Funktsioonide kompositsioon: definitsioon, süntaks ja näited
Õpi funktsioonide kompositsiooni definitsiooni, süntaksit ja praktilisi näiteid — samm-sammult selgitused, reeglid ja arvutused algajatele ja edasijõudnutele.
Matemaatikas on funktsiooni kompositsioon viis teha kahest teisest funktsioonist uus funktsioon.
Kui f on funktsioon X-st Y-sse ja g on funktsioon Y-st Z-sse, siis ütleme, et g koos f-ga on kirjutatud kui g ∘ f funktsioon X-st Z-sse (pane tähele, et tavaliselt kirjutatakse see vastupidiselt sellele, kuidas inimesed seda ootaksid, nagu me allpool selgitame).
F väärtus, mis on antud sisendiks x, kirjutatakse kui f(x). Väärtus g ∘ f antud sisend x kirjutatakse (g ∘ f)(x) ja see on defineeritud kui g(f(x)). (mis tähendab, et meie viis kirjutada g koos f-ga on mõistlik).
Siin on veel üks näide. Olgu f funktsioon, mis kahekordistab arvu (korrutab selle 2ga) ja olgu g funktsioon, mis lahutab arvust 1.
Need kirjutatakse järgmiselt:
f ( x ) = 2 x {\displaystyle f(x)=2x} 
g ( x ) = x - 1 {\displaystyle g(x)=x-1} 
g koos f-ga oleks funktsioon, mis kahekordistab arvu ja seejärel lahutab sellest 1:
( g ∘ f ) ( x ) = 2 x - 1 {\displaystyle (g\circ f)(x)=2x-1} 
f koos g-ga oleks funktsioon, mis lahutab arvust 1 ja seejärel kahekordistab selle:
(f ∘ g)(x) = 2(x - 1) = 2x - 2. See näide illustreerib olulist asjaolu: kompositsioon ei ole tavaliselt kommutatiivne, st (g∘f)(x) ≠ (f∘g)(x) enamasti — siin on (g∘f)(x)=2x−1 ja (f∘g)(x)=2x−2.
Domeen, sihtkoht ja määratavuse tingimus
Et kompositsioon g∘f oleks määratud, peab pilt ehk f(x) kuuluma g määramispiirkonda (codomain'i või vähemalt g domeeni). Kui f: X → Y ja g: Y → Z, siis kõik x ∈ X jaoks on g(f(x)) mõistetav. Kui aga f(X) ei jää täielikult g domeeni, siis üldiselt kompositsiooni ei saa defineerida kõigi x kohta.
Praktiline näide: kui f: ℝ → ℝ on f(x)=√x (defineeritud ainult x ≥ 0) ja g(x)=ln(x) (defineeritud ainult x>0), siis kompositsioon g∘f on defineeritud ainult selliste x jaoks, millel f(x)>0.
Süntaks ja lühidused
- Notatsioon: (g∘f)(x)=g(f(x)).
- Järjekord: tähis g∘f tähendab, et esmalt rakendatakse f, seejärel g. See võib tunduda vastuolus vasakult-paremale lugemisega, kuid matemaatiliselt on see mugav ja standardne.
- Mitme funktsiooni kompositsioon: h∘g∘f tähendab h(g(f(x))).
Olulised omadused
- Assotsiatiivsus: kompositsioon on assotsiatiivne: h∘(g∘f) = (h∘g)∘f (kui kõik pooled on defineeritud).
- Mittekummutatiivsus: üldjuhul g∘f ≠ f∘g, nagu meie kahekordistamise ja lahutamise näide näitas.
- Identiteet: identiteetfunktsioon id_X: X→X ei muuda midagi: f∘id_X = f ja id_Y∘f = f (kui f: X→Y).
- Pöördfunktsioon: kui f on bijektsioon ja f^{-1} on selle pöördfunktsioon, siis f^{-1}∘f = id ja f∘f^{-1} = id.
Arvutuslik märk
Kui töötatakse tuletistega ja funktsioonid on diferentseeruvad, kehtib ahelareegel (chain rule): (g∘f)'(x) = g'(f(x))·f'(x). See on väga kasulik keerukamate liitfunktsioonide tuletiste leidmisel.
Kokkuvõte ja praktiline nõuanne
Funktsioonide kompositsioon lubab ülesandeid järjestada: esmalt rakendatakse sisemist funktsiooni, seejärel välimist. Kontrolli alati domeene ja määramispiirkondi ning ära eelda, et järjekorra vahetamisel jääb tulemus samaks. Kompositsioon on tugev tööriist nii abstraktses matemaatikas kui ka rakendustes (näiteks teisenduste järjestamine, andmetöötlus ja diferentsiaalvõrrandite lahendused).
Omadused
Funktsiooni kompositsiooni saab tõestada assotsiatiivsena, mis tähendab:
f ∘ ( g ∘ h ) = ( f ∘ g ) ∘ h {\displaystyle f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h} 
Funktsiooni kompositsioon ei ole aga üldiselt kommutatiivne, mis tähendab, et:
f ∘ g ≠ g ∘ f {\displaystyle f\circ g\neq g\circ f} 
Seda on näha esimeses näites, kus (g ∘ f)(2) = 2*2 - 1 = 3 ja (f ∘ g)(2) = 2*(2-1) = 2.
Küsimused ja vastused
K: Mis on funktsiooni koostis?
V: Funktsiooni kompositsioon on võimalus teha kahest teisest funktsioonist ahelataolise protsessi abil uus funktsioon.
K: Kuidas kirjutatakse g väärtus koos f-ga?
V: Koos f-ga kokku pandud g väärtus kirjutatakse kui (g ∘ f)(x) ja see on defineeritud kui g(f(x)).
K: Millised on mõned näited funktsioonide kohta?
V: Näiteks võiks olla funktsioon, mis kahekordistab arvu (korrutab selle 2ga) ja teine, mis lahutab arvust 1.
K: Milline oleks näide g, mis on moodustatud koos f-ga?
V: Näide g koos f-ga oleks funktsioon, mis kahekordistab arvu ja seejärel lahutab sellest 1. See on (g ∘ f)(x)=2x-1.
K: Milline oleks näide g-ga koosnevast f-st?
V: Näide g-ga koosnevast funktsioonist f oleks funktsioon, mis lahutab arvust 1 ja seejärel kahekordistab selle; see on (f ∘ g)(x)=2(x-1).
K: Kas kompositsiooni saab üldistada ka binaarsetele suhetele?
V: Jah, kompositsiooni saab üldistada ka binaarsetele suhetele, kus seda mõnikord esitatakse sama sümboliga (nagu R ∘ S).
Otsige