Surjektiivne funktsioon

Matemaatikas on sürjektiivne või onto funktsioon funktsioon f : A → B, millel on järgmine omadus. Iga elemendi b kohta kaasvaldkonnas B on vähemalt üks element a domeenis A, mille puhul f(a)=b. See tähendab, et f-i vahemik ja kaasvaldkond on sama hulk.

Termini surjektsioon ja sellega seotud terminid süstimine ja biektsioon võttis kasutusele matemaatikute rühm, mis nimetas end Nicholas Bourbakiks. See matemaatikute rühm avaldas 1930. aastatel hulga raamatuid kaasaegse kõrgema matemaatika kohta. Prantsuse keele eesliide sur tähendab üle või peale ja see valiti seetõttu, et sürjektiivne funktsioon kaardistab oma ala oma kaasvaldkonnale.

Põhilised omadused

Ametlikult:

f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} on $f:A\rightarrow B$ surjektiivne funktsioon, kui ∀ b ∈ B ∃ a ∈ A {\displaystyle \forall b\in B\,\,\,\eksisteerib a\in A} nii $\forall b\in B\,\,\exists a\in A$ , et f ( a ) = b . {\displaystyle f(a)=b\,. } $f(a)=b\,.$

Elementi b {\displaystyle b} $b$ nimetatakse elemendi a {\displaystyle a} kujutiseks.

Formaalne määratlus tähendab: Iga kaasvaldkonna B element on vähemalt ühe domeeni A elemendi kujutis.

Elementi a {\displaystyle a} nimetatakse elemendi b {\displaystyle b} $b$ eelkujutiseks.

Formaalne määratlus tähendab: Igal kaasvaldkonna B elemendil on vähemalt üks eelpilt valdkonnast A.

Esipilt ei pea olema ainulaadne. Ülemisel pildil on nii {X} kui ka {Y} elemendi {1} eelkujutised. Oluline on ainult see, et oleks vähemalt üks eelkujutis. (Vt ka: Injektiivne funktsioon, Bijektiivne funktsioon)

Näited

Elementaarfunktsioonid

Olgu f(x):ℝ→ℝ reaalväärtusega funktsioon y=f(x) reaalväärtusega argumendiga x. (See tähendab, et nii sisend kui ka väljund on arvud.)

Graafiline tähendus: Funktsioon f on surjektsioon, kui iga horisontaalne sirge lõikab funktsiooni f graafikut vähemalt ühes punktis.
Analüütiline tähendus: Funktsioon f on surjektsioon, kui iga reaalarvu y_o jaoks leiame vähemalt ühe reaalarvu x_o, mille korral y=f_o(x_o).

Eelkujutise x_o leidmine antud y_o jaoks on samaväärne mõlema küsimuse puhul:

Kas võrrandil f(x)-y=0_o on lahendus? või
Kas funktsioonil f(x)-y_o on juur?

Matemaatikas saame leida täpseid (analüütilisi) juuri ainult esimese, teise (ja kolmanda) astme polünoomidest. Kõigi teiste funktsioonide juured leiame ligikaudselt (arvuliselt). See tähendab, et surjektiivsuse formaalne tõestamine on harva otsene. Seega on allpool esitatud arutelud mitteametlikud.

Näide: Lineaarfunktsioon kaldjoonel on peale. See tähendab, et y=ax+b, kus a≠0 on surjektsioon. (See on ka injektsioon ja seega bijektsioon).

Tõendid: Kuna a≠0, saame x= (y-b_oo)/_a. See tähendab, et x=_o(y-b_o)/_a on y_o eelkujutis. See tõestab, et funktsioon y=ax+b, kus a≠0 on surjektsioon. (Kuna on täpselt üks eelkujutis, siis on ka see funktsioon injektsioon).

Praktiline näide: y= -2x+4. Milline on y=2 eelkujutis? Lahendus: Siin a= -2, st a≠0 ja küsimus on: Millise x jaoks on y=2? Asendame funktsiooni y=2. Saame x=1, st y(1)=2. Seega on vastus: x=1 on y=2 eelkujutis.

Näide: Kuubiline polünoom (kolmanda astme) f(x)=x-3x³ on surjektsioon.

