Kui ühel arvul a ja teisel väiksemal arvul b võrreldakse nende suurust, siis leitakse nende kahe arvu suhe jagades need omavahel: a/b. Teine huvipakkuv suhe tekib, kui liita arvud kokku (a+b) ja jagada tulemus suurema arvuga a, mis annab (a+b)/a. Kui need kaks suhet on võrdsed, nimetatakse seda ühest ühikust saadud suhet kuldsuhteks. Traditsiooniliselt tähistatakse kuldsuhet Kreeka tähega φ: Kreeka täht φ {\displaystyle \varphi } 
(phi).
Algebrailine tuletus ja valem
Oletame, et väiksem arv on b = 1 ja suurem arv on a = φ. Siis on esimene suhe a/b = φ ja teine suhe (a+b)/a = (φ + 1)/φ. Kui need on võrdsed, saame võrrandi
φ = (φ + 1) / φ {\displaystyle \varphi ={\frac {\varphi +1}{\varphi }}}
Korrutades mõlemad pooled φ-ga, saadakse kvadraatvõrrand
φ² = φ + 1.
Selle võrrandi lahendamisel saame φ kui positiivse juure kvadratuurvõrrandist x² − x − 1 = 0:
φ = (1 + √5) / 2 {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}
Siin on √5 arv, mis kokkuvõttes on number, mis iseendaga korrutades annab 5: √5 × √5 = 5 {\displaystyle {\sqrt {5}}\times {\sqrt {5}}=5} 
.
Arvuline väärtus ja naturaalsed omadused
Kuldsuhe on irratsionaalne arv: selle kümnendmurru esitus ei lõpe ega muutu korduvaks. Tema kümnendesimuse algus on
φ ≈ 1,6180339887...
Mõned olulised algebrailised ja aritmeetilised omadused:
- Minimaalne polünoom: φ on algebraarne irratsionaal ja lahend kvadratiivvõrrandile x² − x − 1 = 0.
- Ruuduvõrded: φ² = φ + 1. Seega φ³ = 2φ + 1, φ⁴ = 3φ + 2 jne.
- Invers: 1/φ = φ − 1 ≈ 0,6180339887... (see näitab, et kuldsuhtel ja selleosa on sama suhe).
- Konjugaat: Teine kvadratiivse võrrandi juur on ψ = (1 − √5)/2 ≈ −0,6180339887..., mida sageli tähistatakse ψ või φ' ning mis rahuldab ψ = 1 − φ = −1/φ.
- Jatkuv murru kuju: φ = [1; 1, 1, 1, 1, ...] ehk lõputu jätkuv murru jadana koos ainult ühikutega — see annab φ-le parimaid lähendusi kogu hulga irratsionaalide seas.
Seos Fibonacci jadaga
Fibonacci jadal F₀ = 0, F₁ = 1 ja F_{n+1} = F_n + F_{n−1} on tihe seos kuldsuhtega:
- Suhe järjestikuste Fibonacci arvude F_{n+1}/F_n läheneb piirväärtuses φ-le, kui n → ∞.
- Binet' valem annab Fibonacci liikme täpse sulguse: F_n = (φ^n − ψ^n) / √5, kus ψ = (1 − √5)/2.
- Selle tulemusena võib ka φ^n väljendada Fibonacci arvudega: φ^n = F_n φ + F_{n−1} (kehtib täpselt, kui kasutada F_n ja F_{n−1}).
Geomeetria ja kultuuriline tähendus
Kuldsuhe ilmub mitmetes geomeetrilistes konstruktsioonides:
- kuldristkülik — ristkülik, mille pikem külg jagatud lühemaga annab φ; kuvatuna see on esteetiliselt meeldiv ja on kasutusel arhitektuuris ja kunstis;
- täiuslik viisnurk (regulaarne pentagon) ja pentagramm sisaldavad φ suhteid külgede ja diagonaalide vahel;
- kuldses spiraalis ja logaritmilistes spiraalides, mis ilmuvad mõnikord looduses (nt mõnedes koorekeeristes) — kuigi otsene selge "kuldsuhte" roll looduses on sageli liialdatud, on φ siiski matemaatiliselt ja visuaalselt märkimisväärne.
Mõned praktilised tähelepanekud
- φ on lihtsaim näide algebraarsest irratsionaalsest arvust (astmega 2), seetõttu esineb ta sageli õppematerjalides kui näide.
- Tänu omadusele φ = 1 + 1/φ on kuldsuhe hästi ligikaudu formuleeritav ja annab kiireid lähendusi, mis tulenevad lõputust jadast 1 + 1/(1 + 1/(1 + ...)).
- φ leidub ka muudes valdkondades: teisene roll numbriteoorias, kombinatoorikas, disainis ja proportsioonide uurimises.
Kokkuvõtteks: kuldsuhe φ on ainulaadne matemaatiline konstant, millel on lihtne algebrailine definitsioon, eredad seosed Fibonacci jadaga, ilmnemine geomeetrilistes kujundites ja rikkalikad omadused, mis teevad sellest huvitava objekti nii teoreetilises kui ka praktilises matemaatikas.
