Gammafunktsioon: faktoriaali laiendus kompleksarvudele ja definitsioon

Matemaatikas on gammafunktsioon (Γ(z)) faktoriaalfunktsiooni laiendus kõikidele kompleksarvudele, välja arvatud negatiivsed täisarvud. Positiivsete täisarvude puhul kehtib

$\Gamma (n)=(n-1)!$

Gammafunktsioon on algselt määratletud kõigi kompleksarvude jaoks, mille reaalarvuline osa on positiivne, ning seda kasutatakse seejärel analüütilise jätkamise abil kogu kompleksitasandi peaaegu kuvamiseks. Konkreetselt ei ole Γ(z) defineeritud negatiivsete täisarvude ja nulli juures — nendel punktidel esinevad lihtsad polaarkujulised singulaarsused (poldid).

Määratlus (Euleri integraalvektor)

Kui Re(z) > 0, siis saab Γ(z) määrata integraaliga

Γ(z) = ∫₀^∞ t^z−1 e^−t dt.

See integraal konvergeerub reaalarvu osa positiivsuse korral ja annab analüütilise funktsiooni selles piirkonnas.

Analüütiline jätkamine ja polaarkujulised singulaarsused

Funktsiooni Γ saab jätkata meromorfselt kogu kompleksitasandile, jättes välja mittedefineeritud punktid z = 0, −1, −2, ... , kus on lihtsad poldid. Gammafunktsioonil ei ole nendes punktides nullkohti — see on kogu mujal mitte-nullne funktsioon.

Residuaadid negatiivsetes täisarvudes on

Res(Γ, z = −n) = (−1)ⁿ / n! , kus n = 0, 1, 2, ...

Peamised omadused

Rekursioonivalem: Γ(z+1) = z Γ(z). See viib otseselt relationi Γ(n) = (n−1)! positiivsete täisarvude puhul.
Peegeldusvalem (Euleri peegeldus): Γ(z) Γ(1−z) = π / sin(πz). See seos on kasulik väärtuste suhtes, mis paiknevad peegelpaaris z ja 1−z.
Ei ole nullkohti: Γ(z) ≠ 0 kõigil selle määramispiirkonna punktidel; vastav funktsioon 1/Γ(z) on terve funktsioon.

Muud kasulikud esitusviisid

Weierstrassi (Euleri) lõpmatu korrut):
1 / Γ(z) = z e^γz ∏_n=1^∞ (1 + z/n) e^−z/n,

kus γ on Euleri konstant.
Stirlingi asümptootika (suurte argumentide käitumine):
Γ(z) ~ √(2π) z^z−1/2 e^−z kui |z|→∞ ja z väljaspool väikest sektorit negatiivsel reaalteljel.

Mõned eriti kasulikud väärtused ja seosed

Γ(1) = 1 ja seega Γ(n) = (n−1)! juhul kui n on positiivne täisarv.
Γ(1/2) = √π ning seega Γ(n + 1/2) avaldub ruutjuure ja faktoriaalide kaudu (nt Γ(3/2) = 1/2 √π).
Betafunktsioon seos: B(x,y) = ∫₀¹ t^x−1 (1−t)^y−1 dt = Γ(x) Γ(y) / Γ(x+y) (kui Re(x), Re(y) > 0).

Kasutusalad

Gammafunktsioon on laialdaselt kasutusel paljudes matemaatika ja rakenduste valdkondades: tõenäosusteoorias (nt pidevate jaotuste normaliseerimine), kombinatoorikas (faktoriaalide üldistus), diferentsiaalvõrrandites, kompleksanalüüsis ja füüsikas. Selle omadused, nagu rekursioon ja peegeldusvalem, teevad selle arvutuste ja teisenduste jaoks väga mugavaks.

Kokkuvõttes on Γ(z) põhiline erifunktsioon, mis laiendab faktoriaali kompleksombrisse, on meromorfne kogu kompleksitasandil ja omab palju kasulikke esitusi ja seoseid teiste erifunktsioonidega.

Gammafunktsioon piki reaaltelje osa

Omadused

Erilised väärtused

Mõned konkreetsed gammafunktsiooni väärtused on järgmised:

