Surjektiivne funktsioon — määratlus, omadused ja näited
Õpi, mis on surjektiivne (onto) funktsioon: selge määratlus, põhiolemus, omadused ja praktilised näited samm-sammult — ideaalne õpilasele ja kordamiseks.
Matemaatikas on sürjektiivne ehk onto funktsioon f : A → B selline funktsioon, millel on järgmine omadus. Iga elemendi b kohta kaasvaldkonnas B leidub vähemalt üks element a domeenis A, mille puhul f(a) = b. Teisisõnu on f-i vahemik (range) ja kaasvaldkond B sama hulk: f(A) = B.
Määratlus ja tähendus
Surjektsioon tähendab, et funktsioon kaardistab oma domeeni kogu määratud kaasvaldkonnale — ühelegi elemendile b ei jää määramata eelsõltuvatelt elementidelt. Terminid surjektsioon, samuti sellega seotud süstimine (injektsioon) ja biektsioon (bijektsioon) võttis kasutusele matemaatikute rühm, mis nimetas end Nicholas Bourbakiks. Prantsuse keele eesliide sur tähendab „üle“ või „peale“ ja valiti seetõttu, et sürjektiivne funktsioon kaardistab oma ala oma kaasvaldkonnale.
Olulised omadused
- Vahemiku võrdsus kaasvaldkonnaga: f on sürjektiivne ⇔ f(A) = B.
- Kompositsioon: kui f: A → B ja g: B → C on mõlemad sürjektiivsed, siis g ∘ f on sürjektiivne. Vastupidi, kui g ∘ f on sürjektiivne, siis g on kindlasti sürjektiivne (f ei pruugi olla).
- Parem-inversi olemasolu: kui f on sürjektiivne, siis eksisteerib funktsioon g: B → A nii, et f ∘ g = id_B (see tähendab, et g on f-i parem-invers). Märkus: üldises (eriti mitteloendatavate) kontekstis selle pareminversi valimiseks võib osutuda vajalikuks valiku aksioom (axiom of choice).
- Võrdlused: surjektsioon erineb süstimisest (kus iga sihthulga elementil on vähemasti üks, täpsemalt üks maksimaalselt üks eelpilt) ja biektsioonist (kui funktsioon on samaaegselt süstine ja sürjektiivne — ehk igal sihthulga elemendil on täpselt üks eelpilt).
- Lõplike hulkade korral: kui A ja B on lõplikud hulgad ja |A| = |B|, siis f on süstine ⇔ f on sürjektiivne ⇔ f on biektsioon.
Kuidas kontrollida, kas funktsioon on sürjektiivne
- Definitioneelne meetod: näita, et iga b ∈ B-le leidub a ∈ A sedasi, et f(a) = b.
- Algebraline lahendusnäide: lahenda võrrand f(x) = y suvalise y ∈ B suhtes ja näita, et lahendus olemas igale y.
- Graafiline tõlgendus (reaalarvufunktsioonide puhul): kui iga horisontaaljoon y = c, kus c on kaasvaldkonnast, lõikab graafiku vähemalt kord, siis f on sürjektiivne selle kaasvaldkonna suhtes. (Kui horisontaaljoon ei lõika graafikut, vastav y ei kuulu vahemikku.)
Näited
- Polnud surjektiivne: f: ℝ → ℝ, f(x) = e^x ei ole sürjektiivne kogu ℝ peale, sest e^x > 0 kõigil x, seega vahemik on (0, ∞) ≠ ℝ. Kuid f on sürjektiivne, kui kaasvaldkonnaks võtta (0, ∞).
- Surjektiivne: f: ℝ → ℝ, f(x) = x^3 on sürjektiivne sellepärast, et igale y ∈ ℝ leidub x = ∛y nii et (∛y)^3 = y.
- Lõplik hulk: f: {1,2,3} → {a,b} ei saa olla süstine (kuna domeen suurem kui siht), kuid võib olla sürjektiivne — näiteks f(1)=a, f(2)=a, f(3)=b on sürjektiivne, sest nii a kui b omavad eelpilte.
- Konstantfunktsioon: konstantne f(x) = c ei ole sürjektiivne, kui kaasvaldkond sisaldab mõnd muud elementi kui c; ta on sürjektiivne ainult juhul, kui kaasvaldkond = {c}.
Lisamärkused
- Kui f on sürjektiivne, siis iga b ∈ B-l on vähemalt üks eelkuuluv a ∈ A. See erineb süstimisest, kus eelpilt on ainus võimalus.
