AlegsaOnline.com

Injektiivne funktsioon (1-1) — määratlus, omadused ja näited

Injektiivne funktsioon (1-1) — selge määratlus, omadused ja praktilised näited samm-sammult, et mõista ja rakendada kontseptsiooni kiiresti.

Autor: Leandro Alegsa

30-08-2025

Matemaatikas on injektiivne funktsioon f : A → B, millel on järgmine omadus: iga elemendi b kaasvaldkonnas B korral on kõigest üks element a domeenis A, millel f(a) = b. Teisisõnu ei lange kaks erinevat sisendit sama väljundisse.

Termin injektsioon ja sellega seotud mõisted surjektsioon ja biheksion võttis kasutusele Nicholas Bourbaki. Ta ja rühm teisi matemaatikuid avaldasid 1930. aastatel hulga raamatuid kaasaegse kõrgema matemaatika kohta.

Määratlus(formaalselt)

Võib anda mitu ekvivalenti vormi:

Kvantoritega: f on injektiivne, kui ∀a1, a2 ∈ A: f(a1) = f(a2) ⇒ a1 = a2.
Koguste vaatenurgast: iga b ∈ B-l on hulk {a ∈ A | f(a) = b} suurusega kas 0 või 1 (st mitte rohkem kui üks element).
Erinevate väärtuste eristamine: kui a1 ≠ a2, siis f(a1) ≠ f(a2).

Põhiomadused

Vasak-inversi olemasolu: f on injektiivne täpselt siis, kui eksisteerib funktsioon g: f(A) → A, mille korral g ∘ f = id_A. Teisisõnu saab f tagasi pöörata oma pildil (imago) ehk f|_{A}: A → f(A) on pööratav.
Kompositsioon: kui f: A→B ja g: B→C on injectiivsed, siis g ∘ f on injectiivne. Kui g ∘ f on injectiivne, siis f peab olema injectiivne (aga g ei pruugi olla).
Piirang (restriction): kui f on injectiivne, siis iga tema piirang mingi alamdomeenile on samuti injectiivne.
Kardinaalsus mõjust: kui eksisteerib injectiivne funktsioon f: A → B ja A on lõplik, siis |A| ≤ |B|. Sarnased kaalutlused kehtivad ka lõpmatute hulkade puhul (nt Cantori teoreemid ja CSB-teoreemid käsitlevad seda sügavamalt).
Horizontaalse joone test (reaalfunktsioonide puhul): funktsioon f: ℝ → ℝ on injectiivne siis ja ainult siis, kui mis tahes horisontaalne sirge lõikab graafikut kõige ühe korra.

Kuidas kontrollida, et funktsioon on injektiivne

Võttes kaks üldist argumenti a1 ja a2 ja tuues võrdluse f(a1)=f(a2). Kui sellest võrdusest järeldub alati a1=a2, on funktsioon injectiivne (tavaline otsene algebrailine viis).
Kui leidub konkreetne paar erinevaid a1 ≠ a2 sellised, et f(a1)=f(a2), siis funktsioon ei ole injectiivne (kontraeksampleiga tõestamine).
Monotoonsus: kasvav või kahanev (üheselt määratletud) reaalarvuline funktsioon on injectiivne.

Näited

Lineaarne: f(x) = 2x + 1 (f: ℝ → ℝ) on injectiivne, sest kui 2a + 1 = 2b + 1, siis kohe a = b.
Ruutfunktsioon: f(x) = x² (f: ℝ → ℝ) ei ole injectiivne, sest f(1) = f(−1) = 1. Kuid kui domääni piirata näiteks [0, ∞), siis f on seal injectiivne.
Eksponent: f(x) = e^x on injectiivne (ja ka surjektiivne kujutatud sihtkujuga (0, ∞) peale), sest e^x = e^y ⇒ x = y.
Trigonomeetrilised funktsioonid: sin(x) ei ole injectiivne üle ℝ, sest sin(x) = sin(x + 2πk) jaoks kõigi täisarvude k.
Diskreetsed näited: funktsioon f: {1,2,3} → {a,b,c,d} määratlusega f(1)=a, f(2)=b, f(3)=c on injectiivne (iga elementil on erinev kuva).

Tähtis märkus terminoloogia kohta

Injektiivset funktsiooni kutsutakse sageli lühidalt 1-1 funktsiooniks. Kuid väljend 1-1 vastavus või one-to-one correspondence inglise keeles tähendab sageli bijektsiooni (nii 1-1 ehk injectiivne kui ka onto ehk surjektiivne). See võib tekitada segadust, nii et olge tähelepanelik konteksti lugemisel.

