Rööptahukas (parallelepiped): määratlus, omadused ja näited

Omadused

Mis tahes kolme paralleelset küljepaari võib vaadelda kui prisma baastasandit. Ristkülikukujulisel prismal on kolm neljast paralleelsest servast koosnevat komplekti; iga komplekti servad on võrdse pikkusega.

Paralleelpilbid tulenevad kuubiku lineaartransformatsioonidest (mitte-degeneratiivsetel juhtudel: bihektilised lineaartransformatsioonid).

Kuna iga külg on punktsümmeetria, on rööpkülikukujuline nelinurkne nelinurkne. Ka kogu rööpkülik on punktisümmeetria _Ci (vt ka trikliinne). Iga tahk on väljastpoolt vaadatuna vastaskülje peegelpilt. Üldiselt on tahud kiraalsed, kuid rööptahukas ei ole seda.

Ruumi täitev tessellatsioon on võimalik mis tahes paralleelpileti kongruentsete koopiatega.

Köide

Ristküliku ruumala on selle aluse A pindala ja kõrguse h korrutis. Alus on ükskõik milline ristküliku kuuest küljest. Kõrgus on põhja ja vastaskülje vaheline risti kaugus.

Alternatiivne meetod määratleb vektorid a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3) ja c = (c1, c2, c3), et kujutada kolme serva, mis kohtuvad ühes tipus. Ristküliku ruumala on siis võrdne skalaarkolmikprodukti a - (b × c) absoluutväärtusega:

V = | a ⋅ ( b × c ) | = | b ⋅ ( c × a ) | = | c ⋅ ( a × b ) | {\displaystyle V=\left|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\right|=\left|\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )\right|=\left|\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\right|}

See on tõsi, sest kui me valime b ja c, et esindada aluse servi, on aluse pindala ristprodukti definitsiooni järgi (vt ristprodukti geomeetriline tähendus),

A = | b | | c | sin θ = | b × c | , {\displaystyle A=\left|\mathbf {b} \right|\left|\mathbf {c} \right|\sin \theta =\left|\mathbf {b} \times \mathbf {c} \right|,}

kus θ on nurk b ja c vahel ja kõrgus on

h = | a | cos α , {\displaystyle h=\left|\mathbf {a} \right|\cos \alpha ,}

kus α on sisemine nurk a ja h vahel.

Jooniselt võime järeldada, et α suurus on piiratud 0° ≤ α < 90°. Vastupidi, vektor b × c võib moodustada koos a sisemise nurga β, mis on suurem kui 90° (0° ≤ β ≤ 180°). Nimelt, kuna b × c on paralleelne h-ga, on β väärtus kas β = α või β = 180° - α. Seega

cos α = ± cos β = | cos β | , {\displaystyle \cos \alpha =\pm \cos \beta =\left|\cos \beta \right|,}

ja

h = | a | | cos β | . {\displaystyle h=\left|\mathbf {a} \right|\left|\cos \beta \right|. }

Me järeldame, et

V = A h = | a | | b × c | | cos β | , {\displaystyle V=Ah=\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \times \mathbf {c} \right|\left|\cos \beta \right|,}

mis on skalaarprodukti (või punktprodukti) definitsiooni järgi võrdne absoluutväärtusega a - (b × c), Q.E.D.

Viimane väljend on võrdväärne ka kolmemõõtmelise maatriksi determinandi absoluutväärtusega, mis on moodustatud kasutades ridadena (või veergudena) a, b ja c:

V = | det [ a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 ] | . {\displaystyle V=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{bmatrix}}\right|. }

See leitakse Crameri reegli abil kolme vähendatud kahemõõtmelise maatriksi kohta, mis on leitud originaalis.

Kui a, b ja c on ristkülikukujulise serva pikkused ja α, β ja γ on servade vahelised sisemise nurgad, siis on ruumala

V = a b c 1 + 2 cos ( α ) cos ( β ) cos ( γ ) - cos 2 ( α ) - cos 2 ( β ) - cos 2 ( γ ) . {\displaystyle V=abc{\sqrt {1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )\,}}. }

Vastav tetraeeder

Mis tahes tetraeedri, mille kolm kokkulangevat serva on ühised paralleelpileti kolmele servale, ruumala on võrdne ühe kuuendikuga selle paralleelpileti ruumalast (vt tõestust).

Erijuhtumid

Sümmeetriatasandiga ristkülikukujulisi on kaks juhtumit:

• sellel on neli ristkülikukujulist külge
• sellel on kaks rombikujulist tahku, samas kui teistest tahkudest on kaks kõrvuti asetsevat võrdsed ja kaks teist samuti (need kaks paari on teineteise peegelpildid).

Vt ka monokliinne.

Ristkülikukujuline kuup, mida nimetatakse ka ristkülikukujuliseks paralleelpiloodiks või mõnikord lihtsalt kuubiks, on paralleelpiloot, mille kõik küljed on ristkülikukujulised; kuup on ruudukujuline kuup, millel on ruudukujulised küljed.

Romboeeder on rööpkülik, mille kõik küljed on rombilised; trigonaalne trapets on romboeeder, mille rombilised küljed on kongruentsed.

