Bijektiivne funktsioon

Matemaatikas on bijektiivne funktsioon või bijektsioon funktsioon f : A → B, mis on nii injektsioon kui ka surjektsioon. See tähendab, et iga elemendi b kohta kaasvaldkonnas B on täpselt üks element a valdkonnas A selline, et f(a)=b. Teine nimetus bijektsioonile on 1-1 vastavus.

Mõiste bijektsioon ja sellega seotud mõisted surjektsioon ja süstimine võeti kasutusele Nicholas Bourbaki poolt. Ta ja rühm teisi matemaatikuid avaldasid 1930. aastatel hulga raamatuid kaasaegse kõrgema matemaatika kohta.

Põhilised omadused

Ametlikult:

f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} $f:A\rightarrow B$ on bijektiivne funktsioon, kui ∀ b ∈ B {\displaystyle \forall b\in B} $\forall b\in B$ on olemas unikaalne a ∈ A {\displaystyle a\in A} $a\in A$ selline, et f ( a ) = b . {\displaystyle f(a)=b\,. } $f(a)=b\,.$

Elementi b {\displaystyle b} $b$ nimetatakse elemendi a {\displaystyle a} kujutiseks.

Formaalne määratlus tähendab: Iga kaasvaldkonna B element on täpselt ühe valdkonna A elemendi kujutis.

Elementi a {\displaystyle a} nimetatakse elemendi b {\displaystyle b} $b$ eelkujutiseks.

Formaalne määratlus tähendab: Igal kaasvaldkonna B elemendil on täpselt üks eelkujutis valdkonnast A.

Märkus: Surjection tähendab vähemalt ühte eelpilti. Süstimine tähendab maksimaalselt ühte eelpilti. Seega tähendab bijektsioon täpselt ühte eelpilti.

Cardinality

Kardinaalsus on hulga elementide arv. A={X,Y,Z,W} kardinaalsus on 4. Kirjutame #A=4.

Määratlus: Kahe hulga A ja B kardinaalsus on sama, kui nende hulkade vahel on bijektsioon. Seega #A=#B tähendab, et A-st B-sse on bijektsioon.

Bijektsioonid ja pöördfunktsioonid

Bijektsioonid on pööratavad, pöörates nooled ümber. Uut funktsiooni nimetatakse pöördfunktsiooniks.

Ametlikult: Olgu f : A → B on biheide. Pöördfunktsioon g : B → A on defineeritud järgmiselt: kui f(a)=b, siis g(b)=a. (Vt ka pöördfunktsioon.)

Pöördfunktsiooni pöördfunktsioon on algne funktsioon.
Funktsioonil on pöördfunktsioon, kui ja ainult siis, kui see on biheegeldus.

Märkus: f pöördfunktsiooni tähistamine on segadusttekitav. Nimelt,

f - 1 ( x ) {\displaystyle f^{-1}(x)} $f^{-1}(x)$ tähistab funktsiooni f pöördfunktsiooni, kuid x - 1 = 1 x {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}} $x^{-1}={\frac {1}{x}}$ tähistab arvu x pöördväärtust.

Näited

Elementaarfunktsioonid

Olgu f(x):ℝ→ℝ reaalväärtusega funktsioon y=f(x) reaalväärtusega argumendiga x. (See tähendab, et nii sisend kui ka väljund on arvud.)

Graafiline tähendus: Funktsioon f on bijektsioon, kui iga horisontaaljoon lõikab funktsiooni f graafikut täpselt ühes punktis.
Algebraline tähendus: Funktsioon f on bijektsioon, kui iga reaalarvu y_o kohta leiame vähemalt ühe reaalarvu x_o , nii et y_o =f(x_o ) ja kui f(x_o )=f(x₁ ) tähendab x_o =x₁ .

Tõendada, et funktsioon on bijektsioon, tähendab tõestada, et see on nii surjektsioon kui ka injektsioon. Seega on formaalne tõestamine harva lihtne. Järgnevalt arutleme ja ei tõestata. (Vt surjektsioon ja süstimine.)

Näide: Lineaarne funktsioon kaldjoonest on biheegeldus. See tähendab, et y=ax+b, kus a≠0 on bijektsioon.

Arutelu: Iga horisontaaljoon lõikub kaldjoonega täpselt ühes punktis (vt surjektsioon ja süstimine tõendamiseks). Joonis 1.

Näide: Kolmanda astme polünoomfunktsioon: f(x)=x³ on bihektioon. Pilt 2 ja pilt 5 õhuke kollane kõver. Selle pöördfunktsioon on kuupjuure funktsioon f(x)= ∛x ja see on samuti bijektsioon f(x):ℝ→ℝ. Pilt 5: paks roheline kõver.

Näide: Kvadraatiline funktsioon f(x) = x² ei ole bijektsioon (alates ℝ→ℝ). Joonis 3. See ei ole surjektsioon. See ei ole injektsioon. Kuid me võime piirata nii selle domeeni kui ka kaasdomeeni mittenegatiivsete arvude hulgaga (0,+∞), et saada (inverteeritav) bijektsioon (vt näiteid allpool).

Märkus: See viimane näide näitab seda. Selleks, et määrata, kas funktsioon on bijektsioon, peame teadma kolme asja:

domeen
funktsioonimasin
kaasvaldkond

Näide: Oletame, et meie funktsioonimasin on f(x)=x².

