Matemaatikas on sürjektiivne ehk onto funktsioon f : A → B selline funktsioon, millel on järgmine omadus. Iga elemendi b kohta kaasvaldkonnas B leidub vähemalt üks element a domeenis A, mille puhul f(a) = b. Teisisõnu on f-i vahemik (range) ja kaasvaldkond B sama hulk: f(A) = B.

Määratlus ja tähendus

Surjektsioon tähendab, et funktsioon kaardistab oma domeeni kogu määratud kaasvaldkonnale — ühelegi elemendile b ei jää määramata eelsõltuvatelt elementidelt. Terminid surjektsioon, samuti sellega seotud süstimine (injektsioon) ja biektsioon (bijektsioon) võttis kasutusele matemaatikute rühm, mis nimetas end Nicholas Bourbakiks. Prantsuse keele eesliide sur tähendab „üle“ või „peale“ ja valiti seetõttu, et sürjektiivne funktsioon kaardistab oma ala oma kaasvaldkonnale.

Olulised omadused

  • Vahemiku võrdsus kaasvaldkonnaga: f on sürjektiivne ⇔ f(A) = B.
  • Kompositsioon: kui f: A → B ja g: B → C on mõlemad sürjektiivsed, siis g ∘ f on sürjektiivne. Vastupidi, kui g ∘ f on sürjektiivne, siis g on kindlasti sürjektiivne (f ei pruugi olla).
  • Parem-inversi olemasolu: kui f on sürjektiivne, siis eksisteerib funktsioon g: B → A nii, et f ∘ g = id_B (see tähendab, et g on f-i parem-invers). Märkus: üldises (eriti mitteloendatavate) kontekstis selle pareminversi valimiseks võib osutuda vajalikuks valiku aksioom (axiom of choice).
  • Võrdlused: surjektsioon erineb süstimisest (kus iga sihthulga elementil on vähemasti üks, täpsemalt üks maksimaalselt üks eelpilt) ja biektsioonist (kui funktsioon on samaaegselt süstine ja sürjektiivne — ehk igal sihthulga elemendil on täpselt üks eelpilt).
  • Lõplike hulkade korral: kui A ja B on lõplikud hulgad ja |A| = |B|, siis f on süstine ⇔ f on sürjektiivne ⇔ f on biektsioon.

Kuidas kontrollida, kas funktsioon on sürjektiivne

  • Definitioneelne meetod: näita, et iga b ∈ B-le leidub a ∈ A sedasi, et f(a) = b.
  • Algebraline lahendusnäide: lahenda võrrand f(x) = y suvalise y ∈ B suhtes ja näita, et lahendus olemas igale y.
  • Graafiline tõlgendus (reaalarvufunktsioonide puhul): kui iga horisontaaljoon y = c, kus c on kaasvaldkonnast, lõikab graafiku vähemalt kord, siis f on sürjektiivne selle kaasvaldkonna suhtes. (Kui horisontaaljoon ei lõika graafikut, vastav y ei kuulu vahemikku.)

Näited

  • Polnud surjektiivne: f: ℝ → ℝ, f(x) = e^x ei ole sürjektiivne kogu ℝ peale, sest e^x > 0 kõigil x, seega vahemik on (0, ∞) ≠ ℝ. Kuid f on sürjektiivne, kui kaasvaldkonnaks võtta (0, ∞).
  • Surjektiivne: f: ℝ → ℝ, f(x) = x^3 on sürjektiivne sellepärast, et igale y ∈ ℝ leidub x = ∛y nii et (∛y)^3 = y.
  • Lõplik hulk: f: {1,2,3} → {a,b} ei saa olla süstine (kuna domeen suurem kui siht), kuid võib olla sürjektiivne — näiteks f(1)=a, f(2)=a, f(3)=b on sürjektiivne, sest nii a kui b omavad eelpilte.
  • Konstantfunktsioon: konstantne f(x) = c ei ole sürjektiivne, kui kaasvaldkond sisaldab mõnd muud elementi kui c; ta on sürjektiivne ainult juhul, kui kaasvaldkond = {c}.

Lisamärkused

  • Kui f on sürjektiivne, siis iga b ∈ B-l on vähemalt üks eelkuuluv a ∈ A. See erineb süstimisest, kus eelpilt on ainus võimalus.
  • Surjektsioonide ja süstetiste kombinatsioonid annavad biektsioone, mis omavad kahesuunalist inverssi: kui f on biektsioon, siis eksisteerib unikaalne f^(-1): B → A nii, et f^(-1) ∘ f = id_A ja f ∘ f^(-1) = id_B.
  • Formaalne märk: sageli kirjutatakse surjektiivset funktsiooni kaotsemise märke nagu f : A ↠ B, et eristada seda süstimisest f : A ↣ B.

Üldiselt on sürjektiivsusel tähtis roll matemaatikas ja rakendustes, sest see tagab, et määratud mudelis või teisenduses saab kõik sihthulga elemendid „saavutada“ mingist lähtepunktist. See omadus on sageli oluline, kui soovitakse kindlustada, et iga soovitud väljund on mingil kujul saavutatav.