Determinant

Ruutmaatriksi determinant on skalaar (arv), mis ütleb midagi selle maatriksi käitumise kohta. Determinandi saab arvutada maatriksi arvude põhjal.

"Maatriksi A {\displaystyle A} determinant on $A$ " kirjutatakse valemis det ( A ) {\displaystyle \det(A)} $\det(A)$ või | A | {\displaystyle |A|} $|A|$ . Mõnikord kasutatakse det ( [ a b c d ] ) {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\right)} ja | [ $\det \left({\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\right)$ a b c d ] | {\displaystyle \left|{\begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}}\right|} asemel. $\left|{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\right|$ kirjutame lihtsalt det [ a b c d ] {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}} ja | a $\det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$ b c d | {\displaystyle \left|{\begin{matrix}a&b\c&d\end{matrix}}\right|} .

Tõlge

On mitu võimalust mõista, mida determinant ütleb maatriksi kohta.

Geomeetriline tõlgendus

N × n {\displaystyle n\times n} $n\times n$ maatriksit võib vaadelda kui lineaarse kaardi kirjeldust n {\displaystyle n} dimensioonis. Sel juhul ütleb determinant, millise teguri võrra see maatriks n {\displaystyle n}-mõõtmelise ruumipiirkonda skaleerib (kasvatab või kahandab).

Näiteks 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} $2\times 2$ maatriks A {\displaystyle A} $A$ , vaadelduna lineaarse kaardina, muudab 2-mõõtmelises ruumis oleva ruudu parallelogrammiks. Selle parallellogrammi pindala on det ( A ) {\displaystyle \det(A)} $\det(A)$ korda suurem kui ruudu pindala.

Samamoodi muudab 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} $3\times 3$ maatriks B {\displaystyle B} $B$ lineaarse kaardina vaadatuna kolmemõõtmelises ruumis oleva kuubiku paralleelseks. Selle rööptahuka ruumala on det ( B ) {\displaystyle \det(B)} $\det(B)$ korda suurem kui kuubiku ruumala.

Determinant võib olla negatiivne. Lineaarne kaart võib venitada ja skaleerida mahtu, kuid ta võib seda ka üle telje peegeldada. Kui see juhtub, muutub determinandi märk positiivsest negatiivseks või negatiivsest positiivseks. Negatiivne determinant tähendab, et ruumala on peegeldatud üle paaritu arvu telgede.

"Võrduste süsteemi" tõlgendus

Maatriksit võib vaadelda kui lineaarsete võrrandite süsteemi kirjeldust. Sellel süsteemil on unikaalne mittetriviaalne lahendus täpselt siis, kui determinant ei ole 0. (Mittetriviaalne tähendab, et lahendus ei ole lihtsalt kõik nullid.)

Kui determinant on null, siis kas ei ole ainukest mittetriviaalset lahendust või on neid lõpmatult palju.

2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} $2\times 2$ maatriksi [ a c b d ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}} jaoks ${\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}$ , determinant on parallellogrammi pindala. (Pindala on võrdne a d - b c {\displaystyle ad-bc} $ad-bc$ .)

Singulaarsed maatriksid

Maatriksil on pöördmaatriks täpselt siis, kui determinant ei ole 0. Sel põhjusel nimetatakse maatriksit, mille determinant ei ole null, inverteeritavaks. Kui determinant on 0, siis nimetatakse maatriksit mitteinverteeritavaks ehk singulaarseks.

Geomeetriliselt võib mõelda singulaarsest maatriksist kui paralleeli "lapitamisest" parallelogrammiks või parallelogrammist jooneks. Siis on ruumala või pindala 0 ja ei ole olemas lineaarkaarti, mis tooks vana kuju tagasi.

Determinandi arvutamine

Determinandi arvutamiseks on mitu võimalust.

Valemid väikeste maatriksite jaoks

1 × 1 {\displaystyle 1\times 1} $1\times 1$ ja 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} $2\times 2$ maatriksite puhul võite meeles pidada valemeid:

det [ a ] = a , det [ a b c d ] = a d - b c . {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}=a,\qquad \det {\begin{bmatrix}a&b\\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc. } $\det {\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}=a,\qquad \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.$

3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} $3\times 3$ maatriksite puhul on valem:

det [ a b c d e f g h i ] = a e i + d h c + g b f - g e c - a h f - d b i {\displaystyle {\det {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}={\color {blue}{aei}+{dhc}+{gbf}}{\color {OrangeRed}{}-{gec}-{ahf}-{dbi}}}} ${\det {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}={\color {blue}{aei}+{dhc}+{gbf}}{\color {OrangeRed}{}-{gec}-{ahf}-{dbi}}}$

Selle valemi meelespidamiseks võite kasutada Sarruse reeglit (vt pilti).

Koefaktori laiendamine

Suuremate maatriksite puhul on determinant raskem arvutada. Üks viis seda teha on nn kofaktori laiendamine.

