Tõenäosustihedusfunktsioon (PDF): definitsioon ja näited

Tõenäosustihedusfunktsioon (PDF): selge definitsioon ja praktilised näited pidevate jaotuste tõenäosuste leidmiseks ning integraalide ja tõlgenduse mõistmiseks.

Tõenäosustihedusfunktsioon on funktsioon, mida saab defineerida mis tahes pideva tõenäosusjaotuse jaoks. Tõenäosuse tihedusfunktsiooni integraal intervallis [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} annab tõenäosuse, et antud juhuslik muutuja antud tihedusega sisaldub antud intervallis.

Tõenäosustustiheduse funktsioon on vajalik selleks, et töötada pidevate jaotustega. Nopaga viskamine annab arvud 1 kuni 6, tõenäosusega 1 6 {\displaystyle {\tfrac {1}{6}}} , kuid see ei ole pidev funktsioon, sest võimalikud on ainult numbrid 1 kuni 6. Seevastu kahel inimesel ei ole sama pikkust ega kaalu. Kasutades tõenäosustihedusfunktsiooni, on võimalik määrata tõenäosus, et inimesed on 180 sentimeetri ja 181 sentimeetri või 80 kilogrammi ja 81 kilogrammi vahel, kuigi nende kahe piiri vahel on lõpmatult palju väärtusi.

Definitsioon ja põhiomadused

Tõenäosustihedusfunktsioon (inglise keeles probability density function, PDF) on funktsioon f(x), mis kirjeldab pideva juhusliku muutuja X jaotust nii, et iga hulga A tõenäosus on integraal vastavast tihedusest:

• P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f(x) dx.

Olulised omadused:

• f(x) ≥ 0 kõigi x korral (tihedus ei saa olla negatiivne).
• ∫_{-∞}^{∞} f(x) dx = 1 (kogu ruumi tõenäosus on 1).
• Täpsemalt singletipunkti tõenäosus on null: P(X = x0) = 0 for any x0 (see tuleneb pidevusest ja integraalidest).

Seos jaotuse funktsiooniga (CDF)

Kogunemis- või jaotusefunktsioon F(x) (cumulative distribution function) on seotud tihedusfunktsiooniga järgmiselt:

• F(x) = P(X ≤ x) = ∫_{-∞}^{x} f(t) dt.
• Kui f on pidev, siis f(x) = F'(x) peaaegu kõikides punktides (F on f-i primitiivfunktsioon).

Näited

Allpool on mõned levinud pidevate jaotuste näited ja nende tihedusfunktsioonid:

• Ühtlane jaotus lõigus [a, b]: f(x) = 1/(b − a) kui a ≤ x ≤ b, muidu 0. Näiteks ühtlane jaotus [0,1] annab f(x)=1 sellel vahemikul.
• Normaaljaotus keskmise μ ja dispersiooni σ² korral: f(x) = (1/(σ√(2π))) · exp(−(x−μ)²/(2σ²)). See on kõige tuntum pidev jaotus, millel on kellakujuline tihedus.
• Eksponentjaotus parameetriga λ>0: f(x) = λ e^{−λ x} for x ≥ 0, muidu 0 — kasutusel ootuste ajaliste modelleerimisel (nt ootamisaeg masin).

Kuidas tihedust kasutada praktiliselt

• Kui soovid tõenäosust, et X jääb vahemikku [a,b], siis arvuta integraal ∫_a^b f(x) dx.
• Ootuse (keskmise) leidmiseks kasutatakse valemit E[X] = ∫_{-∞}^{∞} x f(x) dx, dispersiooni V(X) = ∫ (x − E[X])² f(x) dx.
• Tavapärased arvutused (nt tõenäosuste leidmine normaalse jaotuse korral) tehakse kas täpsete integraalide või tabelite / arvutiprogrammide abil.

Tähtsad märkused ja levinud eksiarvamused

• Pideva jaotuse puhul ei ole mõtet rääkida «tiheduse väärtuse» enda otsesest tõenäosusest; oluline on tihedusfunktsiooni integraal mingil vahemikul. Punktitõenäosus on alati 0.
• Tihedusfunktsioon võib olla suure väärtusega (näiteks terava tipu juures), aga see ei tähenda, et igas punktis on suur tõenäosus – väärtused peavad olema interpreteeritud integreerimise kaudu.
• Üksuse mõte: kui X mõõdetakse näiteks sentimeetrites, siis f(x) ühik on «tõenäosus ühiku kohta» (nt 1/cm). See aitab mõista, miks f(x) ei saa olla lõpmatult suur ilma, et integraal ruumi üle jääks 1.

Kokkuvõte

Tõenäosustihedusfunktsioon on aluseks pidevate juhuslike muutujate tõenäosuste arvutamisel. Peamised reeglid: f(x) ≥ 0, kogu tiheduse integraal on 1, ja vahemiku tõenäosus leitakse f-i integreerides. Tihedusfunktsioonid võimaldavad modelleerida reaalse maailma mõõdetavaid suurusi (pikkus, kaal, aeg jms) ning leida nende keskmisi, dispersioone ja tõenäosusi vahemike kaupa.

Küsimused ja vastused

K: Mis on tõenäosustiheduse funktsioon?

K: Kuidas kirjutatakse juhusliku muutuja X tõenäosustihedusfunktsioon?

K: Mida kujutab endast tõenäosustihedusfunktsiooni integraal?

K: Kas tõenäosustihedusfunktsioon on kogu oma alal alati mittenegatiivne?

K: Kas integreerimine üle intervalli annab summa 1?

K: Millist tüüpi jaotust iseloomustab tõenäosustihedusfunktsioon?

Otsing