Matemaatiline suurus: pikkus, pindala, maht ja võrreldavus
Avasta matemaatiliste suuruste põhimõtted: pikkus, pindala, maht ja võrreldavus. Algkontseptsioonid, mõõtühikud, ajalooline taust ja praktilised näited.
Matemaatilise objekti suurus on tema suurus — omadus, mille alusel teda saab võrrelda teiste samalaadsete objektidega: kas ta on suurem, väiksem või võrdsuur. Matemaatilises keeles võib seda vaadelda kui objekti kuulumist mingisse järjestatud suuruste klassi või mõõtmeastekasse.
Vanad kreeklased eristasid mitut tüüpi suurusi, sealhulgas:
- (positiivsed) fraktsioonid
- joonesegmendid (järjestatud pikkuse järgi)
- Tasandilised arvud (järjestatud pindala järgi)
- Tahked ained (järjestatud mahu järgi)
- Nurgad (järjestatud nurgamõõtmete järgi)
Vanad kreeklased näitasid ka, et esimesed kaks süsteemi — aritmeetilised osad (näiteks murrud) ja geomeetrilised joonesegmendid — ei pruugi olla üheselt asendatavad ega isegi isomorfsed süsteemid. See mõte peegeldub irratsionaalsuse avastuses (näiteks √2), mis näitas, et mõningaid pikkusi ei saa esitada täisarvude või lihtsate murdudena.
Pikkus, pindala ja maht — erinevad mõõtmelisused
Pikkus on ühe- (1D) mõõtme suurus: jooneosa pikkus mõõdetakse ühikutes (meeter, sentimeeter jms) ning pikkused liituvad ja skaleeruvad lineaarselt. Pikkuse mõõtmisel kasutame tavaliselt sirgjoont kui lühimat vahemaad kahe punkti vahel; abstraktsemalt määrab meetri ruum distance ehk kauguse.
Pindala on kahe- (2D) mõõtme suurus: tasandilise kujundi pindala arvutatakse tekkinud ruumi hulga alusel (näiteks ruutmeetrites). Pindala on additiivne (ühendatud mittetastuvate osade pindalad liidetakse) ning liini mõõtmete skaleerimisel muutub pindala faktoriga k², kui lineaarsed mõõtmed korrutatakse k-ga.
Maht on kolme- (3D) mõõtme suurus: ruumiosa maht mõõdetakse kuupmeetrites või muudes vastavates ühikutes. Maht on samuti additiivne disjunktsete osade korral ja skaleerub lineaarse mõõtme muutmisel faktoriga k³.
Nurgad on eraldi kategooria: nurgamõõt on mõõt, mida sageli käsitletakse skalaarina (kraadides või radiaanides), kuid selle käitumine erineb ekstensiivsetest füüsikalistest suurustest nagu pindala ja maht.
Võrdlus, järjestus ja mõõtmise omadused
Suuruste võrdlemiseks on vajalik mingi kord või mõõtkava:
- Täisarvuline või reaalarvuline järjestus: palju suurusi saab esitada reaalarvudena, mille abil määratakse suurem-väiksem suhted.
- Osaline vs täisjärjestus: mõnel juhul saab iga paari elementide kohta öelda, kumb on suurem (täisjärjestus); teistes olukordades (näiteks vektorid ilma normita või eri tüüpi mõõtühikute segunemisel) ei pruugi kõiki elemente olla otse võrreldavaks võimalik.
- Aditiivsus: enamikku geomeetrilisi suurusi iseloomustab liitmispõhimõte (pikkused, pindalad, mahud) — see on oluline omadus mõõtude formaalsetes teooriates.
- Skaleeritavus ja dimensioon: kui lineaarseid mõõtmeid korrutatakse skaalafaktoriga k, siis mõõdud, mille dimensioon on d, muutuvad faktoriga k^d (näiteks d = 1 pikkuse, d = 2 pindala, d = 3 maht).
Mõõtühikud, täpsus ja praktiline mõõtmine
Mõõtmisel tuleb arvestada valitud ühikutega (SI-ühikud on laialt levinud) ja mõõtmise täpsuse (mõõtmisviga, ümardamine). Praktilises maailmas ei ole suurused täpselt reaalsetes arvudes kätketud, vaid igal mõõtmisel on ebatäpsus ning tulemust tuleb esitada koos vigade hinnanguga.
