Aritmeetika põhiteoreem

Tõend

Esimene inimene, kes tõestas teoreemi, oli Eukleidese. Esimene üksikasjalik ja korrektne tõestus oli Carl Friedrich Gaußi teoses "Disquisitiones Arithmeticae".

Mõned inimesed võivad arvata, et see teoreem kehtib kõikjal. Kuid teoreem ei ole tõene üldisemates arvusüsteemides, näiteks algebralistes täisarvudes. Esimest korda mainis seda Ernst Kummer 1843. aastal oma töös Fermat' viimase teoreemi kohta. Selle kohta rohkem teavet: loe algebraline arvuteooria.

Tõend koosneb kahest osast: esiteks näitame, et iga arvu saab kirjutada algarvude korrutisena; teiseks näitame, et kui me kirjutame arvu teist korda algarvude korrutisena, siis peavad kaks algarvude loendit olema samad.

Tõendi esimene osa

Näitame, et kui mitte iga arv, mis on suurem kui 1, ei ole võimalik kirjutada algarvude korrutisena, siis jõuame mingi võimatuse juurde. Nii et pärast seda järeldame, et peab olema tõsi, et iga arvu saab kirjutada algarvude korrutisena.

Nii et vaadake nüüd, mis juhtub, kui keegi ütleb, et ta teab positiivset täisarvu, mis on suurem kui 1 ja mida ei saa kirjutada algarvude korrutisena. Sellisel juhul palume tal nimetada kõik arvud, mis on suuremad kui 1 ja mida ei saa kirjutada algarvude korrutisena. Üks neist arvudest peab olema väikseim: nimetame seda n. Loomulikult ei saa see arv n olla 1. Veelgi enam, see ei saa olla algarv, sest algarv on ühe algarvu "produkt": tema ise. Seega peab see olema arvude korrutis. Seega -

n = ab

kus nii a kui ka b on positiivsed täisarvud, mis on muidugi väiksemad kui n. Aga: n oli väikseim arv, mida ei saa kirjutada algarvude korrutisena. Seega peab olema võimalik kirjutada a ja b algarvude produktidena, sest mõlemad on väiksemad kui n. Aga siis on toode

n = ab

saab kirjutada ka algarvude korrutisena. See on võimatu, sest me ütlesime, et n ei saa kirjutada algarvude korrutisena.

Oleme nüüd näidanud, et see on võimatu, kui teoreemi esimene osa ei oleks tõene. Sellega oleme nüüd tõestanud teoreemi esimese osa.

Tõendi teine osa

Nüüd peame tõestama, et on ainult üks võimalus kirjutada positiivset arvu, mis on suurem kui 1, algarvude korrutisena.

Selleks kasutame järgmist lemmat: kui algarv p jagab produkti ab, siis jagab ta kas a või b (Eukleidese lema). Kõigepealt tõestame nüüd seda lemmat. Oletame nüüd, et p ei jaga a. Siis on p ja a koopriimsed ja meil on Bezouti identiteet, mis ütleb, et peavad olema sellised täisarvud x ja y, et

px + ay = 1.

Korrutades kõike b-ga saadakse

pbx + aby = b,

Tuletame meelde, et ab võib olla jagatud p-ga. Seega on meil nüüd vasakul poolel kaks terminit, mis on jagatavad p-ga. Seega on ka paremal poolel olev termin jagatav p-ga. Oleme nüüd tõestanud, et kui p ei jaga a, siis peab ta jagama b. See tõestab lemmat.

Nüüd tõestame, et saame täisarvu, mis on suurem kui 1, kirjutada ainult ühel viisil algarvude korrutisena. Võtame kaks algarvude A ja B produkti, millel on sama tulemus. Seega teame produktide tulemuse kohta, et A = B. Võtame mis tahes algarvu p esimesest produktist A. See jagab A, seega jagab ta ka B. Kasutades mitu korda lemmat, mida me just tõestasime, näeme, et p peab siis jagama vähemalt ühe teguri b B-st. Kuid kõik tegurid on ise algarvud, seega ka b on algarv. Kuid me teame, et p on samuti primaarne, seega peab p olema võrdne b-ga. Seega jagame nüüd A-i p-ga ja jagame ka B-i p-ga. Ja saame tulemuse A* = B*. Jällegi võime võtta esimesest produktist A* priimuse p ja leida, et see on võrdne mingi arvuga produktis B*. Sel viisil jätkates näeme lõpuks, et kahe produkti algtegurid peavad olema täpselt samad. See tõestab, et me saame positiivset täisarvu kirjutada priimuste tootena ainult ühel ja ainuüksi viisil.