Täiuslik rööpkülikukujuline

Täiuslik rööpkülik on rööpkülik, millel on täisarvupikkused servad, külje diagonaalid ja ruumi diagonaalid. 2009. aastal näidati, et on olemas kümneid täiuslikke paralleelpilpeedid, mis andis vastuse Richard Guy avatud küsimusele. Ühe näite servad on 271, 106 ja 103, väikesed külgdiagonaalid 101, 266 ja 255, suured külgdiagonaalid 183, 312 ja 323 ning ruumilised diagonaalid 374, 300, 278 ja 272.

On teada mõned täiuslikud parallelopipeedid, millel on kaks ristkülikukujulist külge. Kuid ei ole teada, kas on olemas selliseid, mille kõik küljed on ristkülikukujulised; sellist juhtumit nimetatakse täiuslikuks kuuboidiks.

Parallelotope

Coxeter nimetas paralleelipeedi üldistust kõrgemates mõõtmetes paralleelotopiks.

Konkreetselt n-mõõtmelises ruumis nimetatakse seda n-mõõtmeliseks paralleelotoobiks või lihtsalt n-paralleelotoobiks. Seega on parallelogramm 2-parallelotoop ja paralleelpiliped on 3-parallelotoop.

Üldisemalt öeldes on paralleelotopil ehk voronoi-paralleelotopil paralleelsed ja kongruentsed vastassuunalised tahud. Seega on 2-parallelotoop parallelogon, mis võib sisaldada ka teatud kuusnurki, ja 3-parallelotoop on paralleloeder, mis sisaldab 5 tüüpi hulktahukaid.

N-parallelotoobi diagonaalid lõikuvad ühes punktis ja neid poolitab see punkt. Inversioon selles punktis jätab n-parallelotoobi muutumatuks. Vt ka eukleidilise ruumi isomeetriliste rühmade fikseeritud punktid.

K-parallelotoobi ühest tipust lähtuvad servad moodustavad vektorruumi k-ruumi ( v 1 , ... , v n ) {\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})} ja parallelotoobi saab nendest vektoritest taastada, võttes vektorite lineaarkombinatsioone, mille kaalud jäävad vahemikku 0 ja 1.

R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} kus m ≥ n {\displaystyle m\geq n} sisse põimitud n-parallelotoobi n-ruumala saab arvutada Grami determinandi abil. Teise võimalusena on ruumala vektorite välisprodukti norm:

V = ‖ v 1 ∧ ∧ ∧ v n ‖ . {\displaystyle V=\left\|v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{n}\right\|. }

Kui m = n, siis on see n vektori determinandi absoluutväärtus.

Teine valem n-parallelotoobi P ruumala arvutamiseks R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}} , mille n + 1 tippu on V 0 , V 1 , ... , V n {\displaystyle V_{0},V_{1},\ldots ,V_{n}} , on

V o l ( P ) = | d e t ( [ V 0 1 ] T , [ V 1 1 ] T , ... , [ V n 1 ] T ) | , {\displaystyle {\rm {Vol}}(P)=|{\rm {det}}\ ([V_{0}\ 1]^{\rm {T}},[V_{1}\ 1]^{\rm {T}},\ldots ,[V_{n}\ 1]^{\rm {T}})|,}

kus [ V i 1 ] {\displaystyle [V_{i}\ 1]} on reavektor, mis moodustub V i {\displaystyle V_{i}} ja 1 liitmisel. Determinant ei muutu, kui [ V 0 1 ] {\displaystyle [V_{0}\ 1]} lahutatakse [ V i 1 ] {\displaystyle [V_{i}\ 1]}-st. (i > 0), ja [ V 0 1 ] {\displaystyle [V_{0}\ 1]} viimasesse positsiooni paigutamine muudab ainult selle märki.

Samamoodi on mis tahes n-simpleksi, mis jagab n kokkulangevat serva paralleelotopi, ruumala võrdne ühe 1/n! paralleelotopi ruumalaga.

Leksikograafia

See sõna esineb paralleelipipedonina Sir Henry Billingsley 1570. aasta Eukleidese elementide tõlkes. Pierre Hérigone kasutas 1644. aasta Cursus mathematicuse väljaandes kirjaviisi parallelepipedum. Oxfordi inglise sõnaraamatus on märgitud, et tänapäevane parallelepiped ilmus esmakordselt Walter Charletoni teoses Chorea gigantum (1663).

Charles Hutton's Dictionary (1795) näitab parallelopiped ja parallelopipedon, mis näitab ühendava vormi parallelo- mõju, nagu oleks teine element pigem pipedon kui epipedon. Noah Webster (1806) sisaldab õigekirja parallelopiped. Oxford English Dictionary 1989. aasta väljaanne kirjeldab parallelopiped (ja parallelipiped) selgesõnaliselt kui ebaõigeid vorme, kuid 2004. aasta väljaandes on need loetletud ilma kommentaarideta ja esitatud on ainult hääldusviisid, kus rõhk on viiendal silbil pi (/paɪ/).

Traditsioonilisest hääldusest eemaldumine on varjanud kreeka juurtest tulenevat erinevat jaotust, kus epi- ("peal") ja pedon ("maa") on kombineeritud, et saada epiped, lame "tasand". Seega on rööptahuka küljed tasapinnalised, kusjuures vastasküljed on paralleelsed.