Fermat' arv
Fermat'i arv on eriline positiivne arv. Fermat'i arvud on nimetatud Pierre de Fermat' järgi. Valem, mis neid genereerib, on
F n = 2 2 n + 1 {\displaystyle F_{n}=2^{2^{\\overset {n}{}}+1}} 
kus n on mittenegatiivne täisarv. Esimesed üheksa Fermat'i arvu on (jada A000215 OEISis):
F0 = 21 + 1 = 3
F1 = 22 + 1 = 5
F2 = 24 + 1 = 17
F3 = 28 + 1 = 257
F4 = 216 + 1 = 65537
F5 = 232 + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417
F6 = 264 + 1 = 18446744073709551617 = 274177 × 67280421310721
F7 = 2128 + 1 = 340282366920938463463374607431768211457 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721
F8 = 2256 + 1 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 = 1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321
2007. aasta seisuga on ainult esimesed 12 Fermat'i arvu täielikult faktoriseeritud. (Kirjutatud algarvude korrutisena) Need korrutised on leitavad aadressil Fermat'i arvude primaarfaktorid (Prime Factors of Fermat Numbers of Fermat Numbers).
Kui 2n + 1 on algarv ja n > 0, siis võib näidata, et n peab olema kahevõitu. Iga algarv kujul 2n + 1 on Fermat'i arv ja selliseid algarve nimetatakse Fermat'i algarvudeks. Ainsad teadaolevad Fermat'i priimused on F0,...,F4.
Huvitavad asjad Fermat' arvude kohta
- Ühelgi kahel Fermat'i arvul ei ole ühist jagajat.
- Fermat'i numbreid saab arvutada rekursiivselt: Selleks, et saada N-ndat arvu, korrutatakse kõik sellele eelnevad Fermat'i numbrid ja liidetakse tulemusele kaks.
Milleks neid kasutatakse
Tänapäeval saab Fermat'i numbreid kasutada juhuslike arvude genereerimiseks vahemikus 0 kuni mingi N väärtuseni, mis on 2 võimsus.
Fermat' oletus
Fermat oletas neid numbreid uurides, et kõik Fermat'i arvud on algarvud. Seda tõestas Leonhard Euler, kes 1732. aastal faktoriseeris F 5 {\displaystyle F_{5}}
.
Küsimused ja vastused
K: Mis on Fermat' arv?
V: Fermat' arv on Pierre de Fermat' järgi nimetatud eriline positiivne arv. See saadakse valemiga F_n = 2^2^(n) + 1, kus n on mittenegatiivne täisarv.
K: Kui palju on Fermat'i numbreid?
V: 2007. aasta seisuga on ainult esimesed 12 Fermat'i arvu täielikult faktoriseeritud.
K: Millised on üheksa esimest Fermat'i arvu?
A: Esimesed üheksa Fermati arvu on F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537, F5 = 4294967297 (641 × 6700417), F6 = 18446744073709551617 (274177 × 67280421310721), F7 = 340282366920938463463374607431768211457 (59649589127497217 × 5704689200685129054721), ja F8 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 (1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321).
Küsimus: Mida saab öelda algarvude kohta kujul 2n + 1?
V: Kui 2n + 1 on algarv ja n > 0, siis võib näidata, et n peab olema kahevõitu. Iga algarv kujul 2n + 1 on ka Fermat'i arv ja selliseid algarve nimetatakse Fermat'i algarvudeks. Ainsad teadaolevad Fermat'i priimused on 0 kuni 4.
K: Kust võib leida kõigi 12 teadaoleva faktoriseeritud Fermat'i arvu faktorid?
V: Kõigi 12 teadaoleva faktoriseeritudFermat'i arvu faktoriseerimisi võib leida aadressil Prime Factors of Fermat Numbers (Fermat'i arvude primaarfaktorid).
K: Kes oli Pierre de Fermaat?
V: Pierre de Fermaat oli 17. sajandil elanud mõjukas prantsuse matemaatik, kelle tööd panid palju aluse kaasaegsele matemaatikale. Ta on kõige paremini tuntud oma panuse poolest tõenäosusteooriasse ja analüütilisse geomeetriasse ning tema kuulsa viimase teoreemi poolest, mis jäi lahendamata kuni 1995. aastani, mil Andrew Wiles selle algebralise geomeetria meetodeid kasutades lõpuks tõestas.
