Algebraline struktuur: definitsioon, tüübid ja näited matemaatikas

Matemaatikas on algebraline struktuur hulk, millel on üks, kaks või enam binaarset operatsiooni ^{[vajab selgitamist]}.

Ühe binaarse operatsiooniga algebralised põhistruktuurid on järgmised:

• Magma (matemaatika)

Binaarse operatsiooniga hulk.

• Poolrühm

Assotsiatiivse operatsiooniga hulk

• Monoid

Poolrühm, millel on identne element

• Rühm

Monoid, kus igal elemendil on vastav pöördelement

• Kommutatiivne rühm

Kommutatiivse operatsiooniga rühm

Kahe binaarse operatsiooniga algebralised põhistruktuurid on järgmised:

• Ring

Kahe operatsiooniga hulk, mida sageli nimetatakse liitmiseks ja korrutamiseks. Kogum liitmise operatsiooniga moodustab kommutatiivse rühma ja korrutamise operatsiooniga poolrühma (paljud defineerivad rõnga nii, et korrutamise operatsiooniga kogum on tegelikult monoid). Liitmine ja korrutamine rõngas rahuldavad distributiivset omadust

• Kommutatiivne ring

Rõngas, mille korrutamine on kommutatiivne

• Väli

Kommutatiivne ring, mille korrutatav hulk on rühm.

Näited on järgmised

Põhimõisted ja omadused

Algebralise struktuuri puhul on olulised mõned põhiomadused, mis määratlevad, millise tüüpi struktuuriga on tegemist:

• Sulgumine: binaarne operatsioon *⋆* hulgale S on suletud, kui iga a, b ∈ S korral a ⋆ b ∈ S.
• Assotsiatiivsus: operatsioon ⋆ on assotsiatiivne, kui (a ⋆ b) ⋆ c = a ⋆ (b ⋆ c) kõigi a,b,c puhul.
• Identne element: element e ∈ S on identne, kui e ⋆ a = a ⋆ e = a kõigi a puhul.
• Pöördelement (invers): elemendil a on pöördelement a^{-1}, kui a ⋆ a^{-1} = a^{-1} ⋆ a = e.
• Kommutatiivsus: a ⋆ b = b ⋆ a kõigi a,b puhul.
• Distributiivsus: kaheoperatsioonilistes struktuurides (nt nüüd liitmine ja korrutamine) tähendab see, et korrutamine jaguneb liitmise üle: a·(b+c) = a·b + a·c ja (a+b)·c = a·c + b·c.

Tüübid ja lühiülevaade

Allpool lühikirjeldused peamistest algebralistest struktuuridest, mis juba eelnevalt loetelus esinesid:

• Magma: kõige üldisem; pelgalt hulk koos binaarse operatsiooniga (pole nõutud sulgimine võib olla vaatamata sellele, et sageli eeldatakse sulgumist).
• Poolrühm (semigroup): magma, mille operatsioon on assotsiatiivne.
• Monoid: poolrühm, millel on identne element (näiteks loenditöötlus operatsioonina, tühijada kui identne element).
• Rühm: monoid, kus iga elementil on pöördelement. Rühmas saab elementide "jaotamise" teha läbi pöördelementide abil.
• Kommutatiivne (abeli) rühm: rühm, kus operatsioon on kommutatiivne (näiteks täisarvude liitmine).
• Rõngas: hulk kahe operatsiooniga (liitmine ja korrutamine), kus liitmine moodustab abeli rühma ja korrutamine on assotsiatiivne; lisaks kehtib distributiivsus.
• Kommutatiivne ring: rõngas, kus korrutamine on kommutatiivne.
• Väli (field): kommutatiivne rõngas, kus kõik mitte-null elemendid on pööratavad korrutamise suhtes (siin korrutatavate elementide hulk on rühm).

Näited ja selgitused

Konkreetsed ja intuitiivsed näited aitavad mõista, kuidas need struktuurid ilmnevad:

• Täisarvud Z koos liitmisega: moodustavad abeli rühma; lisaks liitmisele ja korrutamisele on Z rõngas, kuid see ei ole väli (kuna näiteks 2-l pole täisarvude hulgas pöördelementi).
• Ratsionaalarvud Q, reaalsed R, kompleksarvud C: kõik on väljad (välja korral on korrutamise kõigil mitte-null elementidel pöördelemendid).
• Modulaararvud Z_n: täisarvud mooduli n järgi; kui n on algarv, siis Z_n on väli, muidu ainult rõngas.
• Maatriksid: n×n maatriksite hulk reaal- või komplexarvude üle koos tavapärase liitmise ja korrutamisega on rõngas; pööratavad maatriksid moodustavad rühma (gl(n)).
• Permutatsioonid: kõik permutatsioonid hulgal {1,...,n} moodustavad rühma (permutatsioonirühm) koos järjestuse järjekorraga (kompositsiooniga).
• Polünoomid: polünoomide hulk koefitsientidega reaal- või kompleksarvudes on rõngas; jaotamise osas ei ole iga polünoom pööratav.
• Vektorruumid: hõlmavad kahte operatsiooni (vektorite liitmine ja skalaariga korrutamine) ning on algebralised struktuurid, millel on täiendav lineaarne struktuur.

Miks algebralised struktuurid on olulised

Algebralised struktuurid annavad raamistikku, mille abil saab ühtselt kirjeldada ja uurida paljusid matemaatilisi objekte ja nende omadusi. Need struktuurid on keskne tööriist nii abstraktses algebraas kui ka rakendustes nagu krüptograafia, kooditeooria, füüsika ja arvutiteadus. Struktuuride erinevad reeglid (näiteks kommutatiivsus või pöördeelementide olemasolu) määravad, milliseid meetodeid ja tulemusi saab antud kontekstis kasutada.

Kokkuvõte

Algebraline struktuur on hulk koos ühes või mitmes binaarses operatsioonis, mille omadused (sulgumine, assotsiatiivsus, identne element, pöördelemendid, kommutatiivsus, distributiivsus) määravad, kas tegemist on magmaga, poolrühmaga, monoidiga, rühmaga, rõngaga või väljaga. Lihtsad näited nagu täisarvud, maatriksid ja permutatsioonid aitavad neid kontseptsioone mõista ja näitavad, kuidas teoreetilised omadused ilmnevad praktilistes matemaatilistes kontekstides.

Küsimused ja vastused

K: Mis on algebraline struktuur?

K: Millised on põhilised algebralised struktuurid, millel on üks binaarne operatsioon?

K: Millised on kahe binaarse operatsiooniga algebralised põhistruktuurid?

K: Mis on magma (matemaatika)?

K: Mis on poolrühm?

K: Mida tähendab, et operatsioon on kommutatiivne?

Otsing