- Surjektsioonide ja süstetiste kombinatsioonid annavad biektsioone, mis omavad kahesuunalist inverssi: kui f on biektsioon, siis eksisteerib unikaalne f^(-1): B → A nii, et f^(-1) ∘ f = id_A ja f ∘ f^(-1) = id_B.
- Formaalne märk: sageli kirjutatakse surjektiivset funktsiooni kaotsemise märke nagu f : A ↠ B, et eristada seda süstimisest f : A ↣ B.
Üldiselt on sürjektiivsusel tähtis roll matemaatikas ja rakendustes, sest see tagab, et määratud mudelis või teisenduses saab kõik sihthulga elemendid „saavutada“ mingist lähtepunktist. See omadus on sageli oluline, kui soovitakse kindlustada, et iga soovitud väljund on mingil kujul saavutatav.
Põhilised omadused
Ametlikult:
f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} on
surjektiivne funktsioon, kui ∀ b ∈ B ∃ a ∈ A {\displaystyle \forall b\in B\,\,\,\eksisteerib a\in A} nii
, et f ( a ) = b . {\displaystyle f(a)=b\,. } 
Elementi b {\displaystyle b}
nimetatakse elemendi a {\displaystyle a}
kujutiseks.
- Formaalne määratlus tähendab: Iga kaasvaldkonna B element on vähemalt ühe domeeni A elemendi kujutis.
Elementi a {\displaystyle a} nimetatakse elemendi b {\displaystyle b} eelkujutiseks.
- Formaalne määratlus tähendab: Igal kaasvaldkonna B elemendil on vähemalt üks eelpilt valdkonnast A.
Esipilt ei pea olema ainulaadne. Ülemisel pildil on nii {X} kui ka {Y} elemendi {1} eelkujutised. Oluline on ainult see, et oleks vähemalt üks eelkujutis. (Vt ka: Injektiivne funktsioon, Bijektiivne funktsioon)
Näited
Elementaarfunktsioonid
Olgu f(x):ℝ→ℝ reaalväärtusega funktsioon y=f(x) reaalväärtusega argumendiga x. (See tähendab, et nii sisend kui ka väljund on arvud.)
- Graafiline tähendus: Funktsioon f on surjektsioon, kui iga horisontaalne sirge lõikab funktsiooni f graafikut vähemalt ühes punktis.
- Analüütiline tähendus: Funktsioon f on surjektsioon, kui iga reaalarvu yo jaoks leiame vähemalt ühe reaalarvu xo, mille korral y=fo(xo).
Eelkujutise xo leidmine antud yo jaoks on samaväärne mõlema küsimuse puhul:
- Kas võrrandil f(x)-y=0o on lahendus? või
- Kas funktsioonil f(x)-yo on juur?
Matemaatikas saame leida täpseid (analüütilisi) juuri ainult esimese, teise (ja kolmanda) astme polünoomidest. Kõigi teiste funktsioonide juured leiame ligikaudselt (arvuliselt). See tähendab, et surjektiivsuse formaalne tõestamine on harva otsene. Seega on allpool esitatud arutelud mitteametlikud.
Näide: Lineaarfunktsioon kaldjoonel on peale. See tähendab, et y=ax+b, kus a≠0 on surjektsioon. (See on ka injektsioon ja seega bijektsioon).
Tõendid: Kuna a≠0, saame x= (y-boo)/a. See tähendab, et x=o(y-bo)/a on yo eelkujutis. See tõestab, et funktsioon y=ax+b, kus a≠0 on surjektsioon. (Kuna on täpselt üks eelkujutis, siis on ka see funktsioon injektsioon).
Praktiline näide: y= -2x+4. Milline on y=2 eelkujutis? Lahendus: Siin a= -2, st a≠0 ja küsimus on: Millise x jaoks on y=2? Asendame funktsiooni y=2. Saame x=1, st y(1)=2. Seega on vastus: x=1 on y=2 eelkujutis.
Näide: Kuubiline polünoom (kolmanda astme) f(x)=x-3x3 on surjektsioon.