See masin ja domeen=ℝ ja kaasdomeen=ℝ ei ole surjection ja ei ole injektsioon. Siiski,
see sama masin ning domeen=[0,+∞) ja kaasdomeen=[0,+∞) on nii surjektsioon kui ka injektsioon ja seega bihektioon.

Bijektsioonid ja nende inversioonid

Olgu f(x):A→B, kus A ja B on ℝ alamhulgad.

Oletame, et f ei ole bijektsioon. Iga x jaoks, kus f-i tuletis on olemas ja ei ole null, on olemas x-i ümbrus, kus me saame piirata f-i domeeni ja kaasdomeeni poolituseks.
Pöördfunktsioonide graafikud on sümmeetrilised joone y=x suhtes. (Vt ka pöördfunktsioon.)

Näide: Kvadraatiline funktsioon, mis on defineeritud piiratud alal ja kaasalal [0,+∞].

f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):[0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )} $f(x):[0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )$ defineeritud f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} $f(x)=x^{2}$

on bijektsioon. Joonis 6: õhuke kollane kõver.

Näide: Ruutjuure funktsioon, mis on defineeritud piiratud domeenil ja kaasvaldkonnas [0,+∞].

f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):[0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )} $f(x):[0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )$ defineeritud f ( x ) = x {\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}} $f(x)={\sqrt {x}}$

on bijektsioon, mis on defineeritud kvadraatilise funktsiooni pöördfunktsioonina: x² . Pilt 6: paks roheline kõver.

Näide: Domeenil ℝ ja piiratud kaasvaldkonnas (0,+∞) defineeritud eksponentsiaalfunktsioon.

f ( x ) : R → ( 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):\mathbf {R} \,\,\,\rightarrow \,\,(0,+\infty )} $f(x):\mathbf {R} \,\,\rightarrow \,\,(0,+\infty )$ defineeritud f ( x ) = a x , a > 1 {\displaystyle f(x)=a^{x}\,,\,\,\,a>1} $f(x)=a^{x}\,,\,\,a>1$

on bijektsioon. Joonis 4: õhuke kollane kõver (a=10).

Näide: Logaritmifunktsiooni baas a, mis on defineeritud piiratud alal (0,+∞) ja kaasalal ℝ.

f ( x ) : ( 0 , + ∞ ) → R {\displaystyle f(x):(0,+\infty )\,\,\,\rightarrow \,\,\,\,\mathbf {R} } $f(x):(0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,\mathbf {R}$ defineeritud f ( x ) = log a x , a > 1 {\displaystyle f(x)=\log _{a}x\,,\,\,\,a>1} $f(x)=\log _{a}x\,,\,\,a>1$

on bijektsioon, mis on defineeritud eksponentsiaalfunktsiooni pöördfunktsioonina: a^x . Pilt 4: paks roheline kõver (a=10).

Biheegeldus: iga vertikaalne joon (domeenis) ja iga horisontaalne joon (kaasdomeenis) lõikuvad täpselt ühes graafiku punktis.

1. Bijektsioon. Kõik kaldjooned on bijektsioonid f(x):ℝ→ℝ.

2. Biheegeldus. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x³.

3. Ei ole bijektsioon. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x² ei ole surjektsioon. See ei ole injektsioon.

4. Biheegeldused. f(x):ℝ→ (0,+∞). f(x)=10^x (õhuke kollane) ja selle pöördvõrrand f(x):(0,+∞)→ℝ. f(x)=log₁₀ x (paks roheline).

5. Biheegeldused. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x³ (õhuke kollane) ja selle pöördvõrrand f(x)=∛x (paks roheline).

6. Biheegeldused. f(x):[0,+∞)→[0,+∞). f(x)=x² (õhuke kollane) ja selle pöördvõrrand f(x)=√x (paks roheline).

Seotud leheküljed

Küsimused ja vastused

K: Mis on bijektiivne funktsioon?

V: Bihektivne funktsioon, mida nimetatakse ka bihektiooniks, on matemaatiline funktsioon, mis on nii süstektsioon kui ka surjektsioon.

K: Mida tähendab see, et funktsioon on injektsioon?

V: Injektsioon tähendab, et mis tahes kahe elemendi a ja a' puhul domeenis A, kui f(a)=f(a'), siis a=a'.

K: Mida tähendab, et funktsioon on surjektsioon?

V: Surjektsioon tähendab, et iga elemendi b jaoks kaasvaldkonnas B on vähemalt üks element a domeenis A, mille puhul f(a)=b.

K: Milline on samaväärne avaldis bihektsiooni kohta?

V: Bijektsiooni ekvivalentne avaldis on, et iga elemendi b kohta koodvaldkonnas B on täpselt üks element a domeenis A, mille puhul f(a)=b.

K: Mis on bijektsiooni teine nimetus?

V: Bijektsioon on tuntud ka kui "1-1 vastavus" või "üks-ühele vastavus".

K: Kes võttis kasutusele terminid bijektsioon, surjektsioon ja injektsioon?

V: Terminid bijektsioon, surjektsioon ja injektsioon võeti kasutusele Nicolas Bourbaki ja rühm teisi matemaatikuid 1930. aastatel.

K: Mida avaldasid Bourbaki ja teised matemaatikud 1930. aastatel?

V: Bourbaki ja teised matemaatikud avaldasid hulga raamatuid kaasaegse arenenud matemaatika kohta.