Fermat'i arvud — definitsioon, omadused ja näited

Tutvu Fermat'i arvude definitsiooni, omaduste, näidete ja faktoriseerimisega — ajalugu, tuntud Fermat'i algarvud ning praktilised näited ja leidmismeetodid.

Autor: Leandro Alegsa Loomise kuupäev: 20. mai 2021 Viimane uuendus: 18. oktoober 2025

Definitsioon

Fermat'i arv on eriline positiivne arv, mis on kujul

F_n = 2^2ⁿ + 1, kus n on mittenegatiivne täisarv.

F n = 2 2 n + 1 {\displaystyle F_{n}=2^{2^{\\overset {n}{}}+1}} $F_{n}=2^{2^{\overset {n}{}}}+1$

Arvud on saanud nime prantsuse matemaatiku Pierre de Fermat' järgi.

Esimesed Fermat'i arvud (näited)

Esimesed Fermat'i arvud on (jada A000215 OEISis):

F0 = 2^2⁰ + 1 = 3
F1 = 2^2¹ + 1 = 5
F2 = 2^2² + 1 = 17
F3 = 2^2³ + 1 = 257
F4 = 2^2⁴ + 1 = 65537
F5 = 2^2⁵ + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417
F6 = 2^2⁶ + 1 = 18446744073709551617 = 274177 × 67280421310721
F7 = 2^2⁷ + 1 = 340282366920938463463374607431768211457 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721
F8 = 2^2⁸ + 1 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 = 1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321

Olulised omadused

Paariselt algloidud (paarisneist jagamata): Fermat'i arvud on omavahel paariti vastastikku algutud, st gcd(F_i, F_j) = 1 kui i ≠ j. Selle tõestuseks sobib võrrand
F_0 F_1 ... F_{n-1} = F_n − 2, mille abil näib, et iga ühine jagaja F_k ja F_n jagab F_n − 2 ning seega peab olema 1.
Euleri tingimus algarvude kohta: kui p on algarv ja p jagab F_n (n ≥ 1), siis p ≡ 1 (mod 2ⁿ⁺²). Näiteks 641 jagab F5 ning 641 ≡ 1 (mod 128).
Fermat'i primid ehk Fermat'i kujul 2^2ⁿ + 1 olevad algarvud on haruldased. Seni teadaolevad Fermat'i algarvud on vaid F0, F1, F2, F3 ja F4.
Kasv: Fermat'i arvud kasvavad väga kiiresti (eksponentsiaalselt), mistõttu nende täielik faktorisatsioon muutub kiiresti keeruliseks ja arvud ise muutuvad väga suureks juba väikeste n korral.

Ajalugu ja tähtsamad leidmised

Pierre de Fermat arvas algselt, et kõik F_n on algarvud. See osutus vääraks: Leonhard Euler leidis 1732. aastal, et F5 = 4294967297 on koostarv ja üks tema faktoritest on 641.
2007. aasta seisuga oli ainult esimesed 12 Fermat'i arvu täielikult faktoriseeritud. Faktorisatsioonijõupingutused ja primaarfaktorite leidmine jätkuvad aktiivselt.

Rakendused ja tähendus

Geomeetria (konstrueritavad hulknurgad): Carl Friedrich Gaussiuse ja teiste tulemuste järgi on ühtlasi tähtis asjaolu, et regulaarse hulknurga konstruktsioon sirkliga ja joonlauaga on seotud Fermat'i primidega. Konkreetsemalt on regulaarne n-külgne hulknurk konstrueritav täpselt siis, kui n = 2^k × (toodete ruumalal ilmunud erinevatest Fermat'i algarvudest), st n on kahe astme korrutis erinevatest Fermat'i primidest ja võimalusel veel kahest astmest.
Fermat'i arvud ja nende faktorid on huvipakkuvad nii teoreetilise arvuteooria kui ka praktilise arvutuste ning krüptograafia seisukohast — kuigi Fermat'i arvud ise ei ole krüptograafiliselt laialdaselt kasutatavad, on nende uurimine andnud tähtsaid meetodeid suurte arvude faktorisatsiooniks ja primaarfaktorite otsimiseks.

