|}
. Mõnikord kasutatakse det ( [ a b c d ] ) {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\right)} ja | [ 
a b c d ] | {\displaystyle \left|{\begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}}\right|} asemel. 
kirjutame lihtsalt det [ a b c d ] {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}} ja | a 
b c d | {\displaystyle \left|{\begin{matrix}a&b\c&d\end{matrix}}\right|} .
Mis on determinant?
Determinant on ruutmaatriksi juures defineeritud arvuline invariant, mis annab ülevaate maatriksi omadustest: näiteks kas maatriks on pööratav (invertible) ja kui suurt ruumi ruutmaatriks kujundab (suurendab või vähendab) lineaartransformatsiooni mõjul. Determinant on reaal- või kompleksarv, sõltuvalt maatriksi elementidest, ja seda saab arvutada maatriksi elementide põhjal.
Sümboolika ja 2×2 näide
Kui maatriks on tähistatud A, siis tema determinanti tähistatakse tavaliselt det(A) või |A|. Originaalnotatsioonid on ülal (inklusiivsete piltidega), kuid lihtsas tekstis:
- det(A) või |A|
- näiteks 2×2 maatriksi A = [[a, b], [c, d]] determinant on det(A) = ad − bc.
Kuidas determinanti arvutada (põhitüübid)
Determinandi arvutamiseks on mitu meetodit, sõltuvalt maatriksi suurusest ja efektiivsusnõuetest:
- 2×2 ja 3×3: 2×2 puhul otse valemiga ad − bc. 3×3 puhul saab kasutada Sarruse reeglit (ainult 3×3) või laiendamist (Laplace).
- Laplace’i (ko-faktor) laienemine: valem, mis väljendab determinanti ühe rea või veeru elementide ja vastavate aladeterminantide (minor) koosmõjuna. See on hea teoreetiliseks seletuseks, kuid suurte maatriksite puhul arvutuskalliv (faktorieelne kasv).
- Leibnizi valem (permutaatsioonide kaudu): determinanti saab kirjutada summina kõigi permutatsioonide kohta: det(A) = sum_{σ∈S_n} sgn(σ) ∏_{i=1..n} a_{i,σ(i)}. See on formaalne ja harva otsepraktikas kasutatud suure n puhul (kuna S_n suurus kasvab n!-i järgi).
- Ridade teisendamine / Gaussi eliminatsioon ja LU-lahutus: praktiliselt suurte maatriksite puhul kasutatakse reavahetusi ja ridadelineaarseid operatsioone, et viia maatriks ülemkolmnurkseks U-ks. Determinant on siis toodete diagonaalelementidest, korrigeerituna ridade vahetuste arvu ja skaalamiste mõjuga (iga ridade kordaja muutmine korrutab determinanti vastava skaalafaktoriga; ridade liitmine ei muuda determinanti; ridade vahetus muudab determiini märki).
Põhiomadused
- Multiplikatiivsus: det(AB) = det(A) det(B) (kui tehtavad).
- Transponeerimine: det(A^T) = det(A).
- Ridade sõltuvus: kui maatriksi read (või veerud) on lineaarselt sõltuvad, siis det(A) = 0.
- Ridade vahetus: ühe rea vahetus teisega muudab determinandi märki (korrutatakse −1-ga).
- Ridade korrutamine skalaatoriga: ühe rea korrutamine skalaatoriga k korrutab determinandi väärtust k-ga; kui kogu maatriks korrutatakse skalaariga k, siis det(kA) = k^n det(A) n×n-maatriksi korral.
- Ridade liitmine: ühe rea asendamine selle ja mingi arvu korrutatud teise rea summaga ei muuda determinanti.
- Pööratavus: maatriks A on pööratav (A^{-1} eksisteerib) parajasti siis, kui det(A) ≠ 0. Lisaks det(A^{-1}) = 1 / det(A).
- Ühiku maatriks: det(I) = 1.
Geomeetriline tõlgendus
Ruumi mõõtmete järgi: n×n maatriksi determinant näitab, kui palju ruutmaatriks A skaleerib n-mõõtmelise parallelpiped'i ruumala ehk mahtu (absoluutväärtus). Determinandi märk annab orientatsiooni säilitamise (positiivne) või pööramise (negatiivne) kohta — st kas lineaartransformatsioon säilitab või pöörab alusvektorite orientatsiooni.
