Transitiivsus — definitsioon ja kasutusalad (keel, matemaatika, loogika)

Avasta transitiivsuse tähendus ja rakendused keeles, matemaatikas ja loogikas — selged definitsioonid, näited ja praktilised kasutusalad ühes artiklis.

Transitiivsus võib viidata:

Kokkuvõte

Transitiivsus on omadus, mida kasutatakse mitmes valdkonnas ja mille tähendus sõltub kontekstist. Üldiselt tähendab see mingisugust „järgnevust” või «edasi pärandumist»: kui seos või toiming seob A ja B ning B ja C, siis seos/tehe seob ka A ja C. Allpool on välja toodud olulisemad tähendused keeleteaduses, matemaatikas, loogikas ja arvutiteaduses.

Keeleteadus (lingvistika)

Transitiivne tegusõna on selline tegusõna, mis nõuab lausest objekti ehk otsest sihtmärki. Transitiivsus keeleteaduses viitab sellele, kas tegusõna võtab otsese objekti (kelle? mida?).

• Näide (transitiivne): „Ma söön õuna.” — tegusõna söön võtab objekti õuna.
• Näide (intransitiivne): „Ma magan.” — tegusõna magan objekti ei vaja.
• Mõned tegusõnad on ambitransitiivsed — need võivad olla nii transitiivsed kui intransitiivsed, nt „lugema”: „Ta loeb raamatut.” vs „Ta loeb (igapäevaselt).”
• Transitiivsus kajastub sageli ka käändevormides — eesti keeles võtab otsene objekt tavaliselt osastava (partitiivi) või nimetava ning sõltub lausest ning tähendusest.

Matemaatika

Sellel alal on transitiivsus täpselt määratletud omadus seoste (relatsioonide) kohta.

• Transitiivne relatsioon: Olgu X hulk ja R ⊆ X×X relatsioon. R on transitiivne, kui kehtib:
  ∀a,b,c ∈ X: (aRb ja bRc) ⇒ aRc.
• Näited transitiivsetest seostest:
  • Arvuline ≤ (väiksem või võrdne) on transitiivne: kui a ≤ b ja b ≤ c, siis a ≤ c.
  • Striktselt väiksem < (a < b ja b < c ⇒ a < c) — ka transitiivne.
  • „On sama kui” (=) on transitiivne (ja lisaks refleksiivne ja sümmeetriline — teeb sellest ekvivalentsuse).
• Mittemalli näited: „On sõber” ei pruugi olla transitiivne — kui A on B sõber ja B on C sõber, pole A tingimata C sõber.
• Osahalduse seos (⊆): hulga osaolu on transitiivne: A ⊆ B ja B ⊆ C ⇒ A ⊆ C.
• Transitiivne sulg ehk transitiivne lähendus: iga relatsioonil saab rääkida selle transitiivsest sulust (transitive closure) — väikseim transitiivne relatsioon, mis sisaldab antud relatsiooni. Graafiteoorias vastab see kõigi tippude vahelisele jõutavusele.
• Transitiivne hulk (set theory): Määratlus: hulk A on transitiivne, kui iga selle elementi x ja kui y ∈ x, siis y ∈ A. See mõiste on tähtis kujutiste ja ordinaalide teoorias.

Loogika

• Järeldamise transitiivsus: Loogikas kehtib tihti transitiivne omadus järeldus- või pärandumisseoste kohta: kui A ⊢ B ja B ⊢ C, siis A ⊢ C (millele vastab ka ideena hüpoteetiline süllogism: A ⇒ B ja B ⇒ C ⇒ A ⇒ C).
• Relatsioonide käsitlemine predikaatloogikas: transitiivseid predikaate (nt „on vanem kui” ei ole transitiivne, aga „on esivanem” jah) saab formaalselt väljendada ruutude ja kvantoritega.

Arvutiteadus ja graafiteooria

• Jõutavus ja transitiivne sulg: Suunatud graafis vastab transitiivne sulg kõigi paaride leidmisele, kus on olemas tee ühest tipust teise. Transitiivse sulgu leidmiseks kasutatakse algoritme nagu Warshalli algoritm või mitmeid BFS/DFS-põhiseid meetodeid.
• Andmebaasid: SQL-päringutes ja relationaalsetes mudelites on oluline mõista pärimise edasikandumist ja sõltuvusi, kus transitiivsus (nt transitiivne sõltuvus) mõjutab normaliseerimist ja andmestruktuure.

Miks transitiivsus on oluline?

• Selle omaduse tuvastamine aitab eristada loogiliselt püsivaid seoseid mittestabiilsetest (näiteks sotsiaalsete võrgustike sõprussuunadest).
• Matemaatikas ja loogikas võimaldab transitiivsus ehitada keerukamaid struktuure (nt osahulgad, ordinaalid, ekvivalentsused).
• Keeleõppes ja kõneanalüüsis aitab arusaamine transitiivsusest selgitada lausete ülesehitust ja käändeid.
• Arvutiteaduses on transitiivsusel praktiline tähendus marsruutimise, päringute ja graafialgoritmide efektiivsuse seisukohalt.

Kokkuvõte ja kontrollküsimused

Transitiivsus ei tähenda üheselt sama kõigis valdkondades, kuid keskne idee — kui A seostub B-ga ja B seostub C-ga, siis A seostub C-ga — on sama. Kontrollimiseks võite küsida endalt:

• Kas suhe, mida vaatan, säilitab ühenduse kolmes etapis (a→b→c ⇒ a→c)?
• Kas antud tegusõna nõuab objekti või mitte (keel)?
• Kas relatsiooni transitiivsuse puudumine mõjutab süsteemi käitumist või loogiliste järelduste tegemist?

Otsing