Kuldsuhe (φ): definitsioon, omadused ja valem

Kuldsuhe (φ): selge definitsioon, matemaatilised omadused ja valemid — kuidas φ arvutada, praktilised näited ja rakendused kunstis, arhitektuuris ning looduses.

Kui ühel arvul a ja teisel väiksemal arvul b võrreldakse nende suurust, siis leitakse nende kahe arvu suhe jagades need omavahel: a/b. Teine huvipakkuv suhe tekib, kui liita arvud kokku (a+b) ja jagada tulemus suurema arvuga a, mis annab (a+b)/a. Kui need kaks suhet on võrdsed, nimetatakse seda ühest ühikust saadud suhet kuldsuhteks. Traditsiooniliselt tähistatakse kuldsuhet Kreeka tähega φ: Kreeka täht φ {\displaystyle \varphi } (phi).

Algebrailine tuletus ja valem

Oletame, et väiksem arv on b = 1 ja suurem arv on a = φ. Siis on esimene suhe a/b = φ ja teine suhe (a+b)/a = (φ + 1)/φ. Kui need on võrdsed, saame võrrandi

φ = (φ + 1) / φ {\displaystyle \varphi ={\frac {\varphi +1}{\varphi }}}

Korrutades mõlemad pooled φ-ga, saadakse kvadraatvõrrand

φ² = φ + 1.

Selle võrrandi lahendamisel saame φ kui positiivse juure kvadratuurvõrrandist x² − x − 1 = 0:

φ = (1 + √5) / 2 {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}

Siin on √5 arv, mis kokkuvõttes on number, mis iseendaga korrutades annab 5: √5 × √5 = 5 {\displaystyle {\sqrt {5}}\times {\sqrt {5}}=5} .

Arvuline väärtus ja naturaalsed omadused

Kuldsuhe on irratsionaalne arv: selle kümnendmurru esitus ei lõpe ega muutu korduvaks. Tema kümnendesimuse algus on

φ ≈ 1,6180339887...

Mõned olulised algebrailised ja aritmeetilised omadused:

• Minimaalne polünoom: φ on algebraarne irratsionaal ja lahend kvadratiivvõrrandile x² − x − 1 = 0.
• Ruuduvõrded: φ² = φ + 1. Seega φ³ = 2φ + 1, φ⁴ = 3φ + 2 jne.
• Invers: 1/φ = φ − 1 ≈ 0,6180339887... (see näitab, et kuldsuhtel ja selleosa on sama suhe).
• Konjugaat: Teine kvadratiivse võrrandi juur on ψ = (1 − √5)/2 ≈ −0,6180339887..., mida sageli tähistatakse ψ või φ' ning mis rahuldab ψ = 1 − φ = −1/φ.
• Jatkuv murru kuju: φ = [1; 1, 1, 1, 1, ...] ehk lõputu jätkuv murru jadana koos ainult ühikutega — see annab φ-le parimaid lähendusi kogu hulga irratsionaalide seas.

Seos Fibonacci jadaga

Fibonacci jadal F₀ = 0, F₁ = 1 ja F_{n+1} = F_n + F_{n−1} on tihe seos kuldsuhtega:

• Suhe järjestikuste Fibonacci arvude F_{n+1}/F_n läheneb piirväärtuses φ-le, kui n → ∞.
• Binet' valem annab Fibonacci liikme täpse sulguse: F_n = (φ^n − ψ^n) / √5, kus ψ = (1 − √5)/2.
• Selle tulemusena võib ka φ^n väljendada Fibonacci arvudega: φ^n = F_n φ + F_{n−1} (kehtib täpselt, kui kasutada F_n ja F_{n−1}).

Geomeetria ja kultuuriline tähendus

Kuldsuhe ilmub mitmetes geomeetrilistes konstruktsioonides:

• kuldristkülik — ristkülik, mille pikem külg jagatud lühemaga annab φ; kuvatuna see on esteetiliselt meeldiv ja on kasutusel arhitektuuris ja kunstis;
• täiuslik viisnurk (regulaarne pentagon) ja pentagramm sisaldavad φ suhteid külgede ja diagonaalide vahel;
• kuldses spiraalis ja logaritmilistes spiraalides, mis ilmuvad mõnikord looduses (nt mõnedes koorekeeristes) — kuigi otsene selge "kuldsuhte" roll looduses on sageli liialdatud, on φ siiski matemaatiliselt ja visuaalselt märkimisväärne.

Mõned praktilised tähelepanekud

• φ on lihtsaim näide algebraarsest irratsionaalsest arvust (astmega 2), seetõttu esineb ta sageli õppematerjalides kui näide.
• Tänu omadusele φ = 1 + 1/φ on kuldsuhe hästi ligikaudu formuleeritav ja annab kiireid lähendusi, mis tulenevad lõputust jadast 1 + 1/(1 + 1/(1 + ...)).
• φ leidub ka muudes valdkondades: teisene roll numbriteoorias, kombinatoorikas, disainis ja proportsioonide uurimises.

Kokkuvõtteks: kuldsuhe φ on ainulaadne matemaatiline konstant, millel on lihtne algebrailine definitsioon, eredad seosed Fibonacci jadaga, ilmnemine geomeetrilistes kujundites ja rikkalikad omadused, mis teevad sellest huvitava objekti nii teoreetilises kui ka praktilises matemaatikas.

Kuldne suhe looduses

Looduses kasutatakse kuldset lõiku sageli lehtede või lillede paigutamisel. Need kasutavad kuldset nurka, mis on ligikaudu 137,5 kraadi. Sellise nurga all paigutatud lehed või lilled kasutavad kõige paremini päikesevalgust.

Hariliku muraka leht, millel on kujutatud kuldne suhe


Kuldse nurga kasutamine kasutab optimaalselt päikese valgust. See on vaade ülaltpoolt.

Küsimused ja vastused

K: Mis on kahe arvu suhe?

K: Kuidas saab leida teise suhtarvu?

K: Kuidas nimetatakse seda, kui need kaks suhtarvu on võrdsed?

K: Kui b = 1 ja a/b = צ , mida tähendab see a jaoks?

K: Kuidas saab seda arvu kirjutada?

K: Mida tähendab see, kui sellest arvust lahutada 1 või jagada sellega 1?

K: Kas kuldlõige on irratsionaalne arv?

Otsing