Bijektiivne funktsioon ja bijektsioon — definitsioon, omadused, näited

Ametlikult:

f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} on bijektiivne funktsioon, kui ∀ b ∈ B {\displaystyle \forall b\in B} on olemas unikaalne a ∈ A {\displaystyle a\in A} selline, et f ( a ) = b . {\displaystyle f(a)=b\,. }

Elementi b {\displaystyle b} nimetatakse elemendi a {\displaystyle a} kujutiseks.

• Formaalne määratlus tähendab: Iga kaasvaldkonna B element on täpselt ühe valdkonna A elemendi kujutis.

Elementi a {\displaystyle a} nimetatakse elemendi b {\displaystyle b} eelkujutiseks.

• Formaalne määratlus tähendab: Igal kaasvaldkonna B elemendil on täpselt üks eelkujutis valdkonnast A.

Märkus: Surjection tähendab vähemalt ühte eelpilti. Süstimine tähendab maksimaalselt ühte eelpilti. Seega tähendab bijektsioon täpselt ühte eelpilti.

Kardinaalsus on hulga elementide arv. A={X,Y,Z,W} kardinaalsus on 4. Kirjutame #A=4.

• Määratlus: Kahe hulga A ja B kardinaalsus on sama, kui nende hulkade vahel on bijektsioon. Seega #A=#B tähendab, et A-st B-sse on bijektsioon.

• Bijektsioonid on pööratavad, pöörates nooled ümber. Uut funktsiooni nimetatakse pöördfunktsiooniks.

Ametlikult: Olgu f : A → B on biheide. Pöördfunktsioon g : B → A on defineeritud järgmiselt: kui f(a)=b, siis g(b)=a. (Vt ka pöördfunktsioon.)

• Pöördfunktsiooni pöördfunktsioon on algne funktsioon.
• Funktsioonil on pöördfunktsioon, kui ja ainult siis, kui see on biheegeldus.

Märkus: f pöördfunktsiooni tähistamine on segadusttekitav. Nimelt,

  f - 1 ( x ) {\displaystyle f^{-1}(x)} tähistab funktsiooni f pöördfunktsiooni, kuid x - 1 = 1 x {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}} tähistab arvu x pöördväärtust.

Elementaarfunktsioonid

Olgu f(x):ℝ→ℝ reaalväärtusega funktsioon y=f(x) reaalväärtusega argumendiga x. (See tähendab, et nii sisend kui ka väljund on arvud.)

• Graafiline tähendus: Funktsioon f on bijektsioon, kui iga horisontaaljoon lõikab funktsiooni f graafikut täpselt ühes punktis.
• Algebraline tähendus: Funktsioon f on bijektsioon, kui iga reaalarvu y_o kohta leiame vähemalt ühe reaalarvu x_o , nii et y_o =f(x_o ) ja kui f(x_o )=f(x₁ ) tähendab x_o =x₁ .

Näide: Lineaarne funktsioon kaldjoonest on biheegeldus. See tähendab, et y=ax+b, kus a≠0 on bijektsioon.

Arutelu: Iga horisontaaljoon lõikub kaldjoonega täpselt ühes punktis (vt surjektsioon ja süstimine tõendamiseks). Joonis 1.

Näide: Kolmanda astme polünoomfunktsioon: f(x)=x³ on bihektioon. Pilt 2 ja pilt 5 õhuke kollane kõver. Selle pöördfunktsioon on kuupjuure funktsioon f(x)= ∛x ja see on samuti bijektsioon f(x):ℝ→ℝ. Pilt 5: paks roheline kõver.

Näide: Kvadraatiline funktsioon f(x) = x² ei ole bijektsioon (alates ℝ→ℝ). Joonis 3. See ei ole surjektsioon. See ei ole injektsioon. Kuid me võime piirata nii selle domeeni kui ka kaasdomeeni mittenegatiivsete arvude hulgaga (0,+∞), et saada (inverteeritav) bijektsioon (vt näiteid allpool).

• domeen
• funktsioonimasin
• kaasvaldkond

Näide: Oletame, et meie funktsioonimasin on f(x)=x².

• See masin ja domeen=ℝ ja kaasdomeen=ℝ ei ole surjection ja ei ole injektsioon. Siiski,
• see sama masin ning domeen=[0,+∞) ja kaasdomeen=[0,+∞) on nii surjektsioon kui ka injektsioon ja seega bihektioon.

Bijektsioonid ja nende inversioonid

Olgu f(x):A→B, kus A ja B on ℝ alamhulgad.

• Oletame, et f ei ole bijektsioon. Iga x jaoks, kus f-i tuletis on olemas ja ei ole null, on olemas x-i ümbrus, kus me saame piirata f-i domeeni ja kaasdomeeni poolituseks.
• Pöördfunktsioonide graafikud on sümmeetrilised joone y=x suhtes. (Vt ka pöördfunktsioon.)

Näide: Kvadraatiline funktsioon, mis on defineeritud piiratud alal ja kaasalal [0,+∞].

f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):[0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )} defineeritud f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}}

on bijektsioon. Joonis 6: õhuke kollane kõver.

Näide: Ruutjuure funktsioon, mis on defineeritud piiratud domeenil ja kaasvaldkonnas [0,+∞].

f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):[0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )} defineeritud f ( x ) = x {\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}

on bijektsioon, mis on defineeritud kvadraatilise funktsiooni pöördfunktsioonina: x² . Pilt 6: paks roheline kõver.

f ( x ) : R → ( 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):\mathbf {R} \,\,\,\rightarrow \,\,(0,+\infty )} defineeritud f ( x ) = a x , a > 1 {\displaystyle f(x)=a^{x}\,,\,\,\,a>1}

on bijektsioon. Joonis 4: õhuke kollane kõver (a=10).

Näide: Logaritmifunktsiooni baas a, mis on defineeritud piiratud alal (0,+∞) ja kaasalal ℝ.

f ( x ) : ( 0 , + ∞ ) → R {\displaystyle f(x):(0,+\infty )\,\,\,\rightarrow \,\,\,\,\mathbf {R} } defineeritud f ( x ) = log a x , a > 1 {\displaystyle f(x)=\log _{a}x\,,\,\,\,a>1}

on bijektsioon, mis on defineeritud eksponentsiaalfunktsiooni pöördfunktsioonina: a^x . Pilt 4: paks roheline kõver (a=10).

• Funktsioon (matemaatika)
• Surjektiivne funktsioon
• Injektiivne funktsioon
• Inversne funktsioon