Bijektiivne funktsioon ja bijektsioon — definitsioon, omadused, näited
Bijektiivne funktsioon ja bijektsioon selgitatud lihtsasti, definitsioon, omadused ja näited samm-sammult, visuaalsed seletused ja harjutused algajatele ja edasijõudnutele
Matemaatikas on bijektiivne funktsioon või bijektsioon funktsioon f : A → B, mis on nii injektsioon kui ka surjektsioon. See tähendab, et iga elemendi b kohta kaasvaldkonnas B on täpselt üks element a valdkonnas A selline, et f(a)=b. Teine nimetus bijektsioonile on 1-1 vastavus.
Mõiste bijektsioon ja sellega seotud mõisted surjektsioon ja süstimine võeti kasutusele Nicholas Bourbaki poolt. Ta ja rühm teisi matemaatikuid avaldasid 1930. aastatel hulga raamatuid kaasaegse kõrgema matemaatika kohta.
Pildigalerii
1 Pilt
Mis tähendab see lihtsamalt?
Bijektsioon on justkui «täpne paaristamine» kahe hulga elementide vahel: igale A-s oleva elemendile saab määrata üheselt ühe vastava B-s oleva elemendi ja vastupidi — iga B-s olev on seotud täpselt ühe A-s olevaga. See tagab, et funktsiooni kaudu ei lähe ükski B-s olev element kahelt poolt või jääda üldse ilma eelsõnast.
Peamised omadused
- Injektsioon: erinevad A-s olevad elemendid lähevad erinevateks B-s elementideks (f(a1)=f(a2) ⇒ a1=a2).
- Surjektsioon: iga B-s olev element on mingi A-s oleva pildi (ehk kujutise) all (pilt(f)=B).
- Investeeruvus: iga bijektsioonil f: A → B on olemas nii-öelda pöördfunktsioon f⁻¹: B → A, mis tagab f⁻¹(f(a))=a ja f(f⁻¹(b))=b kõigi a∈A ja b∈B korral.
- Koosseis ja pöördumine: kahe bijektsiooni koosseis on samuti bijektsioon; pöördfunktsioon on samuti bijektsioon.
- Samas suuruses hulgad: kahe lõpliku hulga vahel eksisteerib bijektsioon täpselt siis, kui neil on sama arv elemente.
Kuidas tõestada, et funktsioon on bijektiivne?
On kaks levinud lähenemist:
- Tõesta eraldi injektiivsus ja surjektiivsus. Näiteks: 1) näita, et f(a1)=f(a2) ⇒ a1=a2; 2) võta suvaline b∈B ja ehita a∈A, mille pildiks on b.
- Ehita otse pöördfunktsioon g: B → A ja näita, et g(f(a))=a ning f(g(b))=b. Kui selline g eksisteerib, on f automaatselt bijektsioon.
Näited
- f: R → R, f(x)=2x on bijektsioon: iga y∈R saab x=y/2 ning erinevad x annavad erinevad pildid.
- f: R → R, f(x)=x^2 ei ole bijektsioon (ei ole injektiivne, sest f(1)=f(−1); ega ole surjektiivne, sest negatiivseid arve ei ole pildiks). Kuid f restricted: [0,∞) → [0,∞), f(x)=x^2 on bijektsioon — sellel on pöördfunktsioon f⁻¹(y)=√y.
- Bijektsioonid lõplike hulkade vahel: hulgal A={1,2,3} ja B={a,b,c} on näiteks f(1)=a, f(2)=c, f(3)=b — see on bijektsioon (permuteerib elemendid).
- Arvulised hulga suurused: N (loomulike arvude hulk) ja Z (täisarvud) on bijektsioniliselt võrdsed — eksisteerib selge paareerimisreis N↔Z (näiteks 0↔0, 1↔1, 2↔−1, 3↔2, 4↔−2 jne) — see näitab, et Z on loendatav.
- R (reaalarvud) ja N ei ole bijektsiooniga võrdsed: Cantori diagonaalarvutus näitab, et reaalid on suurema kardinaalsusega kui naturaalarvud.
Pärisfunktsioon ja permutatsioonid
Kui A=B, siis bijektsioonist A→A räägitakse ka permutatsioonina — see on lihtsalt hulga elementide ümberpaigutus. Permutatsioonide koosseis moodustab rühma (s.t. sulgub koosseisu, on ühikelement, iga elementil on pöördelement).
Mitu praktilist tähelepanekut
- Bijektsioon võimaldab «võrdväärsust» kahe hulga vahel: neil on sama kardinaalsus.
- Rakendused: andmete kodeerimine ja dekodeerimine, krüptograafia (võtme pööratav teisendus), kombinatoorika (paaristused ja permutatsioonid) jm.
Lühidalt: bijektsioon on täpne, kahepoolne vastavus kahe hulga vahel, mis tagab, et iga üksus ühest hulgast on seotud täpselt ühe üksusega teisest hulgast ning vastupidi — see omadus annab ka alati pöördfunktsiooni.
