Silinder

Üldine kasutamine

Üldkasutuses peetakse silindri all silmas täisnurksete ümmarguste silindrite lõplikke lõikeid, st silindrit, mille tekitavad jooned on risti alustega ja mille otsad on suletud, moodustades kaks ringikujulist pinda, nagu on näidatud joonisel (paremal). Kui silindri raadius on r ja pikkus (kõrgus) h, siis on selle ruumala antud järgmiselt:

V = πrh²

ja selle pindala on:

• ülemise osa pindala (πr²) +
• põhja pindala (πr²) +
• külgpindala (2πrh).

Seetõttu on pindala ilma ülemise või alumise (külgmise) pindalata:

A = 2πrh.

Ülemine ja alumine pindala on:

A = 2πr ²+ 2πrh = 2πr(r + h).

Antud ruumala puhul on väikseima pindalaga silindri pindala h = 2r. Antud pindala korral on suurima ruumalaga silindril h = 2r, st silinder mahub kuubikusse (kõrgus = läbimõõt).

Köide

Võttes täisnurkse ümmarguse silindri kõrgusega h ühikut ja aluse raadiusega r ühikut, mille koordinaatteljed on valitud nii, et alguspunkt on ühe aluse keskpunktis ja kõrgus mõõdetakse piki positiivset x-telge. Tasandilise lõigu pindala alguspunktist x ühiku kaugusel on A(x) ruutühikut, kus

A ( x ) = π r {\displaystyle2 A(x)=\pi r^{2}}

või

A ( y ) = π r {\displaystyle2 A(y)=\pi r^{2}}

Mahu element on täisnurkne silinder, mille aluspindala on Aw_i ruutühikut ja paksus Δx_i ühikut. Seega, kui V kuupmeetriühikut on Riemanni summade järgi õige ümmarguse silindri ruumala,

V o l u m e o f c y l i n d e r = lim | | | Δ → | 0| ∑ i = n 1A ( w i ) Δ i x {\displaystyle \mathrm {Volume\;of\;cylinder} =\lim _{||\Delta \to 0|||}\sum _{i=1}^{n}A(w_{i})\Delta _{i}x}

= ∫ h0 A ( y ) d2 y {\displaystyle =\int _{0}^{h}A(y)^{2}\,dy}

= ∫ h0 π r d2 y {\displaystyle =\int _{0}^{h}\pi r^{2}\,dy}

= π r h 2{\displaystyle =\pi \,r^{2}\,h\,}

Kasutades silindrilisi koordinaate, saab ruumala arvutada integreerimise teel üle

= ∫ h0 ∫ π02 ∫ r0 s d s d ϕ d z {\displaystyle =\int _{0}^{h}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}s\,\,ds\,d\phi \,dz}

= π r h 2{\displaystyle =\pi \,r^{2}\,h\,}

Silindriline ristlõige

Silindrilõiked on silindrite ja tasapindade ristumiskohad. Parempoolse ümmarguse silindri puhul on neli võimalust. Silindrit puudutav tasapind, mis ristub silindriga ühel sirgjoonel. Liigutatuna, olles paralleelne iseendaga, tasand kas ei ristu silindriga või lõikab seda kahes paralleelses sirgjoontes. Kõik muud tasapinnad lõikavad silindrit ellipsina või, kui nad on risti silindri teljega, ringina.

Muud silindritüübid

Elliptiline silinder ehk cylindroid on kvadriline pind, mille võrrand kartesiaanlikes koordinaatides on järgmine:

( x a ) +2 ( y b ) =21 . {\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1.}

See võrrand kehtib elliptilise silindri kohta, mis on tavalise ümmarguse silindri (a = b) üldistus. Veelgi üldisem on üldistatud silinder: ristlõige võib olla mis tahes kõver.

Silinder on degeneratiivne kvadriks, sest vähemalt üks koordinaat (antud juhul z) ei esine võrrandis.

Viltuse silindri ülemine ja alumine pind on teineteisest nihkes.

On ka muid ebatavalisi silindritüüpe. Need on kujuteldavad elliptilised silindrid:

( x a ) +2 ( y b ) = 2- 1{\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=-1}}

hüperboolne silinder:

( x a ) 2- ( y b ) = 2{\displaystyle1 \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1}

ja paraboolne silinder:

x +2 a2 y =0 . \displaystyle x^{2}+2ay=0.\,}

Elliptiline silinder


Projektiivses geomeetrias on silinder lihtsalt koonus, mille tipp asub lõpmatuses, mis vastab visuaalselt perspektiivsele silindrile, mis näib olevat koonus taeva suunas.

Projektiivne geomeetria

Projektiivses geomeetrias on silinder lihtsalt koonus, mille tipp asub lõpmatuses.

See on kasulik degeneratiivsete koonuste määratlemisel, mis nõuavad silindriliste koonuste käsitlemist.