Lühike kokkuvõte

Injektiivne funktsioon eristab alati erinevaid sisendeid erinevate väljunditega. See omadus lubab moodustada vasakinversi oma kuvahulgale ja on oluline kontseptsioon hulgaõpetuses, algebraarvutustes ning analüüsis. Kontrollida saab kas algebrailiselt (f(a1)=f(a2) ⇒ a1=a2) või leida konkreetne kontraeksampel (kaks erinevat sisendit samaks kuvaks).

Põhilised omadused

Ametlikult:

f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} $f:A\rightarrow B$ on injektiivne funktsioon, kui ∀ a 1 , a 2 , ∈ A , a 1 ≠ a 2 ⇒ f ( a 1 ) ≠ f ( a 2 ) {\displaystyle \forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,\,a_{1}\neq a_{2}\,\,\,\Rightarrow \,\,\,f(a_{1})\neq f(a_{2})} $\forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,a_{1}\neq a_{2}\,\,\Rightarrow \,\,f(a_{1})\neq f(a_{2})$ või samaväärselt

f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} $f:A\rightarrow B$ on injektiivne funktsioon, kui ∀ a 1 , a 2 , ∈ A , f ( a 1 ) = f ( a 2 ) ⇒ a 1 = a 2 {\displaystyle \forall a_{1},\,a_{2},\ in A,\,\,\,\,\,\,f(a_{1})=f(a_{2})\,\,\,\Rightarrow \,\,a_{1}=a_{2}}} $\forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,f(a_{1})=f(a_{2})\,\,\Rightarrow \,\,a_{1}=a_{2}$

Elementi a {\displaystyle a} nimetatakse elemendi b {\displaystyle b} $b$ eelkujutiseks, kui f ( a ) = b {\displaystyle f(a)=b} $f(a)=b$ . Injektsioonidel on iga B elemendi b kohta üks või mitte ükski eelkujutis.

Cardinality

Kardinaalsus on hulga elementide arv. A={X,Y,Z,W} kardinaalsus on 4. Kirjutame #A=4.

Kui kaasvaldkonna kardinaalsus on väiksem kui domeeni kardinaalsus, siis ei saa funktsioon olla injektsioon. (Näiteks ei ole võimalik 6 elementi ilma dubleerimiseta 5 elemendile kaardistada).

Näited

Elementaarfunktsioonid

Olgu f(x):ℝ→ℝ reaalväärtusega funktsioon y=f(x) reaalväärtusega argumendiga x. (See tähendab, et nii sisend kui ka väljund on reaalarvud.)

Graafiline tähendus: Funktsioon f on süstemaatiline, kui iga horisontaalne joon lõikab funktsiooni f graafikut kõige rohkem ühes punktis.
Algebraline tähendus: Funktsioon f on injektsioon, kui f(x_o )=f(x₁ ) tähendab x_o =x .₁

Näide: Lineaarne funktsioon on 1-1. See tähendab, et y=ax+b, kus a≠0 on süstik. (See on ka surjektsioon ja seega bihektioon).

Tõendid: Olgu x_o ja x₁ reaalarvud. Oletame, et sirgete abil on need kaks x-väärtust vastavuses sama y-väärtusega. See tähendab, et a-x_o +b=a-x₁ +b. Lahutada mõlemast küljest b. Saame a-x_o =a-x₁ . Nüüd jagame mõlemad pooled a-ga (mäletame a≠0). Saame x_o =x₁ . Seega oleme tõestanud formaalset definitsiooni ja funktsiooni y=ax+b, kus a≠0 on süsti.

Näide: Kolmanda astme polünoomfunktsioon: f(x)=x³ on süstik. Kolmanda astme polünoomfunktsioon: f(x)=x³ -3x ei ole aga süstik.

Arutelu 1: Iga horisontaalne joon lõikab graafiku

f(x)=x³ täpselt üks kord. (Samuti on see surjektsioon.)

Arutelu 2. Iga horisontaalne joon y=-2 ja y=2 vahel lõikab graafikut kolmes punktis, nii et see funktsioon ei ole süstemaatiline. (Küll aga on see surjektsioon.)

Näide: Kvadraatiline funktsioon f(x) = x² ei ole süsti.

Arutelu: Iga horisontaalne joon y=c, kus c>0, lõikab graafikut kahes punktis. Seega ei ole see funktsioon süstik. (Samuti ei ole see surjektsioon.)