Näited
- 2×2: A = [[a, b], [c, d]] → det(A) = ad − bc. Näiteks A = [[2, 3], [1, 4]] → det(A) = 2·4 − 3·1 = 8 − 3 = 5.
- 3×3 (lihtne näide): kui read on lineaarselt sõltuvad, siis det = 0. Näiteks A = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]] — selle rida3 = rida1 + 2·rida2 (või lihtsalt lineaarne sõltuvus), seega det(A) = 0. (Sarruse reegli või Laplace’i abil saab seda ka otse arvutada.)
Kokkuvõte ja praktilised nõuanded
Determinant on oluline kontseptsioon lineaalarvutuses, mis seob algebraatilisi omadusi (pööratavus, ridade sõltuvus) geomeetrilise tähendusega (mahu skaleerimine, orientatsioon). Väikeste maatriksite puhul kasutatakse otseregleid (2×2, Sarrus 3×3), suuremate puhul aga efektiivseid algoritme (LU-dekompositsioon, Gaussi eliminatsioon). Kui eesmärk on ainult kontrollida maatriksi pööratavust, piisab kontrollist, kas det ≠ 0.
Tõlge
On mitu võimalust mõista, mida determinant ütleb maatriksi kohta.
Geomeetriline tõlgendus
N × n {\displaystyle n\times n} 
maatriksit võib vaadelda kui lineaarse kaardi kirjeldust n {\displaystyle n} 
dimensioonis. Sel juhul ütleb determinant, millise teguri võrra see maatriks n {\displaystyle n}-mõõtmelise ruumipiirkonda skaleerib (kasvatab või kahandab).
Näiteks 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} 
maatriks A {\displaystyle A} , vaadelduna lineaarse kaardina, muudab 2-mõõtmelises ruumis oleva ruudu parallelogrammiks. Selle parallellogrammi pindala on det ( A ) {\displaystyle \det(A)} korda suurem kui ruudu pindala.
Samamoodi muudab 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} 
maatriks B {\displaystyle B}
lineaarse kaardina vaadatuna kolmemõõtmelises ruumis oleva kuubiku paralleelseks. Selle rööptahuka ruumala on det ( B ) {\displaystyle \det(B)} 
korda suurem kui kuubiku ruumala.
Determinant võib olla negatiivne. Lineaarne kaart võib venitada ja skaleerida mahtu, kuid ta võib seda ka üle telje peegeldada. Kui see juhtub, muutub determinandi märk positiivsest negatiivseks või negatiivsest positiivseks. Negatiivne determinant tähendab, et ruumala on peegeldatud üle paaritu arvu telgede.
"Võrduste süsteemi" tõlgendus
Maatriksit võib vaadelda kui lineaarsete võrrandite süsteemi kirjeldust. Sellel süsteemil on unikaalne mittetriviaalne lahendus täpselt siis, kui determinant ei ole 0. (Mittetriviaalne tähendab, et lahendus ei ole lihtsalt kõik nullid.)
Kui determinant on null, siis kas ei ole ainukest mittetriviaalset lahendust või on neid lõpmatult palju.
2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} maatriksi [ a c b d ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}} jaoks 
, determinant on parallellogrammi pindala. (Pindala on võrdne a d - b c {\displaystyle ad-bc}
.)
Singulaarsed maatriksid
Maatriksil on pöördmaatriks täpselt siis, kui determinant ei ole 0. Sel põhjusel nimetatakse maatriksit, mille determinant ei ole null, inverteeritavaks. Kui determinant on 0, siis nimetatakse maatriksit mitteinverteeritavaks ehk singulaarseks.
Geomeetriliselt võib mõelda singulaarsest maatriksist kui paralleeli "lapitamisest" parallelogrammiks või parallelogrammist jooneks. Siis on ruumala või pindala 0 ja ei ole olemas lineaarkaarti, mis tooks vana kuju tagasi.
Determinandi arvutamine
Determinandi arvutamiseks on mitu võimalust.
Valemid väikeste maatriksite jaoks
- 1 × 1 {\displaystyle 1\times 1}
ja 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} maatriksite puhul võite meeles pidada valemeid:
det [ a ] = a , det [ a b c d ] = a d - b c . {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}=a,\qquad \det {\begin{bmatrix}a&b\\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc. } 
- 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} maatriksite puhul on valem:
det [ a b c d e f g h i ] = a e i + d h c + g b f - g e c - a h f - d b i {\displaystyle {\det {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}={\color {blue}{aei}+{dhc}+{gbf}}{\color {OrangeRed}{}-{gec}-{ahf}-{dbi}}}} 
Selle valemi meelespidamiseks võite kasutada Sarruse reeglit (vt pilti).
