Principia Mathematica — Whitehead ja Russell: matemaatika alused ja loogika

Principia Mathematica — Whitehead ja Russell: sügav ülevaade matemaatika alustest ja sümboolsest loogikast, ajalooline kontekst, mõju ja Gödel’i mittetäielikkuse tähendus.

Isaac Newtoni raamat, mis sisaldab füüsika põhiseadusi, vt Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica.

Principia Mathematica on Alfred North Whiteheadi ja Bertrand Russelli kolmeköiteline teos matemaatika aluste kohta. See ilmus aastatel 1910, 1912 ja 1913. 1927. aastal ilmus teos teise väljaandena koos olulise sissejuhatusega teise väljaande lõpus ja erinevate märkustega. See on sageli tuntud kui PM.

Taust ja eesmärk

Principia Mathematica sündis 20. sajandi alguse püüetest anda matemaatikale kindel filosoofilis-loogiline alus. Autorid olid osa laiemast liikumisest, mida nimetatakse loogikismiks — arusaam, et kogu matemaatika saab vähendada puhtale loogikale. Üheks otseseks inspiratsiooniallikaks oli Gottlob Frege töö formaalse loogika ja aritmeetika aluseks olevate definitsioonide kohta.

Sisu ja struktuur

PM on väga formaalne ja tehniline töö, mille eesmärk oli tuua kokku aksioomid, definitsioonid ja tuletusreeglid selliselt, et neist lähtudes oleks võimalik formaalselt tuletada matemaatika põhivõrdlused, näiteks aritmeetika põhiväited. Teos on jaotatud kolme köitesse, kus käsitletakse:

• loogika ja loogilise sümboolika põhistruktuure;
• kvantoreid, omadusi ja relatsioone;
• aritmeetika ja teoreemideni jõudmist loogilistest alustest lähtudes.

Iseloomulik on keerukas sümboolika ja pikkade formaalsete tõestuste rida — see oli mõeldud selgeks ja jäigaks esituseks, et vältida intuitiivsete argumendipiiride ekslikkust.

Olulised mõisted ja lahendused

Raamatus esitati ja arendati edasi mitmeid olulisi ideid, sealhulgas:

• tüüpiteooria (ramified theory of types) — mehhanism, mis pidi vältima Russelli paradoksi tekkimist, jagades märkte ja predikaate hierarhilistesse tüüpidesse;
• reduktiivsuse aksioom (Axiom of Reducibility) — vastuoluline ja hiljem palju arutelu tekitanud postulaat, mille ülesandeks oli taastada mõned intuitiivsed tuletused, mis tüübiteooria ranguses muidu kadusid;
• formaalse loogika detailne sümboolne keel ja tuletusreeglid, mis võimaldasid täpset arutluskujutust ja seriaalset tõestamist.

Gödeli mittetäielikkuse teoreem ja tagajärjed

Suur muutus fundamentaalsete lootuste osas saabus 1931. aastal, kui Kurt Gödel tõestas oma mittetäielikkuse teoreemid. Esimene mittetäielikkuse teoreem näitab, et ükskõik milline piisavalt võimas, arvutatav ja konsistentne aksiomaatiline süsteem, mis suudab väljendada elementaarset aritmeetikat, sisaldab lausete, mis on tõestamatud ja samal ajal nende eitused on samuti tõestamatud — teisisõnu on süsteem mittetäielik. See tõestas, et PM ja kõik sarnased püüdlused ei suuda saavutada täielikku matemaatika tuletamist üksnes loogikast ilma kas vastuolulisuse või mittetäielikkuse riskita.

Gödel näitas ka, et kui süsteem on konsistentne, ei suuda süsteem seda enda sees formaalselt tõestada. Selle tulemusena kaotas PM projekti originaalse lootuse täielikult vähendada kogu matemaatikat kindlateks loogikapõhjadeks ilma järeltingimusteta.

Mõju, kriitika ja pärand

Principia Mathematica jättis tugeva jälje nii matemaatika, loogika kui ka analüütilise filosoofia arengusse. Peamised mõjud ja reaktsioonid:

• PM selgitas ja standardiseeris palju sümboolse loogika leidmisi ning andis aluse edasistele uurimustele formaalsüsteemide vallas.
• Gödeli tulemused suunasid uurijad ülevaatusele: tehti rohkem rõhku aksiomaatika olemusele, formaalsele tugevusele ja alternatiivsetele alustele (nt Zermelo–Fraenkeli hulkade teooria, Hilberti programm — kuigi Hilberti programaalsed eesmärgid saidki paljuski muutunud).
• Kriitikud on osutanud, et PM-i sümboolika ja pikk, tehniline stiil teevad selle raskesti ligipääsetavaks; Axiom of Reducibility on pälvinud eriti tugevat kritiseerimist kui kunstlik või ebaselge element.
• Tüüpiteooriast ja PM-i ideedest on saanud ühtlasi lähtepunktid kaasaegseteks uurimissuundadeks informaatikas (ülesanded tüübiteooria, liit- ja funktsionaalprogrammeerimine, tõestusabi süsteemid).

Soovitused lugejale ja väljaanded

Algne PM on keerukas ja kohati vanamoodne lugemine. Kui huvi on ajalooline ja kontseptuaalne, on mõistlik alustada populaarsematest sissejuhatustest või kommentaaridest ning seejärel sukelduda originaalteostesse. Hea alustuseks on autorite üldisemad ülevaated ning hilisemad analüüsid, mis selgitavad PM-i tähendust ja Gödeli mõju. See, et The Modern Library paigutas teose 23. kohale kahekümnenda sajandi 100 parima ingliskeelse ilukirjandusliku raamatu nimekirjas, peegeldab selle ajaloolist ja kultuurilist tähtsust, kuigi teose formaalne stiil ei ole ilukirjanduslik.

Kokkuvõte

Principia Mathematica oli ambitsioonikas ja mõjukas katse panna kogu matemaatika loogiliste aksioomide ja tuletusreeglite süsteemile. Kuigi projekt ei saavutanud algset eesmärki kõigi matemaatiliste tõdede tuletamisest, on teos andnud oluliselt kaasa kaasaegse loogika, filosoofia ja matemaatilise mõtlemise arengule. PM-i pärand elab edasi nii teoreetilises uurimistöös kui ka mõningates praktilistes rakendustes informaatikas ja formaalsetes süsteemides.

Küsimused ja vastused

Küsimus: Mis on Isaac Newtoni raamatu pealkiri?

K: Kes kirjutas Principia Mathematica?

K: Millal avaldati Principia Mathematica?

K: Mida uskusid autorid, et nad saavad selle raamatuga teha?

K: Kuidas tõestas Gödeli mittetäielikkuse teoreem, et see eesmärk on võimatu?

K: Kes inspireeris ja motiveeris PM-i?

K: Mille poolest erineb PM Russelli 1903. aasta teosest "Principles of Mathematics"?

Otsing