Kuldsuhe (φ): definitsioon, omadused ja valem
Kuldsuhe (φ): selge definitsioon, matemaatilised omadused ja valemid — kuidas φ arvutada, praktilised näited ja rakendused kunstis, arhitektuuris ning looduses.
Kui ühel arvul a ja teisel väiksemal arvul b võrreldakse nende suurust, siis leitakse nende kahe arvu suhe jagades need omavahel: a/b. Teine huvipakkuv suhe tekib, kui liita arvud kokku (a+b) ja jagada tulemus suurema arvuga a, mis annab (a+b)/a. Kui need kaks suhet on võrdsed, nimetatakse seda ühest ühikust saadud suhet kuldsuhteks. Traditsiooniliselt tähistatakse kuldsuhet Kreeka tähega φ: Kreeka täht φ {\displaystyle \varphi } (phi).
Algebrailine tuletus ja valem
Oletame, et väiksem arv on b = 1 ja suurem arv on a = φ. Siis on esimene suhe a/b = φ ja teine suhe (a+b)/a = (φ + 1)/φ. Kui need on võrdsed, saame võrrandi
φ = (φ + 1) / φ {\displaystyle \varphi ={\frac {\varphi +1}{\varphi }}}
Korrutades mõlemad pooled φ-ga, saadakse kvadraatvõrrand
φ² = φ + 1.
Selle võrrandi lahendamisel saame φ kui positiivse juure kvadratuurvõrrandist x² − x − 1 = 0:
φ = (1 + √5) / 2 {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}
Siin on √5 arv, mis kokkuvõttes on number, mis iseendaga korrutades annab 5: √5 × √5 = 5 {\displaystyle {\sqrt {5}}\times {\sqrt {5}}=5} .
Arvuline väärtus ja naturaalsed omadused
Kuldsuhe on irratsionaalne arv: selle kümnendmurru esitus ei lõpe ega muutu korduvaks. Tema kümnendesimuse algus on
φ ≈ 1,6180339887...
Mõned olulised algebrailised ja aritmeetilised omadused:
- Minimaalne polünoom: φ on algebraarne irratsionaal ja lahend kvadratiivvõrrandile x² − x − 1 = 0.
- Ruuduvõrded: φ² = φ + 1. Seega φ³ = 2φ + 1, φ⁴ = 3φ + 2 jne.
- Invers: 1/φ = φ − 1 ≈ 0,6180339887... (see näitab, et kuldsuhtel ja selleosa on sama suhe).
- Konjugaat: Teine kvadratiivse võrrandi juur on ψ = (1 − √5)/2 ≈ −0,6180339887..., mida sageli tähistatakse ψ või φ' ning mis rahuldab ψ = 1 − φ = −1/φ.
- Jatkuv murru kuju: φ = [1; 1, 1, 1, 1, ...] ehk lõputu jätkuv murru jadana koos ainult ühikutega — see annab φ-le parimaid lähendusi kogu hulga irratsionaalide seas.
Seos Fibonacci jadaga
Fibonacci jadal F₀ = 0, F₁ = 1 ja F_{n+1} = F_n + F_{n−1} on tihe seos kuldsuhtega:
- Suhe järjestikuste Fibonacci arvude F_{n+1}/F_n läheneb piirväärtuses φ-le, kui n → ∞.
- Binet' valem annab Fibonacci liikme täpse sulguse: F_n = (φ^n − ψ^n) / √5, kus ψ = (1 − √5)/2.
- Selle tulemusena võib ka φ^n väljendada Fibonacci arvudega: φ^n = F_n φ + F_{n−1} (kehtib täpselt, kui kasutada F_n ja F_{n−1}).
Geomeetria ja kultuuriline tähendus
Kuldsuhe ilmub mitmetes geomeetrilistes konstruktsioonides:
- kuldristkülik — ristkülik, mille pikem külg jagatud lühemaga annab φ; kuvatuna see on esteetiliselt meeldiv ja on kasutusel arhitektuuris ja kunstis;
- täiuslik viisnurk (regulaarne pentagon) ja pentagramm sisaldavad φ suhteid külgede ja diagonaalide vahel;
- kuldses spiraalis ja logaritmilistes spiraalides, mis ilmuvad mõnikord looduses (nt mõnedes koorekeeristes) — kuigi otsene selge "kuldsuhte" roll looduses on sageli liialdatud, on φ siiski matemaatiliselt ja visuaalselt märkimisväärne.
Mõned praktilised tähelepanekud
- φ on lihtsaim näide algebraarsest irratsionaalsest arvust (astmega 2), seetõttu esineb ta sageli õppematerjalides kui näide.
