Numbriline täpsus: olulised numbrid, kümnendkohad ja ümardamine

Avasta numbrilise täpsuse alused: olulised numbrid, kümnendkohad ja ümardamisreeglid koos praktiliste näidete ja finants‑ ning teadusrakendustega.

Numbrilise väärtuse täpsus kirjeldab, kui palju numbreid kasutatakse selle väärtuse esitamiseks. Teaduslikus kontekstis tähistatakse seda tavaliselt oluliste numbrite (ingl k significant figures) koguarvuna — ehk kui palju märgitud numbreid andmete usaldusväärselt peegeldavad — või alternatiivselt murdosana väljendatavate numbrite arvuna, st kümnendkohtade arvuna (kohad pärast koma). Viimane määratlus on eriti kasulik finants- ja tehnilistes rakendustes, kus murdosa täpsus on otsustava tähtsusega.

Mis on olulised numbrid ja kuidas neid loetakse

Olulised numbrid (olulised tähtelemendid) näitavad mõõtmise või arvutuse tõsiseltvõetavat täpsust. Peamised reeglid on:

• Kõik mittetühjad numbrid (1–9) on olulised.
• Sisendid nullid (näiteks 102) ei ole olulised, kui need ainult eraldavad kohad (siiski sõltub kontekstist).
• Esi- ehk juhtivad nullid (0,0x) ei ole olulised — need näitavad ainult koma asukohta (näide: 0,0123 → kolm olulist numbrit: 1, 2, 3).
• Järgnevad nullid pärast komakohta on olulised (näide: 12,300 → viis olulist numbrit kui need nullid on mõõtmise osa).
• Trahvid nullid täisarvu lõpus on sageli ebaselged — täpsuse selgitamiseks kasutatakse teaduse notatsiooni (näiteks 1,20×10^3 näitab kolme olulist numbrit) või lõpp-punkti (1200. võib tähendada, et nullid on olulised).
• Loendatavad või definitsioonilised väärtused (nt 12 tükki) käsitletakse kui täpsed ja neil on põhimõtteliselt lõpmatu arv olulisi numbreid.

Erinevus oluliste numbrite ja kümnendkohtade vahel

Olulised numbrid mõõdavad kogutäpsust sõltumata koma positsioonist; kümnendkohad määravad, mitu kohta on komast paremal. Näiteks arv 12,345:

• Oluliste numbrite järgi: 12,345 sisaldab 5 olulist numbrit (1, 2, 3, 4, 5).
• Kümnendkohtade järgi: sellel on kolm kümnendkohta (0.001 täpsus).

Ümardamine ja levinud reeglid

Sagedane termin on ümardamine. Ümardamisel valitakse lõplik väärtus, mis esindab algväärtuse kõige tõenäolisemat väärtust antud täpsusel. Levinumad ümardamisviisid:

• round half up — kui järgmine number on 5 või suurem, siis ümardatakse ülespoole (tavapärane koolireegel);
• round half to even (nn pankurite ümardamine) — kui järgmine number on täpselt 5, siis ümardatakse nii, et tulemuse viimane säiliv number oleks paaris;
• ümardamine nulli suunas (trunk) või kaugemale nullist;
• allapoole (floor) või ülespoole (ceil) ümardamine.

Valitud reegel sõltub rakendusest: teadus- ja tehnilistes arvutustes kasutatakse tihti round half to even, finantsarvestuses on levinud ka round half up.

Matemaatiline lähenemine olulistele numbritele

Positiivse arvuga x p olulise numbri täpsuse korral saab ümardatud väärtuse leidmiseks kasutada järgmist lähenemist:

Arvuta n = floor(log10(x)) + 1 − p. See n on 10 astme korrigeerija. Seejärel ümarda x / 10^n vastavalt valitud reeglitele ja korda tulemus tagasi 10^n-ga. Sümboolselt:

round(x / 10^n) × 10^n, kus n = floor(log10(x)) + 1 − p.

See meetod viib selleni, et hoitakse täpselt p esimest olulist tähte ja elimineeritakse ülejäänud.

Praktilised näited (arv 12,345)

• Olulised numbrid:
  • 5 olulist numbrit: 12,345 (algne)
  • 4 olulist numbrit: 12,35 (ümardatud 12,345 → 12,35)
  • 3 olulist numbrit: 12,3 (ümardatud 12,345 → 12,3)
  • 2 olulist numbrit: 12 (ümardatud 12,345 → 12)
  • 1 oluline number: 10 (ümardatud 12,345 → 10)
• Kümnendkohad:
  • 3 kohta: 12,345 (originaal)
  • 2 kohta: 12,35 (ümardatud teisest kümnendkohast lähtuvalt)
  • 1 koht: 12,3
  • 0 kohta (täisarv): 12

Täpse väljendamise tähtsus mõõtmistes

Oluline on mitte kuvada rohkem numbreid kui mõõtmise täpsus lubab — see tekitab vale täpsuse. Näiteks kui mõõtmisseade on täpne kuni grammini (0,001 kg) ja see näitab väärtust 12,345 kg, siis väljendamine "12,34500 kg" annaks eksitava mulje mitu täpset numbrit tegelikult on. Samuti ei ole mõistlik kuvada vähem kohti kui mõõtmise resolutsioon nõuab — see võib kaotada informatsiooni.

Kui seade annab tulemuse grammi täpsusega ja tulemus on 12,345 kg, siis see vastab tegelikult 12,345 kg = 12 345 g ja kolmele kümnendkohale kg-ühikus; lisavarud "00" oleksid eksitavad.

Negatiivsed väärtused ja null

Negatiivsete arvude puhul rakendatakse sama reeglit märgi eraldamise järel: ümardatakse absoluutväärtus ja lisatakse miinusmärk tagasi. Null (0) loetakse võrdväärselt esindatavaks ükskõik millise täpsusega — sellel võib mõnes kontekstis olla piiramatu (täpne) täpsus.

Selgitused ebamäärastele juhtudele

• Kui tulemusena saadud arv on esitatud vormis 1200, pole selge, kas nullid on mõõtmise osa või lihtsalt kohakohased; selguse huvides eelistatakse teaduslikku notatsiooni (1.200×10^3) või lisatakse lõpp-punkt (1200.).
• Loendatavad üksused (nt 6 õuna) on täpsed ja neid ei loeta ümardamise alla — neid võib käsitleda lõpmatu täpsusega.

Lõpetuseks: numbriline täpsus ja korrektne ümardamine aitavad vältida eksitavat teavet ning tagavad, et andmete esitamine vastab tegelikule mõõtmisele või arvutuse usaldusväärsusele.

Küsimused ja vastused

K: Mis on täpsus arvväärtuses?

K: Kuidas saab täpsust kasutada, et kirjeldada positsiooni, mille juures ebatäpne tulemus ümardatakse?

Küsimus: Kuidas saab 12,345 väljendada erineva arvu märgiliste numbrite või kümnendkohtade arvuga?

K: Mis juhtub, kui täpsus ei ole piisav?

K: Kas on kohane kuvada arv rohkemate numbritega, kui on võimalik mõõta?

K: Millise valemiga esitatakse positiivsed arvud x täpsusega p olulist kohta?

Otsing