Koefaktori laiendamine
Suuremate maatriksite puhul on determinant raskem arvutada. Üks viis seda teha on nn kofaktori laiendamine.
Oletame, et meil on n × n {\displaystyle n\times n} maatriks A {\displaystyle A} . Kõigepealt valime maatriksi suvalise rea või veeru. Iga arvu a i j {\displaystyle a_{ij}}
kohta selles reas või veerus arvutame midagi, mida nimetatakse selle kofaktoriks C i j {\displaystyle C_{ij}} 
. Siis det ( A ) = ∑ a i j C i j {\displaystyle \det(A)=\summa a_{ij}C_{ij}}} 
.
Sellise kofaktori C i j {\displaystyle C_{ij}} arvutamine kustutame maatriksist A {\displaystyle A} rea i {\displaystyle i}
ja veeru j {\displaystyle j}
. See annab meile väiksema ( n - 1 ) × ( n - 1 ) {\displaystyle (n-1)\times (n-1)} 
maatriksi. Nimetame seda M {\displaystyle M}
. Koefaktor C i j {\displaystyle C_{ij}} on siis võrdne ( - 1 ) i + j det ( M ) {\displaystyle (-1)^{i+j}\det(M)}
.
Siin on näide 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} maatriksi vasaku veeru kofaktori laiendamisest:
det [ 1 3 2 2 1 1 0 3 4 ] = 1 ⋅ C 11 + 2 ⋅ C 21 + 0 ⋅ C 31 = ( 1 ⋅ ( - 1 ) 1 + 1 det [ 1 1 1 3 4 ] ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) 2 + 1 det [ 3 2 3 4 ] ) + ( 0 ⋅ ( - 1 ) 3 + 1 det [ 3 2 1 1 ] ) = ( 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) ⋅ 6 ) + 0 = − 11. {\displaystyle {\begin{aligned}\det {\begin{bmatrix}{\color {red}1}&3&2\\\{\color {red}2}&1&1\\\\{\color {red}0}&3&4\end{bmatrix}}&={\color {red}1}\cdot C_{11}+{\color {red}2}\cdot C_{21}+{\color {red}0}\cdot C_{31}\\&=\left({\color {red}1}\cdot (-1)^{1+1}\det {\begin{bmatrix}1&1\\\\3&4\end{bmatrix}}}\right)+\left({\color {red}2}\cdot (-1)^{2+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\\3&4\end{bmatrix}}}\right)+\left({\color {red}0}\cdot (-1)^{3+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\\1&1\end{bmatrix}}}\right)\\&=({\color {red}1}\cdot 1\cdot 1)+({\color {red}2}\cdot (-1)\cdot 6)+{\color {red}0}\\\\&=-11.\end{aligned}}} 
Nagu siin näha, saame tööd säästa, kui valime rea või veeru, kus on palju nulle. Kui a i j {\displaystyle a_{ij}} on 0, ei pea me arvutama C i j {\displaystyle C_{ij}} .
3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} determinandi valem on produktide summa. Need produktid kulgevad mööda diagonaale, mis "kerivad" ümber maatriksi ülaosa. Seda trikki nimetatakse Sarruse reegliks.
Seotud leheküljed
| Ametiasutuste kontroll |
|
Küsimused ja vastused
K: Mis on määraja?
V: Determinant on skalaar (arv), mis näitab, kuidas ruutmaatriks käitub.
K: Kuidas saab maatriksi determinanti välja arvutada?
V: Maatriksi determinandi saab arvutada maatriksi arvude põhjal.
K: Kuidas kirjutatakse maatriksi determinant?
V: Maatriksi determinant kirjutatakse valemiga det(A) või |A|.
K: Kas maatriksi determinandi kirjutamiseks on ka teisi viise?
V: Jah, det([a b c d]) ja |[a b c d]| asemel võib lihtsalt kirjutada det [a b c d] ja |[a b c d]|.
K: Mida tähendab see, kui me ütleme "skalaar"?
V: Skalaar on üksikarv või suurus, millel on suurus, kuid ei ole seotud suunda.
K: Mis on ruudulised maatriksid?
V: Ruutmaatriksid on maatriksid, millel on võrdne arv ridu ja veerge, näiteks 2x2 või 3x3 maatriksid.
Otsige