Matemaatika edasijõudnute matemaatikas on funktsiooni osaline tuletis ühe nimelise muutuja tuletis, kusjuures funktsiooni nimetamata muutuja hoitakse konstantsena. Teisisõnu, osaline tuletis võtab funktsiooni teatud märgitud muutujate tuletise ja ei diferentseeri teist muutujat (teisi muutujaid). Tähendus

∂ f ∂ x {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}} {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}

kasutatakse tavaliselt, kuigi ka muud märked on lubatud. Tavaliselt, kuigi mitte alati, võetakse osaline tuletis mitme muutujaga funktsioonis (kolme või enama muutujaga funktsioon, mis võib olla sõltumatu või sõltuv).

Mis on osaline tuletis

Osaline tuletis kirjeldab, kuidas funktsiooni väärtus muutub siis, kui muudame ainult üht muutujat ja kõik teised muutujad hoiame konstantsetena. Kui f on funktsioon muutujatest x, y, z, siis osaline tuletis muutujas x tähistatakse tavaliselt ∂f/∂x või f_x. Matemaatiliselt defineeritakse see piirväärtusena:

∂f/∂x(x0,y0,...) = lim_{h→0} (f(x0+h,y0,...) - f(x0,y0,...)) / h, kui see piirväärtus eksisteerib.

Notatsioonid ja lühendid

  • ∂f/∂x — kõige tavalisem notatsioon;
  • f_x või D_x f — lühemad sümbolid;
  • ∂^2 f / ∂x^2 — teise järgu osaline tuletis muutujas x;
  • ∂^2 f / ∂x ∂y või f_{xy} — segatuletis: võetakse esmalt ∂/∂y, seejärel ∂/∂x (järjekord olenevalt tähistusest).

Lihtsad arvutusnäited

Näide 1. Olgu f(x,y) = x^2 y + sin(y).

  • Osaline tuletis x järgi: ∂f/∂x = 2x y (sest y on konstant).
  • Osaline tuletis y järgi: ∂f/∂y = x^2 + cos(y) (sest x on konstant).

Näide 2. Olgu g(x,y,z) = x e^{yz} + y^2 z.

  • ∂g/∂x = e^{yz} (x on lineaarne ja e^{yz} on konstant x suhtes).
  • ∂g/∂y = x z e^{yz} + 2 y z (eraldame kaks summandit, esimese tuletame y järgi esituse e^{yz}).

Geomeetriline tähendus ja üldine kasutus

Osaline tuletis annab kaldet (tangentkalle) vastava muutujasuuna lõikes. Mitmemuutujalise funktsiooni gradient on vektor, mis koosneb kõigist osalistest tuletistest:

∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z, ...).

Gradient näitab kõige kiirema kasvamise suunda ja tema skalaarsurve antud suunas (sisekorrutis) annab suvalise suuna suunatud tuletise ehk suunatuletise väärtuse.

Teise järgu ja segatuletised

Teise järgu osalised tuletised on näiteks ∂^2 f/∂x^2, ∂^2 f/∂y^2 ning segatuletised ∂^2 f/∂x∂y ja ∂^2 f/∂y∂x. Kui segatuletised on pidevad sobivas ümbruses, siis kehtib Clairaut' (Schwarz') teoreem, mis ütleb, et need segatuletised on võrdsed:

∂^2 f/∂x∂y = ∂^2 f/∂y∂x.

Lineaarne lähendus ja leiukohtade leidmine

Funktsiooni f lineaarne lähendus punktis (x0,y0) ehk differentiaal on

df ≈ f_x(x0,y0) dx + f_y(x0,y0) dy.

Seda kasutatakse kriitiliste punktide leidmiseks (optimeerimine): otsime punkte, kus kõik osalised tuletised on null (∇f = 0) ning analüüsime teise järgu tuletiste abil maksimumi/miinimumi olemust.

Diferentseeruvus ja pidevus

Oluline on meeles pidada, et osaliste tuletiste olemasolu punktis ei garanteeri, et funktsioon on selles punktis täielikult diferentseeruv (st et leidub hea lineaarne lähendus). Täielik diferentsiaalsus nõuab lisatingimusi (näiteks osalistel tuletistel, mis on pidevad ümbruses).

Chain rule (ahelareegel) mitmele muutujale

Kui muutujad sõltuvad teisest muutujast, siis kasutame ahelareeglit. Näiteks kui z = f(x,y) ning x = x(t), y = y(t), siis

dz/dt = ∂f/∂x · dx/dt + ∂f/∂y · dy/dt.

Kasutusvaldkonnad

  • Optimeerimine (nt tingimusteta ja tingimuslikud optimaalsused);
  • Mitmemõõtmelised jaotusfunktsioonid, erinevustingimustega probleemid ja PDE-d (näiteks Laplace'i ja soojusvõrrandid);
  • Lineaarne lähendus ja Taylor'i arendused mitmes muutuja ruumis;
  • Füüsikalised suurused, kus suuremahulised funktsioonid sõltuvad mitmest parameetrist (nt mehaanika, termodünaamika).

Lühikokkuvõte

Osaline tuletis mõõdab funktsiooni muutust ühe muutuja osas teisi muutujaid fixides. See on aluseks gradientile, suunatuletisele, optimeerimisele ja paljudele analüütilistele meetoditele mitmemuutujalises matemaatikas. Arusaamine notatsioonidest, teise järgu tuletistest ja tingimustest (nt segatuletiste võrdus) on praktilised tööriistad nii teoorias kui rakendustes.