Hüperbool: definitsioon, võrrandid, omadused ja rakendused

Hüperbool: selge definitsioon, põhilised võrrandid, geomeetrilised omadused ja praktilised rakendused — intuitiivsed näited ja samm-sammult matemaatilised lahendused.

Hüperbool on koonuslõike tüüp. Nagu teised kolm koonuslõike tüüpi - parabolad, ellipsid ja ringid - on ka see kõver, mis moodustub koonuse ja tasandi lõikumisel. Hüperbool tekib siis, kui tasapind lõikab kahekordse koonuse mõlemat poolt, tekitades kaks kõverat, mis näevad üksteisega täpselt samasugused välja, kuid avanevad vastassuunas. Üldiselt saab öelda, et hüperbool tekib siis, kui tasandi kaldenurk koonuse teljega on väiksem (st tasapind on "teravamalt" paigutunud) kui koonuse külje ehk generaatri kaldenurk, mistõttu tasapind läbib mõlemad koonuse nappad.

Hüperbooli kaks haru on lõpmatuseni avanevad ja neid eraldab sümmeetriline telg. Hüperbooli põhijooned on fookused (punktid, mille suhtes on kõveral määratletud geomeetriline omadus), telg (transversaalne telg), konjugeeritud telg, asümptoodid ja eksentrilisus.

Võrrandid ja kujutised

Kahemõõtmelises koordinaatsüsteemis on hüperbooli standardkujundid järgmised:

• Horistontaalselt avanev hüperbool (keskel originaal): x²/a² − y²/b² = 1. Selle harude suund on mööda x-telge.
• Vertikaalselt avanev hüperbool: y²/a² − x²/b² = 1. Selle harude suund on mööda y-telge.

Neis kujutistes on asümptoodide võrrandid vastavalt y = ±(b/a)x (origost keskne hüperbool) või, kui hüperbool on nihutatud keskpunkti (h,k), y−k = ±(b/a)(x−h) (või sarnane teisendatud kuju).

Üks tuntumaid hüperboleid on võrrandi f ( x ) = 1 / x graafik {\displaystyle f(x)=1/x} . See kujutis on nii-öelda ruutuvaba (rectangular) hüperbool, mille asümptoodid on x- ja y-telg (st y→0 kui x→±∞ ja x→0 kui y→±∞) ning mis paikneb esimese ja kolmanda kvadrandi harudes.

Lisaks kartesiaanilisele esitusele kasutatakse hüperbooli parameetrilisi kujutisi: näiteks x = a sec t, y = b tan t (kus sec² t − tan² t = 1) või hüperboolsete funktsioonide abil x = a cosh u, y = b sinh u (sest cosh² u − sinh² u = 1). Need vormid on mugavad ka kõverapikkuse ja pindalade arvutamisel.

Põhiomadused

• Fookused ja fookuste omadus: hüperbooli kaks fookust paiknevad teljel punktides (±c,0) (originaalse kuju puhul), kus c² = a² + b². Igale punktile hüperboolil on kahe fookuse kauguste erinevus konstantne ja võrdub 2a.
• Eksentrilisus: e = c/a > 1; hüperbooli eksentrilisus on alati suurem kui 1.
• Asümptoodid: kaks sirget, millele harud lähenevad lõpmatuses; originaalhüperbooli puhul y = ±(b/a)x. Asümptootide abil saab kiiresti ligikaudu joonistada hüperbooli kuju.
• Peegelduse omadus: nagu ellipsil ja paraboolil, on ka hüperboolil peegelduv omadus: kiir, mis tuleb ühe fookuse suunast ja peegeldub kõveralt, jätkab teise fookuse suunas (see omadus on oluline optikas ja akustikas).
• Konjugeeritud hüperbool: hüperbooli konjugeeritud kujul vahetuvad a ja b: kui üks on x²/a² − y²/b² = 1, siis konjugeeritud on −x²/a² + y²/b² = 1 (või samaväärselt y²/b² − x²/a² = 1).
• Erijuhtumid: kui a = b, nimetatakse kujutist ruutuvabaks (rectangular) hüperbooliks; selle asümptoodid on risti (näiteks y = ±x juhul a = b).