- Tänu omadusele φ = 1 + 1/φ on kuldsuhe hästi ligikaudu formuleeritav ja annab kiireid lähendusi, mis tulenevad lõputust jadast 1 + 1/(1 + 1/(1 + ...)).
- φ leidub ka muudes valdkondades: teisene roll numbriteoorias, kombinatoorikas, disainis ja proportsioonide uurimises.
Kokkuvõtteks: kuldsuhe φ on ainulaadne matemaatiline konstant, millel on lihtne algebrailine definitsioon, eredad seosed Fibonacci jadaga, ilmnemine geomeetrilistes kujundites ja rikkalikad omadused, mis teevad sellest huvitava objekti nii teoreetilises kui ka praktilises matemaatikas.
Kuldne ristkülik
Kui ristküliku pikkus jagatud selle laiusega on võrdne kuldlõikega, siis on see ristkülik "kuldne ristkülik". Kui kuldse ristküliku ühest otsast lõigatakse välja ruut, siis on teine ots uus kuldne ristkülik. Pildil on suur ristkülik (sinine ja roosa koos) kuldne ristkülik, sest a / b = φ {\displaystyle a/b=\varphi } . Sinine osa (B) on ruut. Roosa osa üksi (A) on teine kuldne ristkülik, sest b / ( a - b ) = φ {\displaystyle b/(a-b)=\varphi }
. Suur ristkülik ja roosa ristkülik on sama kujuga, kuid roosa ristkülik on väiksem ja pööratud.
Fibonacci numbrid
Fibonacci numbrid on numbrite nimekiri. Inimene saab leida järgmise numbri nimekirjas, kui ta liidab kaks viimast numbrit kokku. Kui inimene jagab loendis oleva arvu sellele eelnenud arvuga, läheneb see suhe üha enam kuldsele lõigule.
Fibonacci arv | jagatud eelneva arvuga | suhe |
1 | ||
1 | 1/1 | = 1.0000 |
2 | 2/1 | = 2.0000 |
3 | 3/2 | = 1.5000 |
5 | 5/3 | = 1.6667 |
8 | 8/5 | = 1.6000 |
13 | 13/8 | = 1.6250 |
21 | 21/13 | = 1.6154... |
34 | 34/21 | = 1.6190... |
55 | 55/34 | = 1.6177... |
89 | 89/55 | = 1.6182... |
... | ... | ... |
φ \displaystyle \varphi } | = 1.6180... |
Kuldne suhe looduses
Looduses kasutatakse kuldset lõiku sageli lehtede või lillede paigutamisel. Need kasutavad kuldset nurka, mis on ligikaudu 137,5 kraadi. Sellise nurga all paigutatud lehed või lilled kasutavad kõige paremini päikesevalgust.


Hariliku muraka leht, millel on kujutatud kuldne suhe


Kuldse nurga kasutamine kasutab optimaalselt päikese valgust. See on vaade ülaltpoolt.
Küsimused ja vastused
K: Mis on kahe arvu suhe?
V: Kahe arvu suhe leitakse nende jagamisel, seega oleks suhe a/b.
K: Kuidas saab leida teise suhtarvu?
V: Teise suhte saab leida, kui liita kaks arvu kokku ja seejärel jagada see summa suurema arvuga a. See uus suhe oleks (a+b)/a.
K: Kuidas nimetatakse seda, kui need kaks suhtarvu on võrdsed?
V: Kui need kaks suhtarvu on võrdsed, nimetatakse seda kuldseks suhtarvuks. Seda kujutatakse tavaliselt kreeka tähega צ või phi.
K: Kui b = 1 ja a/b = צ , mida tähendab see a jaoks?
V: Kui b = 1 ja a/b = צ , siis tähendab see, et ka a = צ.
K: Kuidas saab seda arvu kirjutada?
V: Üks võimalus seda arvu kirjutada on צ = 1 + 5 / 2 = 1,618...
K: Mida tähendab see, kui sellest arvust lahutada 1 või jagada sellega 1?
V: Kui sellest lahutad 1 või jagad sellega 1, saad tagasi sama arvu - teisisõnu, mõlemad võrduvad kuldlõikega.
K: Kas kuldlõige on irratsionaalne arv?
V: Jah, kuldne suhe on irratsionaalne arv, mis tähendab, et kui keegi üritab seda välja kirjutada, siis ei tule kunagi lõppu ega mingit mustrit - ainult algab midagi sellist nagu "1,6180339887...".
Otsige