Arutelu: Kubilise võrrandi x-3x-y=0³_o koefitsiendid on reaalarvulised (a=1₃, a=0₂, a=-3₁, a=-y_0o). Igal sellisel kuupmeetri võrrandil on vähemalt üks reaaljuur. Kuna polünoomi domeen on ℝ, siis tähendab see, et domeenis on vähemalt üks eellõige x_o. See tähendab, et (x₀)³-3x-y=0_0o. Seega on funktsioon surjektsioon. (See funktsioon ei ole aga injektsioon. Näiteks y=2-l_o on 2 eelkujutist: x=-1 ja x=2. Tegelikult on igal y, -2≤y≤2 vähemalt 2 eelkujutist).

Näide: Kvadraatiline funktsioon f(x) = x² ei ole surjektsioon. Ei ole olemas sellist x, et x ²= -1. x² vahemik on [0,+∞) , s.t. mittenegatiivsete arvude hulk. (Samuti ei ole see funktsioon injektsioon.)

Märkus: mittesurjektiivse funktsiooni saab muuta surjektsiooniks, piirates selle kaasvaldkonda selle vahemiku elementidega. Näiteks uus funktsioon f_N(x):ℝ → [0,+∞), kus f_N(x) = x², on surjektiivne funktsioon. (See ei ole sama, mis funktsiooni restriktsioon, mis piirab domeeni!)

Näide: Eksponentsiaalfunktsioon f(x) = 10^x ei ole surjektsioon. Vahemik on 10^x(0,+∞), st positiivsete arvude hulk. (See funktsioon on injektsioon.)

Surjektsioon. f(x):ℝ→ℝ (ja süstimine)

Surjektsioon. f(x):ℝ→ℝ (ei ole injektsioon).

Ei ole surjektsioon. f(x):ℝ→ℝ (ega süstimine).

Ei ole surjektsioon. f(x):ℝ→ℝ (kuid on süstik).

Surjektsioon. f(x):(0,+∞)→ℝ (ja süstimine)

Surjektsioon. z:ℝ²→ℝ, z=y. (Pildil on näha, et z=2 eelkujutis on sirge y=2.)

Muud näited reaalväärtusega funktsioonide kohta

Näide: Logaritmiline funktsioon baas 10 f(x):(0,+∞)→ℝ, mis on defineeritud f(x)=log(x) või y=log₁₀(x), on surjektsioon (ja injektsioon). (See on pöördfunktsioon 10^x.)

Kartesuse korrutise A × B projektsioon ühele selle tegurile on surjektsioon.

Näide: Funktsioon f((x,y)):ℝ²→ℝ, mis on defineeritud z=y, on surjektsioon. Selle graafik on tasand 3-mõõtmelises ruumis. Joonise z_o eelkujutis on sirge y=z_o xy-tasapinnal. 0

3D-mängudes projitseeritakse 3-mõõtmeline ruum 2-mõõtmelisele ekraanile surjektioniga.

Seotud leheküljed

Küsimused ja vastused

K: Mis on matemaatikas surjektiivne funktsioon?

V: Surjektiivne funktsioon matemaatikas on funktsioon f: A → B, millel on omadus, et iga elemendi b kohta kaasvaldkonnas B on vähemalt üks element a domeenis A selline, et f(a)=b.

Küsimus: Mis on sürjektiivse funktsiooni tähendus matemaatikas?

V: Surjektiivne funktsioon tagab, et ükski element koodomaasis ei ole kaardistamata ja et f-i vahemik ja koodomaas on sama hulk.

K: Milline on mõiste surjektsioon päritolu?

V: Termi surjektsioon võttis kasutusele matemaatikute rühm nimega Nicholas Bourbaki.

K: Mis on prantsuse keele eesliite sur tähendus sõnas surjective?

V: Prantsuse eesliide sur tähendab üle või peale.

K: Miks valiti sellise funktsiooni jaoks mõiste surjektiivne?

V: Termin surjektiivne valiti sellise funktsiooni jaoks seetõttu, et surjektiivne funktsioon kaardistab oma domeeni oma kaasdomeenile.

K: Kes avaldas 1930. aastatel sarja raamatuid kaasaegse arenenud matemaatika kohta?

V: Matemaatikute rühm nimega Nicholas Bourbaki avaldas 1930. aastatel sarja raamatuid kaasaegse arenenud matemaatika kohta.

K: Mis on matemaatikas injektsioon ja bijektsioon?

V: Injektsioon ja bijektsioon on matemaatikas surjektsiooniga seotud mõisted. Injektsioonifunktsioon tagab, et ükski kahest domeeni elemendist ei moodusta sama elementi kaasvaldkonnas. Bihektsioonifunktsioon on nii sürjektiivne kui ka injektiivne.