Kaasaegsed vaated ja laiendused
Matemaatikas on suuruse mõiste palju laiem: mõõteteooria (nt Lebesgue'i mõõt) generaliseerib pindala ja mahtu väga keerukatele kujunditele; karinaalsus annab hoopis teise tähenduse „suuremale“ hulga suuruse võrdlemisel (nt lõpmatuste puhul). Samuti kasutatakse skalaare ja norme vektorite suuruse määramiseks ning signatuuridega või allkirjadega suuruste puhul võivad lisaks absoluutsuurusele olla olulised ka suunad või orientatsioonid.
Lisaks geomeetrilistele suurustele kasutatakse matemaatikas ja rakendustes ka märgiga (signed) suurusi — näiteks temperatuur võib olla negatiivne — aga geomeetriliste ekstensioonide (pikkus, pindala, maht) suhtes on negatiivsed väärtused tavaliselt füüsiliselt mittetähendavad; teoreetiliselt on aga võimalik käsitleda ka signed measures ehk allkirjastatud mõõteid.
Kokkuvõte: suurus matemaatikas tähendab objekti võimet kuuluda mingisse järjekorda või mõõtmeskaalasse, mille kaudu saab võrrelda ja liigitada erinevaid objekte. Pikkus, pindala ja maht on tavalised, eri dimensioonidel põhinevad eksemplarid sellest mõistest; nende omadused (additiivsus, skaleeritavus, mõõtühikud) määravad, kuidas me neid arvuliselt käsitleme ja võrdleme. Ajaloos viisid kreeklaste tähelepanekud irratsionaalsusest ja erinevatest suurusetüüpidest edasistele aruteludele, mis on tänapäeva matemaatikas välja kasvanud laiaks ja täpseks teooriateks.
Reaalarvud
Reaalarvu suurust nimetatakse tavaliselt absoluutväärtuseks või mooduliks. Seda kirjutatakse | x | ja see on defineeritud järgmiselt:
| x | = x, kui x ≥ 0
| x | = -x, kui x < 0
See annab arvu kauguse nullist reaalarvu joonel. Näiteks on -5-i moodul 5.
Praktiline matemaatika
Suurus ei ole kunagi negatiivne. Suuruste võrdlemisel on sageli kasulik kasutada logaritmilist skaalat. Reaalsed näited on näiteks heli helitugevus (detsibellid), tähe heledus või maavärina intensiivsuse skaala Richteri järgi.
Teisisõnu, sageli ei ole mõttekas lihtsalt suurusi liita ja lahutada.
Küsimused ja vastused
K: Mis on suurusjärgu definitsioon?
V: Suurus on omadus, mille järgi objekt võib olla suurem või väiksem kui teised samalaadsed objektid. See on objektide klassi järjestus, kuhu ta kuulub.
K: Milliseid suuruste liike eristasid vanad kreeklased?
V: Vana-Kreeka eristas positiivseid murdosi, sirglõike (järjestatud pikkuse järgi), tasapinnalisi kujundeid (järjestatud pindala järgi), tahkeid kehasid (järjestatud ruumala järgi) ja nurkasid (järjestatud nurgamõõtme järgi).
K: Kas nad pidasid negatiivseid suurusi tähenduslikuks?
V: Ei, nad ei pidanud negatiivseid suurusi tähenduslikuks.
K: Kuidas me tänapäeval ikka veel peamiselt kasutame suurusi?
V: Me kasutame ikka veel peamiselt suurusjärku kontekstides, kus null on kas väikseim suurus või väiksem kui kõik võimalikud suurused.
K: Kas vanad kreeklased tõestasid, et kahte tüüpi suurused ei saa olla samad?
V: Jah, nad olid tõestanud, et kahte tüüpi suurused ei saa olla samad või isegi isomorfsed suurussüsteemid.
K: Mida nad ei võtnud arvesse, kui arutasid eri tüüpi suuruste üle?
V: Nad ei pidanud negatiivseid suurusi erinevate suurustüüpide üle arutledes oluliseks.
K: Mis oli üks viis, kuidas vanakreeklased järjestasid oma erinevaid suuruste liike?
V: Vanad kreeklased järjestasid oma eri liiki suurusi, näiteks murdude, sirglõikude, tasapinnaliste kujundite, tahkete kehade ja nurkade suuruse järgi - näiteks sirglõike järjestati pikkuse järgi ja tasapinnalisi kujundeid pindala järgi.
Otsige