Königsbergi seitse silda on ajalooliselt kuulus matemaatikaprobleem. Leonhard Euler lahendas selle probleemi 1735. aastal. See tõi kaasa graafiteooria alguse. See viis seejärel topoloogia arenguni.

Königsbergi linn Preisimaal (praegu Kaliningrad, Venemaa) asus mõlemal pool Pregeli jõge. See hõlmas kahte suurt saart, mis olid omavahel ja mandriga ühendatud seitsme sillaga.

Probleem oli leida viis, kuidas kõndida läbi linna, ületades iga silda üks kord ja ainult üks kord. Saartele ei olnud võimalik jõuda muudel marsruutidel kui sildade kaudu. Iga sild tuli iga kord täielikult ületada. Jalutuskäik ei pidanud algama ja lõppema samas kohas. Euler tõestas, et probleemil ei ole lahendust.

Probleemi lihtsustamine ja modelleerimine

Euleri olulisim samm oli näha, et konkreetset kaartkujutist pole vaja — tähtis on ainult see, kuidas maalapid (saared ja kaldad) on omavahel ühendatud. Ta asendas iga maaaluse piirkonna tippu (vertex) ja iga silda servaks (edge). Selline abstraktne mudel on tänapäeval tuntud kui graaf.

Tähelepanuväärne on, et probleem muutus geomeetrilisest korduvate käimiste loendamisest lihtsaks pariteedi- ehk paarisarvuküsimuseks: iga kord, kui jalutaja silda ületab, ta siseneb ühte tippu ja väljub teisest — seega enamikul tippudel tuleb tulla ja minna paarisarv kordi.

Euleri argumendi tuum (lühiülevaade)

Euler näitas, et selline jalutuskäik (mida nüüd nimetatakse Euleri trajektooriks või Euleri teeks) on võimalik ainult siis, kui graafil on kas:

  • kõik tipud on paarilise astmega (siis saab algusest lõppu tagasi jõuda; see nimetatakse Euleri tsükliks), või
  • täpselt kaks tippu on paaritu astmega (siis algab tee ühes paaritu astmega tipust ja lõpeb teises; see annab Euleri trajektoori, mis ei pea kokku tulema).

Selle põhjendus on lihtne: kui tipp pole tee algus ega lõpp, siis iga sisenemine sinna tuleb tasakaalustada väljumisega — sisenemiste ja väljumiste arv on paaris. Seega tippudel, mis ei ole algus ega lõpp, peab olema paarisarv servasid. Kui aga rohkem kui kaks tippu on paaritud, ei ole võimalik sellist paari-sobitamist teha ja Euleri trajektoori ei leidu.

Kõige tähtsam: Königsbergi graafis oli rohkem kui kaks paaritu astmega tippu, seega võis Euler kohe järeldada, et nõutud jalutuskäiku ei eksisteeri.

Miks see on tähtis

Kuigi probleem ise oli lihtne ja konkreetne, oli Euleri lähenemine revolutsiooniline — ta näitas, et mõnikord ei ole vaja uurida joonise detaile, vaid piisab struktuurilisest analüüsist. See idee kujundas aluse graafiteooriale, mis on nüüd hulga teoreetiliste ja praktiliste rakendustega (võrgud, transpordiprobleemid, keemia, arvutiteadus jpm), ning mõjutas ka topoloogia arengut, kus uuritakse ruumi omadusi, mis püsivad läbi pidevate teisenduste.

Edasine areng ja terminoloogia

Pärast Euleri tööd sai selliseid teid hakata nimetama Euleri trajektoorideks ja Euleri tsükliteks. Tingimused tipu astmete (degree) paarisuse kohta on tänaseni graafiteooria põhiteoreemide hulgas ja moodustavad standardse tööriista paljude võrgupõhiste probleemide lahendamisel.

Lõpuks tasub märkida, et kuigi algsetes kaartides olevad sillad on ajalooliselt muutunud, jääb Königsbergi näide oluliseks õppetunniks: lihtsate näidete kaudu võivad sündida uued matemaatika harud.