Märkus: Mitteinjektiivse funktsiooni saab muuta injektiivseks funktsiooniks, kõrvaldades osa domeenist. Nimetame seda domeeni piiramiseks. Näiteks piirame funktsiooni f(x)=x² domeeni mittenegatiivsete arvudega (positiivsed arvud ja null). Määratleme .

f / [ 0 , + ∞ ) ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → R {\displaystyle f_/[0,+\infty )}(x):[0,+\infty )\rightarrow \mathbf {R} } $f_{/[0,+\infty )}(x):[0,+\infty )\rightarrow \mathbf {R}$ kus f / [ 0 , + ∞ ) ( x ) = x 2 {\displaystyle f_{/[0,+\infty )}(x)=x^{2}} $f_{/[0,+\infty )}(x)=x^{2}$

See funktsioon on nüüd süstimine. (Vt ka funktsiooni piiramine.)

Näide: Eksponentsiaalfunktsioon f(x) = 10^x on süsti. (See ei ole aga surjektsioon.)

Arutelu: Iga horisontaaljoon lõikab graafikut kõige rohkem ühes punktis. Horisontaalsed jooned y=c, kus c>0, lõikavad seda täpselt ühes punktis. Horisontaalsed jooned y=c, kus c≤0, ei lõika graafikut üheski punktis.

Märkus: Asjaolu, et eksponentsiaalfunktsioon on injektiivne, saab kasutada arvutustes.

a x 0 = a x 1 ⇒ x 0 = x 1 , a > 0 {\displaystyle a^{x_{0}}=a^{x_{1}}\,\,\Rightarrow \,\,x_{0}=x_{1},\,a>0} $a^{x_{0}}=a^{x_{1}}\,\,\Rightarrow \,\,x_{0}=x_{1},\,a>0$

Näide: 100 = 10 x - 3 ⇒ 2 = x - 3 ⇒ x = 5 {\displaystyle 100=10^{x-3}\,\,\,\Rightarrow \,\,2=x-3\,\,\,\,\Rightarrow \,\,x=5} $100=10^{x-3}\,\,\Rightarrow \,\,2=x-3\,\,\Rightarrow \,\,x=5$

Sisselõige: ükski horisontaaljoon ei ristu rohkem kui ühes graafiku punktis.

Injektsioon. f(x):ℝ→ℝ (ja surjektsioon)

Ei ole injektsioon. f(x):ℝ→ℝ (on surjektsioon).

Ei ole injektsioon. f(x):ℝ→ℝ (ei ole surjektsioon).

Injektsioon. f(x):ℝ→ℝ (mitte surjektsioon)

Injektsioon. f(x):(0,+∞)→ℝ (ja surjektsioon)

Muud näited

Näide: Logaritmiline funktsioon baas 10 f(x):(0,+∞)→ℝ, mis on defineeritud järgmiselt: f(x)=log(x) või y=log₁₀ (x), on injektsioon (ja surjektsioon). (See on pöördfunktsioon 10^x .)

Näide: Funktsioon f:ℕ→ℕ, mis kujutab iga naturaalarvu n 2n-ks, on injektsioon. Igal paarilisel arvul on täpselt üks eelpilt. Igal paaritu arvul ei ole eelkujutist.

Seotud leheküljed

Küsimused ja vastused

K: Mis on injektiivne funktsioon matemaatikas?

V: Injektiivne funktsioon on funktsioon f: A → B, millel on omadus, et domeeni erinevad elemendid viitavad domeeni erinevatele elementidele.

K: Milline on suhe injektiivse funktsiooni domeeni ja kaasdomeeni elementide vahel?

V: Iga elemendi b kohta kaasvaldkonnas B on maksimaalselt üks element a domeenis A selline, et f(a)=b.

K: Kes võttis kasutusele terminid injektsioon, surjektsioon ja biheksion?

V: Nicholas Bourbaki ja rühm teisi matemaatikuid võtsid kasutusele terminid süstimine, sürjektsioon ja biheksion.

K: Mida tähendab injektiivne funktsioon?

V: Injektiivne funktsioon tähendab, et iga element domeenis A vastab ühele ja samale elemendile kaasdomeenis B. See tähendab, et iga element domeenis A vastab ühele ja samale elemendile kaasdomeenis B.

K: Kuidas erineb injektiivne funktsioon 1-1 vastavusest?

V: Injektiivset funktsiooni nimetatakse sageli 1-1 (üks-ühele) funktsiooniks, kuid seda eristatakse 1-1 vastavusest, mis on bijektiivne funktsioon (nii injektiivne kui ka surjektiivne).

K: Mis on injektiivse funktsiooni omadus?

V: Injektiivse funktsiooni omadus on see, et domeeni erinevad elemendid viitavad domeeni erinevatele elementidele.

K: Milline on injektiivsete funktsioonide tähendus matemaatikas?

V: Injektiivsed funktsioonid mängivad olulist rolli paljudes matemaatikavaldkondades, sealhulgas topoloogias, analüüsis ja algebras, kuna nende omaduse kohaselt on domeeni erinevad elemendid vastavuses kooddomaani erinevate elementidega.