Arutelu: Kubilise võrrandi x-3x-y=03o koefitsiendid on reaalarvulised (a=13, a=02, a=-31, a=-y0o). Igal sellisel kuupmeetri võrrandil on vähemalt üks reaaljuur. Kuna polünoomi domeen on ℝ, siis tähendab see, et domeenis on vähemalt üks eellõige xo. See tähendab, et (x0)3-3x-y=00o. Seega on funktsioon surjektsioon. (See funktsioon ei ole aga injektsioon. Näiteks y=2-lo on 2 eelkujutist: x=-1 ja x=2. Tegelikult on igal y, -2≤y≤2 vähemalt 2 eelkujutist).
Näide: Kvadraatiline funktsioon f(x) = x2 ei ole surjektsioon. Ei ole olemas sellist x, et x 2= -1. x² vahemik on [0,+∞) , s.t. mittenegatiivsete arvude hulk. (Samuti ei ole see funktsioon injektsioon.)
Märkus: mittesurjektiivse funktsiooni saab muuta surjektsiooniks, piirates selle kaasvaldkonda selle vahemiku elementidega. Näiteks uus funktsioon fN(x):ℝ → [0,+∞), kus fN(x) = x2, on surjektiivne funktsioon. (See ei ole sama, mis funktsiooni restriktsioon, mis piirab domeeni!)
Näide: Eksponentsiaalfunktsioon f(x) = 10x ei ole surjektsioon. Vahemik on 10x(0,+∞), st positiivsete arvude hulk. (See funktsioon on injektsioon.)
|
Surjektsioon. f(x):ℝ→ℝ (ja süstimine) |
Surjektsioon. f(x):ℝ→ℝ (ei ole injektsioon). |
Ei ole surjektsioon. f(x):ℝ→ℝ (ega süstimine). |
|
Ei ole surjektsioon. f(x):ℝ→ℝ (kuid on süstik). |
Surjektsioon. f(x):(0,+∞)→ℝ (ja süstimine) |
Surjektsioon. z:ℝ²→ℝ, z=y. (Pildil on näha, et z=2 eelkujutis on sirge y=2.) |
Muud näited reaalväärtusega funktsioonide kohta
Näide: Logaritmiline funktsioon baas 10 f(x):(0,+∞)→ℝ, mis on defineeritud f(x)=log(x) või y=log10(x), on surjektsioon (ja injektsioon). (See on pöördfunktsioon 10x.)
- Kartesuse korrutise A × B projektsioon ühele selle tegurile on surjektsioon.
Näide: Funktsioon f((x,y)):ℝ²→ℝ, mis on defineeritud z=y, on surjektsioon. Selle graafik on tasand 3-mõõtmelises ruumis. Joonise zo eelkujutis on sirge y=zo xy-tasapinnal. 0
- 3D-mängudes projitseeritakse 3-mõõtmeline ruum 2-mõõtmelisele ekraanile surjektioniga.
Seotud leheküljed
Küsimused ja vastused
K: Mis on matemaatikas surjektiivne funktsioon?
V: Surjektiivne funktsioon matemaatikas on funktsioon f: A → B, millel on omadus, et iga elemendi b kohta kaasvaldkonnas B on vähemalt üks element a domeenis A selline, et f(a)=b.
Küsimus: Mis on sürjektiivse funktsiooni tähendus matemaatikas?
V: Surjektiivne funktsioon tagab, et ükski element koodomaasis ei ole kaardistamata ja et f-i vahemik ja koodomaas on sama hulk.
K: Milline on mõiste surjektsioon päritolu?
V: Termi surjektsioon võttis kasutusele matemaatikute rühm nimega Nicholas Bourbaki.
K: Mis on prantsuse keele eesliite sur tähendus sõnas surjective?
V: Prantsuse eesliide sur tähendab üle või peale.
K: Miks valiti sellise funktsiooni jaoks mõiste surjektiivne?
V: Termin surjektiivne valiti sellise funktsiooni jaoks seetõttu, et surjektiivne funktsioon kaardistab oma domeeni oma kaasdomeenile.
K: Kes avaldas 1930. aastatel sarja raamatuid kaasaegse arenenud matemaatika kohta?
V: Matemaatikute rühm nimega Nicholas Bourbaki avaldas 1930. aastatel sarja raamatuid kaasaegse arenenud matemaatika kohta.
K: Mis on matemaatikas injektsioon ja bijektsioon?
V: Injektsioon ja bijektsioon on matemaatikas surjektsiooniga seotud mõisted. Injektsioonifunktsioon tagab, et ükski kahest domeeni elemendist ei moodusta sama elementi kaasvaldkonnas. Bihektsioonifunktsioon on nii sürjektiivne kui ka injektiivne.
Otsige