Põhilised omadused
Ametlikult:
f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B}
on bijektiivne funktsioon, kui ∀ b ∈ B {\displaystyle \forall b\in B}
on olemas unikaalne a ∈ A {\displaystyle a\in A}
selline, et f ( a ) = b . {\displaystyle f(a)=b\,. } 
Elementi b {\displaystyle b}
nimetatakse elemendi a {\displaystyle a}
kujutiseks.
- Formaalne määratlus tähendab: Iga kaasvaldkonna B element on täpselt ühe valdkonna A elemendi kujutis.
Elementi a {\displaystyle a} nimetatakse elemendi b {\displaystyle b} eelkujutiseks.
- Formaalne määratlus tähendab: Igal kaasvaldkonna B elemendil on täpselt üks eelkujutis valdkonnast A.
Märkus: Surjection tähendab vähemalt ühte eelpilti. Süstimine tähendab maksimaalselt ühte eelpilti. Seega tähendab bijektsioon täpselt ühte eelpilti.
Cardinality
Kardinaalsus on hulga elementide arv. A={X,Y,Z,W} kardinaalsus on 4. Kirjutame #A=4.
- Määratlus: Kahe hulga A ja B kardinaalsus on sama, kui nende hulkade vahel on bijektsioon. Seega #A=#B tähendab, et A-st B-sse on bijektsioon.
Bijektsioonid ja pöördfunktsioonid
- Bijektsioonid on pööratavad, pöörates nooled ümber. Uut funktsiooni nimetatakse pöördfunktsiooniks.
Ametlikult: Olgu f : A → B on biheide. Pöördfunktsioon g : B → A on defineeritud järgmiselt: kui f(a)=b, siis g(b)=a. (Vt ka pöördfunktsioon.)
- Pöördfunktsiooni pöördfunktsioon on algne funktsioon.
- Funktsioonil on pöördfunktsioon, kui ja ainult siis, kui see on biheegeldus.
Märkus: f pöördfunktsiooni tähistamine on segadusttekitav. Nimelt,
f - 1 ( x ) {\displaystyle f^{-1}(x)}
tähistab funktsiooni f pöördfunktsiooni, kuid x - 1 = 1 x {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}}
tähistab arvu x pöördväärtust.
Näited
Elementaarfunktsioonid
Olgu f(x):ℝ→ℝ reaalväärtusega funktsioon y=f(x) reaalväärtusega argumendiga x. (See tähendab, et nii sisend kui ka väljund on arvud.)
- Graafiline tähendus: Funktsioon f on bijektsioon, kui iga horisontaaljoon lõikab funktsiooni f graafikut täpselt ühes punktis.
- Algebraline tähendus: Funktsioon f on bijektsioon, kui iga reaalarvu yo kohta leiame vähemalt ühe reaalarvu xo , nii et yo =f(xo ) ja kui f(xo )=f(x1 ) tähendab xo =x1 .
Tõendada, et funktsioon on bijektsioon, tähendab tõestada, et see on nii surjektsioon kui ka injektsioon. Seega on formaalne tõestamine harva lihtne. Järgnevalt arutleme ja ei tõestata. (Vt surjektsioon ja süstimine.)
Näide: Lineaarne funktsioon kaldjoonest on biheegeldus. See tähendab, et y=ax+b, kus a≠0 on bijektsioon.
Arutelu: Iga horisontaaljoon lõikub kaldjoonega täpselt ühes punktis (vt surjektsioon ja süstimine tõendamiseks). Joonis 1.
Näide: Kolmanda astme polünoomfunktsioon: f(x)=x3 on bihektioon. Pilt 2 ja pilt 5 õhuke kollane kõver. Selle pöördfunktsioon on kuupjuure funktsioon f(x)= ∛x ja see on samuti bijektsioon f(x):ℝ→ℝ. Pilt 5: paks roheline kõver.
Näide: Kvadraatiline funktsioon f(x) = x2 ei ole bijektsioon (alates ℝ→ℝ). Joonis 3. See ei ole surjektsioon. See ei ole injektsioon. Kuid me võime piirata nii selle domeeni kui ka kaasdomeeni mittenegatiivsete arvude hulgaga (0,+∞), et saada (inverteeritav) bijektsioon (vt näiteid allpool).
Märkus: See viimane näide näitab seda. Selleks, et määrata, kas funktsioon on bijektsioon, peame teadma kolme asja:
- domeen
- funktsioonimasin
- kaasvaldkond
Näide: Oletame, et meie funktsioonimasin on f(x)=x².
- See masin ja domeen=ℝ ja kaasdomeen=ℝ ei ole surjection ja ei ole injektsioon. Siiski,
- see sama masin ning domeen=[0,+∞) ja kaasdomeen=[0,+∞) on nii surjektsioon kui ka injektsioon ja seega bihektioon.
Bijektsioonid ja nende inversioonid
Olgu f(x):A→B, kus A ja B on ℝ alamhulgad.
- Oletame, et f ei ole bijektsioon. Iga x jaoks, kus f-i tuletis on olemas ja ei ole null, on olemas x-i ümbrus, kus me saame piirata f-i domeeni ja kaasdomeeni poolituseks.