Γ ( - 3 / 2 ) = 4 3 π ≈ 2.363271801207 Γ ( - 1 / 2 ) = - 2 π ≈ - 3.544907701811 Γ ( 1 / 2 ) = π ≈ 1.772453850905 Γ ( 1 ) = 0 ! = 1 Γ ( 3 / 2 ) = 1 2 π ≈ 0.88622692545 Γ ( 2 ) = 1 ! = 1 Γ ( 5 / 2 ) = 3 4 π ≈ 1.32934038818 Γ ( 3 ) = 2 ! = 2 Γ ( 7 / 2 ) = 15 8 π ≈ 3.32335097045 Γ ( 4 ) = 3 ! = 6 {\displaystyle {\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}&\approx 2.363271801207\\\\\\Gamma (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\approx -3.544907701811\\\\\\\\Gamma (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\approx 1.772453850905\\\\\\Gamma (1)&=0!&=1\\\\\\Gamma (3/2)&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}&\approx 0.88622692545\\\\\\Gamma (2)&=1!&=1\\\\\\Gamma (5/2)&={\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}&\approx 1.32934038818\\\\\\\\\\Gamma (3)&=2!&=2\\\\\\\Gamma (7/2)&={\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}&\approx 3.32335097045\\\\\\\\Gamma (4)&=3!&=6\\\\\\\end{array}}} ${\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}&\approx 2.363271801207\\\Gamma (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\approx -3.544907701811\\\Gamma (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\approx 1.772453850905\\\Gamma (1)&=0!&=1\\\Gamma (3/2)&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}&\approx 0.88622692545\\\Gamma (2)&=1!&=1\\\Gamma (5/2)&={\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}&\approx 1.32934038818\\\Gamma (3)&=2!&=2\\\Gamma (7/2)&={\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}&\approx 3.32335097045\\\Gamma (4)&=3!&=6\\\end{array}}$

Pi funktsioon

Gauss võttis kasutusele funktsiooni Pi. See on teine viis gammafunktsiooni tähistamiseks. Gammafunktsioonina on Pi funktsioon järgmine

Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ e - t t z + 1 d t t , {\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z+1}\,{\frac {{\rm {d}}t}{t},} $\Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z+1}\,{\frac {{\rm {d}}t}{t}},$

nii et

Π ( n ) = n ! , {\displaystyle \Pi (n)=n!\,,} $\Pi (n)=n!\,,$

iga mittenegatiivse täisarvu n korral.

Rakendused

Analüütiline arvuteooria

Gammafunktsiooni kasutatakse Riemanni zeta-funktsiooni uurimiseks. Riemanni zeta-funktsiooni omadus on selle funktsionaalvõrrand:

Γ ( s 2 ) ζ ( s ) π - s / 2 = Γ ( 1 - s 2 ) ζ ( 1 - s ) π - ( 1 - s ) / 2 . {\displaystyle \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)\pi ^{-s/2}=\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)\pi ^{-(1-s)/2}. } $\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)\pi ^{-s/2}=\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)\pi ^{-(1-s)/2}.$

Bernhard Riemann leidis seose nende kahe funktsiooni vahel. See oli 1859. aasta töös "Über die Anzahl der Primzahlen und einer gegebenen Grösse" ("Esmaste arvude arvust vähem kui antud hulk").

ζ ( z ) Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z e t - 1 d t t . {\displaystyle \zeta (z)\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z}}{e^{t}-1}}\;{\frac {dt}{t}}. } $\zeta (z)\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z}}{e^{t}-1}}\;{\frac {dt}{t}}.$

Küsimused ja vastused

Küsimus: Mis on gammafunktsioon matemaatikas?

V: Gammafunktsioon on matemaatika erifunktsioonide valdkonna võtmeteema.

K: Mis on faktoriifunktsiooni laiendus kõikidele kompleksarvudele, välja arvatud negatiivsed täisarvud?

V: Gammafunktsioon on faktoriaalfunktsiooni laiendus kõikidele kompleksarvudele, välja arvatud negatiivsed täisarvud.

K: Kuidas on gammafunktsioon defineeritud positiivsete täisarvude puhul?

V: Positiivsete täisarvude puhul on gammafunktsioon defineeritud kui Γ(n) = (n-1)!.

K: Kas gammafunktsioon on defineeritud kõigi kompleksarvude jaoks?

V: Jah, gammafunktsioon on määratletud kõigi kompleksarvude jaoks.

K: Kas gammafunktsioon on defineeritud negatiivsete täisarvude ja nulli jaoks?

V: Ei, gammafunktsioon ei ole defineeritud negatiivsete täisarvude ja nulli jaoks.

K: Kuidas on gammafunktsioon defineeritud kompleksarvu puhul, mille reaalosa ei ole negatiivne täisarv?

V: Gammafunktsioon on defineeritud kompleksarvu puhul, mille reaalosa ei ole negatiivne täisarv, spetsiaalse valemi abil, mida tekstis ei ole esitatud.

K: Miks on gammafunktsioon matemaatikas oluline?

V: Gammafunktsioon on matemaatikas oluline, sest see on erifunktsioonide valdkonna võtmeteema ja laiendab faktoriifunktsiooni kõigile kompleksarvudele, välja arvatud negatiivsed täisarvud.