Oletame, et meil on n × n {\displaystyle n\times n} $n\times n$ maatriks A {\displaystyle A} $A$ . Kõigepealt valime maatriksi suvalise rea või veeru. Iga arvu a i j {\displaystyle a_{ij}} $a_{ij}$ kohta selles reas või veerus arvutame midagi, mida nimetatakse selle kofaktoriks C i j {\displaystyle C_{ij}} $C_{ij}$ . Siis det ( A ) = ∑ a i j C i j {\displaystyle \det(A)=\summa a_{ij}C_{ij}}} $\det(A)=\sum a_{ij}C_{ij}$ .

Sellise kofaktori C i j {\displaystyle C_{ij}} arvutamine $C_{ij}$ kustutame maatriksist A {\displaystyle A} $A$ rea i {\displaystyle i} $i$ ja veeru j {\displaystyle j} $j$ . See annab meile väiksema ( n - 1 ) × ( n - 1 ) {\displaystyle (n-1)\times (n-1)} $(n-1)\times (n-1)$ maatriksi. Nimetame seda M {\displaystyle M} $M$ . Koefaktor C i j {\displaystyle C_{ij}} $C_{ij}$ on siis võrdne ( - 1 ) i + j det ( M ) {\displaystyle (-1)^{i+j}\det(M)} $(-1)^{i+j}\det(M)$ .

Siin on näide 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} $3\times 3$ maatriksi vasaku veeru kofaktori laiendamisest:

det [ 1 3 2 2 1 1 0 3 4 ] = 1 ⋅ C 11 + 2 ⋅ C 21 + 0 ⋅ C 31 = ( 1 ⋅ ( - 1 ) 1 + 1 det [ 1 1 1 3 4 ] ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) 2 + 1 det [ 3 2 3 4 ] ) + ( 0 ⋅ ( - 1 ) 3 + 1 det [ 3 2 1 1 ] ) = ( 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) ⋅ 6 ) + 0 = − 11. {\displaystyle {\begin{aligned}\det {\begin{bmatrix}{\color {red}1}&3&2\\\{\color {red}2}&1&1\\\\{\color {red}0}&3&4\end{bmatrix}}&={\color {red}1}\cdot C_{11}+{\color {red}2}\cdot C_{21}+{\color {red}0}\cdot C_{31}\\&=\left({\color {red}1}\cdot (-1)^{1+1}\det {\begin{bmatrix}1&1\\\\3&4\end{bmatrix}}}\right)+\left({\color {red}2}\cdot (-1)^{2+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\\3&4\end{bmatrix}}}\right)+\left({\color {red}0}\cdot (-1)^{3+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\\1&1\end{bmatrix}}}\right)\\&=({\color {red}1}\cdot 1\cdot 1)+({\color {red}2}\cdot (-1)\cdot 6)+{\color {red}0}\\\\&=-11.\end{aligned}}} ${\begin{aligned}\det {\begin{bmatrix}{\color {red}1}&3&2\\{\color {red}2}&1&1\\{\color {red}0}&3&4\end{bmatrix}}&={\color {red}1}\cdot C_{11}+{\color {red}2}\cdot C_{21}+{\color {red}0}\cdot C_{31}\\&=\left({\color {red}1}\cdot (-1)^{1+1}\det {\begin{bmatrix}1&1\\3&4\end{bmatrix}}\right)+\left({\color {red}2}\cdot (-1)^{2+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\3&4\end{bmatrix}}\right)+\left({\color {red}0}\cdot (-1)^{3+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\1&1\end{bmatrix}}\right)\\&=({\color {red}1}\cdot 1\cdot 1)+({\color {red}2}\cdot (-1)\cdot 6)+{\color {red}0}\\&=-11.\end{aligned}}$

Nagu siin näha, saame tööd säästa, kui valime rea või veeru, kus on palju nulle. Kui a i j {\displaystyle a_{ij}} $a_{ij}$ on 0, ei pea me arvutama C i j {\displaystyle C_{ij}} $C_{ij}$ .

3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} $3\times 3$ determinandi valem on produktide summa. Need produktid kulgevad mööda diagonaale, mis "kerivad" ümber maatriksi ülaosa. Seda trikki nimetatakse Sarruse reegliks.

Seotud leheküljed

Köide

Ametiasutuste kontroll

BNF: cb11975737s (andmed)
LCCN: sh85037299
NDL: 00562696

Küsimused ja vastused

K: Mis on määraja?

V: Determinant on skalaar (arv), mis näitab, kuidas ruutmaatriks käitub.

K: Kuidas saab maatriksi determinanti välja arvutada?

V: Maatriksi determinandi saab arvutada maatriksi arvude põhjal.

K: Kuidas kirjutatakse maatriksi determinant?

V: Maatriksi determinant kirjutatakse valemiga det(A) või |A|.

K: Kas maatriksi determinandi kirjutamiseks on ka teisi viise?

V: Jah, det([a b c d]) ja |[a b c d]| asemel võib lihtsalt kirjutada det [a b c d] ja |[a b c d]|.

K: Mida tähendab see, kui me ütleme "skalaar"?

V: Skalaar on üksikarv või suurus, millel on suurus, kuid ei ole seotud suunda.

K: Mis on ruudulised maatriksid?

V: Ruutmaatriksid on maatriksid, millel on võrdne arv ridu ja veerge, näiteks 2x2 või 3x3 maatriksid.