- Pöördfunktsioonide graafikud on sümmeetrilised joone y=x suhtes. (Vt ka pöördfunktsioon.)
Näide: Kvadraatiline funktsioon, mis on defineeritud piiratud alal ja kaasalal [0,+∞].
f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):[0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )}
defineeritud f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} 
on bijektsioon. Joonis 6: õhuke kollane kõver.
Näide: Ruutjuure funktsioon, mis on defineeritud piiratud domeenil ja kaasvaldkonnas [0,+∞].
f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):[0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )} defineeritud f ( x ) = x {\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}} 
on bijektsioon, mis on defineeritud kvadraatilise funktsiooni pöördfunktsioonina: x2 . Pilt 6: paks roheline kõver.
Näide: Domeenil ℝ ja piiratud kaasvaldkonnas (0,+∞) defineeritud eksponentsiaalfunktsioon.
f ( x ) : R → ( 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):\mathbf {R} \,\,\,\rightarrow \,\,(0,+\infty )}
defineeritud f ( x ) = a x , a > 1 {\displaystyle f(x)=a^{x}\,,\,\,\,a>1} 
on bijektsioon. Joonis 4: õhuke kollane kõver (a=10).
Näide: Logaritmifunktsiooni baas a, mis on defineeritud piiratud alal (0,+∞) ja kaasalal ℝ.
f ( x ) : ( 0 , + ∞ ) → R {\displaystyle f(x):(0,+\infty )\,\,\,\rightarrow \,\,\,\,\mathbf {R} }
defineeritud f ( x ) = log a x , a > 1 {\displaystyle f(x)=\log _{a}x\,,\,\,\,a>1} 
on bijektsioon, mis on defineeritud eksponentsiaalfunktsiooni pöördfunktsioonina: ax . Pilt 4: paks roheline kõver (a=10).
| Biheegeldus: iga vertikaalne joon (domeenis) ja iga horisontaalne joon (kaasdomeenis) lõikuvad täpselt ühes graafiku punktis. | ||
|
1. Bijektsioon. Kõik kaldjooned on bijektsioonid f(x):ℝ→ℝ. |
2. Biheegeldus. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x³. |
3. Ei ole bijektsioon. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x² ei ole surjektsioon. See ei ole injektsioon. |
|
4. Biheegeldused. f(x):ℝ→ (0,+∞). f(x)=10x (õhuke kollane) ja selle pöördvõrrand f(x):(0,+∞)→ℝ. f(x)=log10 x (paks roheline). |
5. Biheegeldused. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x³ (õhuke kollane) ja selle pöördvõrrand f(x)=∛x (paks roheline). |
6. Biheegeldused. f(x):[0,+∞)→[0,+∞). f(x)=x² (õhuke kollane) ja selle pöördvõrrand f(x)=√x (paks roheline). |
Seotud leheküljed
- Funktsioon (matemaatika)
- Surjektiivne funktsioon
- Injektiivne funktsioon
- Inversne funktsioon
Küsimused ja vastused
K: Mis on bijektiivne funktsioon?
V: Bihektivne funktsioon, mida nimetatakse ka bihektiooniks, on matemaatiline funktsioon, mis on nii süstektsioon kui ka surjektsioon.
K: Mida tähendab see, et funktsioon on injektsioon?
V: Injektsioon tähendab, et mis tahes kahe elemendi a ja a' puhul domeenis A, kui f(a)=f(a'), siis a=a'.
K: Mida tähendab, et funktsioon on surjektsioon?
V: Surjektsioon tähendab, et iga elemendi b jaoks kaasvaldkonnas B on vähemalt üks element a domeenis A, mille puhul f(a)=b.
K: Milline on samaväärne avaldis bihektsiooni kohta?
V: Bijektsiooni ekvivalentne avaldis on, et iga elemendi b kohta koodvaldkonnas B on täpselt üks element a domeenis A, mille puhul f(a)=b.
K: Mis on bijektsiooni teine nimetus?
V: Bijektsioon on tuntud ka kui "1-1 vastavus" või "üks-ühele vastavus".
K: Kes võttis kasutusele terminid bijektsioon, surjektsioon ja injektsioon?
V: Terminid bijektsioon, surjektsioon ja injektsioon võeti kasutusele Nicolas Bourbaki ja rühm teisi matemaatikuid 1930. aastatel.
K: Mida avaldasid Bourbaki ja teised matemaatikud 1930. aastatel?
V: Bourbaki ja teised matemaatikud avaldasid hulga raamatuid kaasaegse arenenud matemaatika kohta.
Seotud artiklid
Autor
AlegsaOnline.com Bijektiivne funktsioon ja bijektsioon — definitsioon, omadused, näited Leandro Alegsa
URL: https://et.alegsaonline.com/art/11405
Allikad
- mathworld.wolfram.com : "Bijective function"
- web.cortland.edu : "Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Bijection"
- jeff560.tripod.com : "Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics"
- proofwiki.org : "Inverse of Bijection is Bijection"
- proofwiki.org : "Injection iff Left Inverse"
- proofwiki.org : "Surjection iff Right Inverse"
- proofwiki.org : "Bijection iff Left and Right Inverse"