Arvude baas (radix): positsioonisüsteemid, näited ja seletus
Avasta arvude baasid (radix): positsioonisüsteemid, selged näited ja lihtne seletus kümnendsüsteemist kuni binaar-, oktaal- ja heksaformaatideni.
Matemaatikas on baas või radix erinevate numbrite või numbrite ja tähtede kombinatsioonide arv, mida mingi loendussüsteem kasutab arvude esitamiseks. Kõige tavalisem on positsioonisüsteem, kus iga numbri (digi) väärtus sõltub selle positsioonist ja baasist: iga positsioon korrutatakse baasastaatuse astmega (nt b^0, b^1, b^2 jne). Näiteks kümnendsüsteemis (baas 10) esindavad numbrid 0–9 erinevaid digitsid ning positsioonide kaalud on 1, 10, 100 jne. Sageli arvatakse, et me kasutame baasi 10 seetõttu, et meil on kümme sõrme.
Baas on tavaliselt täisarv, mis on suurem kui 1, kuigi matemaatiliselt on võimalik käsitleda ka mittetäisarvulisi, negatiivseid või isegi kompleksseid baase. Positsioonisüsteemis peab iga üksik digi olema rangelt väiksem kui baas (st digid on 0, 1, …, b−1). Arvu baasi võib kirjelda kirjutades vastava arvu paremale või alla allindeksina; näiteks 23 8 {\displaystyle 23_{8}}
tähendab arvu "23" baasis 8 ehk oktaalkujul, mis vastab kümnendsüsteemis arvule 2·8 + 3 = 19. Positsioonisüsteemi korral sõltub arv seega iga digit'i väärtuse summast, kus i-nda koha panus on digit · b^i.
Näited ja tavapärased baasid
- Baas 2 (binaar) — kasutatakse arvutite sees, digid 0 ja 1. Näide: 1011₂ = 1·2^3 + 0·2^2 + 1·2^1 + 1·2^0 = 11₁₀.
- Baas 8 (oktaal) — digid 0–7. Näide: 23₈ = 19₁₀ (nagu eespool).
- Baas 10 (kümnend) — igapäevane arvutussüsteem, digid 0–9.
- Baas 16 (heksadecimal) — digid 0–9 ja tähed A–F (või a–f) vastavalt 10–15; sageli kasutatakse programmeerimises (nt värvikoodid, mälu aadressid).
- Baas 20 (vigesimaal) — on kasutatud mõnedes kultuurides ja keeletes (näiteks maiade süsteemides).
- Baas 60 (sexagesimaal) — ajalooliselt tähtis; kasutatakse aja ja nurkade jaotuses (1° = 60' (minutit), 1' = 60'' (sekundit)).
Kuidas teisendada ja esitada murdosad
- Integeri teisendamine baasist b kuni kümnendsüsteemi: liida kokku iga digiti korrutis selle positsiooni kaaluga (näide: 23₈ = 2·8^1 + 3·8^0 = 16 + 3 = 19).
- Kümnendist teise baasi teisendamiseks jagatakse arv järjest baasiga ja järelmid moodustavad uue arvu digitid (jagamisel tekivad järelmid alates madalaimast positsioonist).
- Murdetes (pärast koma / radix-pointi) teisendatakse kümnendmurd teisendades järjest korrutades murdosa baasiga ja võttes täisarvuosa tulemuseks (nt 0.1₂ = 0.5₁₀; 0.01₂ = 0.25₁₀ jne). Paljud murdudest kujutused võivad mingis baasides korduda.
Muud tähelepanekud
- Positsioonisüsteem on väga efektiivne suurte arvude ja aritmeetiliste operatsioonide jaoks võrreldes mitte-positsiooniliste süsteemidega (nt rooma numbrid).
- Mõnikord kasutatakse laiendatud märgistusi, näiteks alusmärgendit allindeksis (23₈) või prefikse kontekstis (0xFF heksadesimaalne märge programmeerimises).
- Kuigi tavalised baasid on positiivsed täisarvud suuremad kui 1, uuritakse matemaatiliselt ka alternatiivseid baase (mittetäisarvulised, negatiivsed, komplekssed või isegi muutuva baasiga süsteemid) — need on erandlikud ja spetsiifiliste rakendustega.