Lühike kokkuvõte

Fermat'i arvud on kujul F_n = 2^2ⁿ + 1. Neist esimese viie puhul (n = 0,…,4) on tegemist algarvudega; alates F5-st on leitud korduvaid koostarve. Fermat'i arvudel on mitmeid huvitavaid omadusi (nt paariti vastastikku algutud olemus ja Euleri tingimus algarvude kohta), ning nende uurimine on andnud olulise panuse arvuteooriasse ja geomeetria ajalukku.

Lisaks on olemas kokkuvõtted ja loetelud Fermat'i arvude primaarfaktoritest, vt. Fermat'i arvude primaarfaktorid (Prime Factors of Fermat Numbers of Fermat Numbers).

Huvitavad asjad Fermat' arvude kohta

Ühelgi kahel Fermat'i arvul ei ole ühist jagajat.
Fermat'i numbreid saab arvutada rekursiivselt: Selleks, et saada N-ndat arvu, korrutatakse kõik sellele eelnevad Fermat'i numbrid ja liidetakse tulemusele kaks.

Milleks neid kasutatakse

Tänapäeval saab Fermat'i numbreid kasutada juhuslike arvude genereerimiseks vahemikus 0 kuni mingi N väärtuseni, mis on 2 võimsus.

Fermat' oletus

Fermat oletas neid numbreid uurides, et kõik Fermat'i arvud on algarvud. Seda tõestas Leonhard Euler, kes 1732. aastal faktoriseeris F 5 {\displaystyle F_{5}} $F_{5}$ .

Küsimused ja vastused

K: Mis on Fermat' arv?

V: Fermat' arv on Pierre de Fermat' järgi nimetatud eriline positiivne arv. See saadakse valemiga F_n = 2^2^(n) + 1, kus n on mittenegatiivne täisarv.

K: Kui palju on Fermat'i numbreid?

V: 2007. aasta seisuga on ainult esimesed 12 Fermat'i arvu täielikult faktoriseeritud.

K: Millised on üheksa esimest Fermat'i arvu?

A: Esimesed üheksa Fermati arvu on F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537, F5 = 4294967297 (641 × 6700417), F6 = 18446744073709551617 (274177 × 67280421310721), F7 = 340282366920938463463374607431768211457 (59649589127497217 × 5704689200685129054721), ja F8 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 (1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321).

Küsimus: Mida saab öelda algarvude kohta kujul 2n + 1?

V: Kui 2n + 1 on algarv ja n > 0, siis võib näidata, et n peab olema kahevõitu. Iga algarv kujul 2n + 1 on ka Fermat'i arv ja selliseid algarve nimetatakse Fermat'i algarvudeks. Ainsad teadaolevad Fermat'i priimused on 0 kuni 4.

K: Kust võib leida kõigi 12 teadaoleva faktoriseeritud Fermat'i arvu faktorid?

V: Kõigi 12 teadaoleva faktoriseeritudFermat'i arvu faktoriseerimisi võib leida aadressil Prime Factors of Fermat Numbers (Fermat'i arvude primaarfaktorid).

K: Kes oli Pierre de Fermaat?

V: Pierre de Fermaat oli 17. sajandil elanud mõjukas prantsuse matemaatik, kelle tööd panid palju aluse kaasaegsele matemaatikale. Ta on kõige paremini tuntud oma panuse poolest tõenäosusteooriasse ja analüütilisse geomeetriasse ning tema kuulsa viimase teoreemi poolest, mis jäi lahendamata kuni 1995. aastani, mil Andrew Wiles selle algebralise geomeetria meetodeid kasutades lõpuks tõestas.