Rakendused ja näited

• Taevamehaanika: kui kaks taevakeha suhtlevad, võivad trajektoorid olla ellipsid, parabolad või hüperboolid sõltuvalt energiast. Hüperbooline orbiit tähendab, et objekt möödub teisest kehast ja ei jää selle ümber püsivalt kinni — sellised trajektoorid esinevad näiteks mingi satelliidi või komeedi lühiajalisel lähenemisel.
• Navigatsioon ja positsioneerimine: hüperbooli geomeetriline omadus (kauguste erinevus konstante) kasutatakse hüperboolses positsioneerimises, näiteks vanemates raadioasukoha süsteemides (LORAN) — pidevad kõnejad määravad asukoha hyperboolsete konstantide lõikumispunktina.
• Optika ja akustika: hüperbooli peegelduv omadus võimaldab kujundada peegleid või kõlarikanaleid nii, et energiat suunatakse soovitud fookuste vahel; seda kasutatakse teatud laadi antennide ja peeglite projekteerimisel.
• Tehnika ja arhitektuur: kuigi jahutus tornide kuju on enamasti hüperboloidi (ruumiline pind), mitte kahe-mõõtmeline hüperbool ise, kasutatakse hüperboloidseid ja hüperboolseid kujundeid konstruktsioonide tugevuse ja esteetika tõttu.
• Looduses: hüperboolseid kujundeid võib leida ka teistes kontekstides, näiteks mõnede sundialide varjude trajektoorid võivad jäljendada hüperbooli kuju sõltuvalt geomeetriast.

Praktilised märkused ja joonistamine

• Hüperbooli joonistamisel alusta asümptootidest (sirged), seejärel märgi keskpunkt, a ja b ning fookused; harud lähenevad asümptootidele laiendudes lõpmatusse.
• Transformatsioonid (nihutus, pööramine, skaleerimine) võimaldavad kirjeldada hüperboole, mille telg ei lange koordinaatteljedele või mille keskpunkt ei ole origos.
• Parametrilised kujutised (cosh/sinh või sec/tan) on kasulikud arvutustes, kus on tarvis täpseid asukohti, kõverapikkusi või pindalasid.

Mõisted ja võrrandid

Hüperbooli moodustavaid kahte lahutatud kõverat nimetatakse harudeks või harudeks.

Kahte punkti, kus harud on üksteisele kõige lähemal, nimetatakse tippudeks. Nende kahe punkti vahelist joont nimetatakse ristteljeks või peateljeks. Risttelje keskpunkt on hüperbula keskpunkt.

Suurel kaugusel keskpunktist lähenevad hüperboolil olevad harud kahele sirgele. Neid kahte sirget nimetatakse asümptootideks. Kui kaugus keskpunktist suureneb, läheneb hüperbool üha enam asümptootidele, kuid ei ristu nendega kunagi.

Konjugaatteljestik või väike telg on risti või täisnurga all ristteljega. Konjugatsioonitelje lõpp-punktid asuvad kõrgusel, kus tippu lõikuv ja ristteljega risti olev lõikepunkt lõikab asümptooteid.

Hüperbool, mille keskpunkt asub kartesiaanliku koordinaatsüsteemi alguspunktis, milleks on punkt (0,0), ja mille ristteljega x-teljel on võimalik kirjutada võrrandiga

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1. {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}

a on keskme ja tipu vaheline kaugus. Risttelje pikkus on võrdne 2a. b on tipust asümptoodiani kulgeva risti sirgjoonelise lõigu pikkus. Konjugatsioonitelje pikkus on võrdne 2b.

Ülaltoodud tüüpi hüperbula kaks haru avanevad vasakule ja paremale. Kui harud avanevad üles ja alla ning ristteljed asuvad y-teljel, siis saab hüperbool kirjutada võrrandiga

y 2 a 2 - x 2 b 2 = 1. {\displaystyle {\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1.}

Hüperbula graafik (punased kõverad). Asümptoodid on kujutatud siniste katkendlike joontena. Keskpunkt on tähistatud C ja kaks tippu asuvad punktides -a ja a. Põikpunktid on tähistatud F1 ja F2.

Küsimused ja vastused

K: Mis on hüperbool?

K: Kuidas luuakse hüperbool?

Küsimus: K: Kus me võime leida looduses näiteid hüperboola kohta?

Küsimus: Milline võrrand kirjeldab üht tuntud hüperboolinäidet?

K: Millised on veel mõned koonuslõike tüübid peale hüperboola?

K: Mille poolest erinevad need erinevad tüübid üksteisest?

Otsing