Kokkuvõttes määrab baas, milliseid digit'e ja milliseid positsioonikaalusid kasutatakse; positsioonisüsteem võimaldab ühe ja sama digitijada tõlgendada erinevalt sõltuvalt baasi valikust, seega on oluline alati teada, millises baasises arv on esitatud.
Arvutites
Arvutites kasutatakse sageli erinevaid aluseid. Binaarset (baas 2) kasutatakse seetõttu, et kõige lihtsamal tasemel saavad arvutid käsitleda ainult 0 ja 1. Heksteist (baas 16) kasutatakse sellepärast, et arvutid rühmitavad binaarsed numbrid kokku. Iga neli binaarkohaga numbrit muutub nende vahel vahetades üheks heksakohaga numbriks. Kuna heksadekaalarvudes on rohkem kui 10 numbrit, siis kuus numbrit pärast 9 numbrit näidatakse kui A, B, C, D, E ja F.
Mõõtmine
Vanimad loendussüsteemid kasutasid baasüksust. Märkide tegemine seinale, kasutades iga loetud eseme kohta ühte märki, on näide ühearvulisest loendamisest. Mõned vanad mõõtmissüsteemid kasutavad duodekaalset radiksit (kaheteistkümnenda baasi). Seda näitab inglise keel, sest seal on olemas sellised sõnad nagu tosin (12) ja bruto (144 = 12×12) ning pikkused nagu jalad (12 tolli).
Kirjutusalused
Kui sisestate baasi, siis väike number, mis näitab baasi, on tavaliselt kümnes baasis. See on tingitud sellest, et kui radix oleks kirjutatud oma baasis, oleks see alati "10", nii et ei oleks võimalik teada, millises baasis see peaks olema.
Numbrid erinevates alustes
Siin on mõned näited selle kohta, kuidas mõned arvud kirjutatakse erinevates alustes, võrreldes kümnendkohtadega:
| Kümnendväärtus (baas 10) | Binaarne (baas 2) | Undecimal (baas 11) | Hexadecimal (baas 16) | Senary (baas 6) | Unaarne (baas 1) |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 | 2 | 11 |
| 3 | 11 | 3 | 3 | 3 | 111 |
| 4 | 100 | 4 | 4 | 4 | 1111 |
| 5 | 101 | 5 | 5 | 5 | 11111 |
| 6 | 110 | 6 | 6 | 10 | 111111 |
| 7 | 111 | 7 | 7 | 11 | 1111111 |
| 8 | 1000 | 8 | 8 | 12 | 11111111 |
| 9 | 1001 | 9 | 9 | 13 | 111111111 |
| 10 | 1010 | A | A | 14 | 1111111111 |
| 11 | 1011 | 10 | B | 15 | 11111111111 |
| 12 | 1100 | 11 | C | 20 | 111111111111 |
| 13 | 1101 | 12 | D | 21 | 1111111111111 |
| 14 | 1110 | 13 | E | 22 | 11111111111111 |
| 15 | 1111 | 14 | F | 23 | 111111111111111 |
| 16 | 10000 | 15 | 10 | 24 | 1111111111111111 |
Küsimused ja vastused
K: Mis on matemaatikas baas või radix?
V: Baas või radix on erinevate numbrite või numbrite ja tähtede kombinatsioonide arv, mida arvutussüsteem kasutab arvude esitamiseks.
K: Mis on näide tänapäeval kõige sagedamini kasutatavast baasist?
V: Kõige levinum tänapäeval kasutatav baas on kümnendsüsteem.
K: Miks kasutatakse kõige sagedamini baasi 10?
V: Enamik inimesi arvab, et baasi 10 kasutatakse seetõttu, et meil on 10 sõrme.
K: Kas baas on alati täisarv, mis on suurem kui 1?
V: Jah, baas on tavaliselt täisarv, mis on suurem kui 1.
K: Kas matemaatiliselt on võimalik, et baasid ei ole täisarvulised?
V: Jah, ka mittetäielikud alused on matemaatiliselt võimalikud.
K: Kuidas tähistatakse arvu baasi?
V: Arvude baasi võib kirjutada arvu kõrvale.
K: Mida tähendab näide "23 8"?
V: Näide "23 8" tähendab 23 baasis 8 (mis on võrdne 19-ga baasis 10).
Otsige