Gammafunktsioon

Matemaatikas on gammafunktsioon (Γ(z)) faktoriaalfunktsiooni laiendus kõikidele kompleksarvudele, välja arvatud negatiivsed täisarvud. Positiivsete täisarvude puhul on see defineeritud kui Γ ( n ) = ( n - 1 ) ! {\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)! } $\Gamma (n)=(n-1)!$

Gammafunktsioon on määratletud kõigi kompleksarvude jaoks. Kuid see ei ole määratletud negatiivsete täisarvude ja nulli jaoks. Kompleksarvu puhul, mille reaalosa ei ole negatiivne täisarv, on funktsioon defineeritud järgmiselt:

Gammafunktsioon piki reaaltelje osa

Omadused

Erilised väärtused

Mõned konkreetsed gammafunktsiooni väärtused on järgmised:

Γ ( - 3 / 2 ) = 4 3 π ≈ 2.363271801207 Γ ( - 1 / 2 ) = - 2 π ≈ - 3.544907701811 Γ ( 1 / 2 ) = π ≈ 1.772453850905 Γ ( 1 ) = 0 ! = 1 Γ ( 3 / 2 ) = 1 2 π ≈ 0.88622692545 Γ ( 2 ) = 1 ! = 1 Γ ( 5 / 2 ) = 3 4 π ≈ 1.32934038818 Γ ( 3 ) = 2 ! = 2 Γ ( 7 / 2 ) = 15 8 π ≈ 3.32335097045 Γ ( 4 ) = 3 ! = 6 {\displaystyle {\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}&\approx 2.363271801207\\\\\\Gamma (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\approx -3.544907701811\\\\\\\\Gamma (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\approx 1.772453850905\\\\\\Gamma (1)&=0!&=1\\\\\\Gamma (3/2)&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}&\approx 0.88622692545\\\\\\Gamma (2)&=1!&=1\\\\\\Gamma (5/2)&={\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}&\approx 1.32934038818\\\\\\\\\\Gamma (3)&=2!&=2\\\\\\\Gamma (7/2)&={\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}&\approx 3.32335097045\\\\\\\\Gamma (4)&=3!&=6\\\\\\\end{array}}} ${\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}&\approx 2.363271801207\\\Gamma (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\approx -3.544907701811\\\Gamma (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\approx 1.772453850905\\\Gamma (1)&=0!&=1\\\Gamma (3/2)&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}&\approx 0.88622692545\\\Gamma (2)&=1!&=1\\\Gamma (5/2)&={\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}&\approx 1.32934038818\\\Gamma (3)&=2!&=2\\\Gamma (7/2)&={\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}&\approx 3.32335097045\\\Gamma (4)&=3!&=6\\\end{array}}$

Pi funktsioon

Gauss võttis kasutusele funktsiooni Pi. See on teine viis gammafunktsiooni tähistamiseks. Gammafunktsioonina on Pi funktsioon järgmine

Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ e - t t z + 1 d t t , {\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z+1}\,{\frac {{\rm {d}}t}{t},} $\Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z+1}\,{\frac {{\rm {d}}t}{t}},$

nii et

Π ( n ) = n ! , {\displaystyle \Pi (n)=n!\,,} $\Pi (n)=n!\,,$

iga mittenegatiivse täisarvu n korral.

Rakendused

Analüütiline arvuteooria

Gammafunktsiooni kasutatakse Riemanni zeta-funktsiooni uurimiseks. Riemanni zeta-funktsiooni omadus on selle funktsionaalvõrrand:

Γ ( s 2 ) ζ ( s ) π - s / 2 = Γ ( 1 - s 2 ) ζ ( 1 - s ) π - ( 1 - s ) / 2 . {\displaystyle \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)\pi ^{-s/2}=\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)\pi ^{-(1-s)/2}. } $\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)\pi ^{-s/2}=\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)\pi ^{-(1-s)/2}.$

Bernhard Riemann leidis seose nende kahe funktsiooni vahel. See oli 1859. aasta töös "Über die Anzahl der Primzahlen und einer gegebenen Grösse" ("Esmaste arvude arvust vähem kui antud hulk").

ζ ( z ) Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z e t - 1 d t t . {\displaystyle \zeta (z)\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z}}{e^{t}-1}}\;{\frac {dt}{t}}. } $\zeta (z)\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z}}{e^{t}-1}}\;{\frac {dt}{t}}.$

Küsimused ja vastused

Küsimus: Mis on gammafunktsioon matemaatikas?

V: Gammafunktsioon on matemaatika erifunktsioonide valdkonna võtmeteema.

K: Mis on faktoriifunktsiooni laiendus kõikidele kompleksarvudele, välja arvatud negatiivsed täisarvud?

V: Gammafunktsioon on faktoriaalfunktsiooni laiendus kõikidele kompleksarvudele, välja arvatud negatiivsed täisarvud.

K: Kuidas on gammafunktsioon defineeritud positiivsete täisarvude puhul?

V: Positiivsete täisarvude puhul on gammafunktsioon defineeritud kui Γ(n) = (n-1)!.

K: Kas gammafunktsioon on defineeritud kõigi kompleksarvude jaoks?

V: Jah, gammafunktsioon on määratletud kõigi kompleksarvude jaoks.

K: Kas gammafunktsioon on defineeritud negatiivsete täisarvude ja nulli jaoks?

V: Ei, gammafunktsioon ei ole defineeritud negatiivsete täisarvude ja nulli jaoks.

K: Kuidas on gammafunktsioon defineeritud kompleksarvu puhul, mille reaalosa ei ole negatiivne täisarv?

V: Gammafunktsioon on defineeritud kompleksarvu puhul, mille reaalosa ei ole negatiivne täisarv, spetsiaalse valemi abil, mida tekstis ei ole esitatud.

K: Miks on gammafunktsioon matemaatikas oluline?

V: Gammafunktsioon on matemaatikas oluline, sest see on erifunktsioonide valdkonna võtmeteema ja laiendab faktoriifunktsiooni kõigile kompleksarvudele, välja arvatud negatiivsed täisarvud.