Rhindi matemaatiline papüürus — Vana‑Egiptuse tähtsaim matemaatikatekst

Briti muuseumis asuv Rhindi papüürus on üks tähtsamaid ja põhjalikumaid säilinud allikaid Vana‑Egiptuse matemaatika kohta. Papüürus on nime saanud šoti antiikmüüja Alexander Henry Rhindi järgi, kes selle 1858. aastal Egiptuses Luxoris ostis. Tekst leideti tõenäoliselt ebaseaduslike väljakaevamiste käigus Ramesseumis või selle läheduses. Papüürus on kirjutatud hieratilises kirjas ja dateeritakse tavaliselt umbes 1550. aastasse eKr. Praegu kuulub see Briti muuseumi kogu hulka (inv. nr BM 10057) ning on ligi 5–5,5 meetri pikkune rull, mille iga osa on umbes 33 cm lai.

Ajalooline taust

Rhindi papüürus pärineb Egiptuse teisest vaheajast (Second Intermediate Period) ja on kopeeritud vanemast tekstist. Papüürusel mainitakse, et kirjutaja Ahmose kopeeris teksti varasemast käsikirjast, mis olevat pärit Amenemhat III (12. dünastia) valitsusajast. Dokumenti on dateeritud Hyksose kuninga Apophise 33. aastale ning selle tagaküljel on kirjutatud ka hilisem märge, aasta 11, mis võib pärineda tema järeltulijalt Khamudilt. See viitab sellele, et papüüruse algne materjal võis olla mitu sajandit vanem kui läbikopeerimise aeg.

Sisu ja matemaatilised teemad

Rhindi papüürus sisaldab hulgaliselt praktilisi ja teoreetilisi arvutusülesandeid ning kommentaare. Tekst katab:

• aritmeetika — liitmine, lahutamine, korrutamine ja jagamine, sealhulgas meetodid jagamiseks ja arvude töötlemiseks;
• murdud — Egiptuse tüüpiline unit‑murdude süsteem (kõik murdarvud esitatakse 1/n kujulude summana), sealhulgas nn 2/n tabel, mis annab 2 jagatud naturaalarvudeks esitusviisid;
• algebra — lineaarvõrrandite lahendamine peamiselt nn vale positsiooni (method of false position) abil;
• geomeetria — pindalade ja mahu ligikaudsed arvutused (põllude ja hoonete mõõtmine), s.h. ringi pindala ligikaudne arvutus; papüürusel on tuntud Egiptuse ringi pindala lähendus, mille järgi ringi pindala leitakse väljaga (8/9 × diameeter)^2, mis annab kiiresti kasutatava ligikaudu π ≈ 3,1605;
• “seked” ja ehitusmõõtmed — puidutööde ja püramiidide languse (nurgakalded) määramine, mis on sarnane hilisema trigonometria algkujule;
• praktilised ülesanded — toidu jaotused (leivad, õlu), laovarusid ja mõõtmised, töötasu arvutused, põllu- ja aretusprobleemid.

Paljud näited on formuleeritud küsimustena ja lahendustega rida‑haaval, mis võimaldab jälgida Egiptuse kirjutusviisi ja arvutuskäike. Papüürus on oluline ka selle poolest, et ta illustreerib Egiptuse matemaatika rõhuasetust praktilisele lahendusele ja tabelitele (nt jagunemiste tabelid), mitte abstraktsele teooriale sellisena, nagu see kujunes hiljem kreeka traditsioonis.

Matemaatilised eripärad

• Egiptlased kasutasid peamiselt unit‑murde: tavareegliks oli murdude esitus üksikute ühiku murdude summana (näiteks 2/5 = 1/3 + 1/15). Rhindi papüürus sisaldab mitmeid näiteid ja tabeli‑sarnaseid väljendeid nende jaotuste jaoks.
• Ringi pindala ligikaudseks arvutamiseks kasutatud võte — võtta diameetrist 8/9 ja ruudustada tulemus — annab hästikasutatava praktilise väärtuse maade ja teraviljakoguste hindamiseks.
• Lineaarvõrrandite asemel kasutatakse peamiselt vale positsiooni meetodit: arvutatakse lihtne proportsiooniline oletus ja korrigeeritakse see õige lahenduseni.
• Püramiidide kallet kirjeldav seked mõiste seob horisontaalse (põhja) mõõtme ja vertikaalse tõusu — see on tehniliselt sarnane tasapinna kaldnurgaga ja on varajane samm trigonoomeetriliste mõisteteni.

Leid, transliteratsioon ja tõlkimine

Rhindi papüüruseni jõudmisest ja tema tekstide uurimisest on avaldatud palju töid. Tekst translitereeriti ja tõlgiti juba 19. sajandi lõpus ning alates sellest on erinevaid väljaandeid ja kommentaare ilmunud. Papüüruse fotograafilisi koopiaid ja teadustrükke avaldasid mitmed uurijad: Peet (1923) avaldas põhjalikuma väljaande, mis sisaldab Griffithi järjekorra järgset teksti ja kommentaare; 1927/29 avaldas Chase kogumiku, mis sisaldas teksti fotosid; uuemaid ülevaateid ja kommentaare esitasid näiteks Robins ja Shute (1987).

See raamat kopeeriti 33. kuninga-aastal, Akheti 4. kuul, Ülem- ja Alam-Egiptuse kuninga Awserre majesteedi all, kellele anti elu, vanast koopiast, mis oli tehtud Ülem- ja Alam-Egiptuse kuninga Nimaatre (?) ajal. Kirjutaja Ahmose kirjutab selle koopia.

Teaduslik mõju ja tähtsus

Rhindi papüürus on hindamatu allikas nii ajaloolasele kui matemaatikale orienteeritud uurijale. See näitab, kuidas vanaegiptlased mõtlesid arvudest ja mõõtmisest, milliseid põhimõtteid nad kasutasid ning kuidas nad lahendasid igapäevaseid praktilisi probleeme. Papüürus on võrreldav Moskva matemaatilise papüürusega, mis on vanem, kuid võrdlemisi lühem; koos moodustavad need kaks peamise kirjaliku allika Vana‑Egiptuse matemaatiliste teadmiste kohta.

Edasine lugemine

Kes soovib Rhindi papüürust sügavamalt uurida, võib alustada 19.‑ ja 20. sajandi transliteratsioonide ja kommentaaridega ning jätkata kaasaegsema teaduskirjandusega. Paljud töötlused käsitlevad üksikuid ülesandeid ja nende tähendust ning püüavad tõlkida Egiptuse arvutustraditsiooni kaasaegsetesse matemaatikaterminitesse. Tähtis on meeles pidada, et Egiptuse autorid kasutasid omaenda terminoloogiat ja aritmeetilisi konventsioone, mistõttu nõuab teksti lugemine nii keelelist kui kultuurilist kontekstitundmist.

Küsimused ja vastused

K: Kes avastas Rhindi papüüruse?

K: Mis on peamine teadmiste allikas matemaatika kohta Vana-Egiptuses?

K: Kui pikk on Rhindi papüürus?

K: Millal see kirjutati?

K: Kes selle kirjutas?

K: Milliseid teemasid see hõlmab?

K: Mis aastal ostis Alexander Henry Rhind selle Egiptuse Luxorist?

Otsing