Duodekaalsüsteem (baas 12): definitsioon, omadused ja näited
Duodekaalsüsteem (baas 12): selge definitsioon, unikaalsed omadused ja praktilised näited — miks 12 käsitleb murdusid paremini kui kümnendsüsteem.
Duodekaalsüsteem (tuntud ka kui baas 12, tosinaal või harva untsiaal) on kaheteistkümnenda baasil arvusüsteem. Duodekaalsüsteemis väljendatakse arve ühikute kaupa 12‑põhiselt. Näiteks arv viiskümmend (mida me tavaliselt kirjutame 50 kümnendsüsteemis) kirjutatakse duodekaalsüsteemis 42, sest see on võrdne 4 × 12 + 2.
Peamised omadused
- Alus ja sümbolid: baas on 12, seega kasutatakse 12 eri numbrisümbolit: tavalised 0–9 ning kaks lisaühikut tavaliselt tähistatud A (10) ja B (11). Mõnel ajaloolisel või hüpoteetil kujul on kasutatud ka muid sümboleid.
- Jagatavus: 12 on väikseim positiivne täisarv, millel on neli mittetriviaalset tegurit (2, 3, 4, 6). See muudab jagamise paljude väikeste osadega lihtsamaks.
- Murdude käitumine: murdudest lõplikult esinevad need, mille nimetaja faktoreerituna koosneb ainult arvudest 2 ja 3 (näiteks 2, 3, 4, 6, 12). See tähendab, et paljud igapäevased murdud (näiteks 1/2, 1/3, 1/4, 1/6) esinevad duodekaalis lõplikena.
Murdude näited ja võrdlus kümnendsüsteemiga
Tavapärasel kümnendsüsteemil (baas 10) annavad näiteks järgmised jagamised korduvaid (mittelõppevaid) komakohti:
- 1 ÷ 3 = 0,333... (korduv) kümnendsüsteemis, kuid duodekaalsüsteemis 1 ÷ 3 = 0,4 (lõplik), sest 4/12 = 1/3.
- 1 ÷ 6 = 0,1666... kümnendsüsteemis (korduv), aga duodekaalis 1 ÷ 6 = 0,2 (lõplik), sest 2/12 = 1/6.
- 1 ÷ 4 = 0,25 kümnendsüsteemis (lõplik) ja duodekaalis 1 ÷ 4 = 0,3 (lõplik), sest 3/12 = 1/4.
Kuidas kirjutada ja teisendada näiteid
- Tähistused: duodekaalides kasutatakse sümboleid 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A(=10),B(=11).
- Decimal → base‑12 (näide 50 → ?):
- Jagame 50 ära 12‑ga: 50 ÷ 12 = 4 jääk 2.
- Seega 50(10) = 42(12) (mis vastab 4×12 + 2).
- Base‑12 → decimal (näide 42 → ?): 4×12 + 2 = 50(10).
- Murdude teisendamine: näiteks 0,4(12) = 4/12 = 1/3(10).
Kasutus ja ajaloolised jäljed
- Duodekaalil on ajaloolisi ja kultuurilisi jälgi: sõnad nagu „tosin“ ja „gross“ (144 = 12×12) ning igapäevased üksused (12 kuud aastas, 12 tolli jalas, kellasüsteemi kaks 12‑tunnist ringi) viitavad duodekaali mugavusele.
- Mõned filosoofid ja matemaatikud on propageerinud baasi 12 laiemat kasutuselevõttu, argumentides parema jagatavuse ja mugavama murdarvude esituse kasuks.
Eelised ja puudused
- Eelised: parem jagatavus (palju lihtsaid lõplikke murrud), praktiline igapäevastes mõõtmissüsteemides ja kaupade pakkimisel (dozenaadid), mõnes kontekstis intuitiivsem murdude jagamine.
- Puudused: tänapäevane majandus‑ ja teadusinfrastruktuur on laialdaselt loodud kümnendsüsteemile; üleminekuks oleks kõrged hariduse ja tehnoloogia kulud ning harjumuspärasus muudab laialdase kasutuselevõtu raskeks.
Kokkuvõte
Duodekaalsüsteem on kasulik alternatiiv kümnendsüsteemile eelkõige tänu 12‑arvu rikkalikule jagatavusele, mis teeb mitmete murdarvude esituse lihtsamaks ja lõplikuks. Kuigi selle praktikaline laialdane kasutuselevõtt on keeruline, on duodekaal jätkuvalt tähtis kultuuriliste, ajalooliste ja mõne praktilise mõõtmisalase rakenduse kaudu.
Kuidas esitada 10 ja 11 duodekaalses süsteemis
Duodekaalarvudes ei ole numbrilisi sümboleid, mis tähistaksid 10 ja 11, seega kasutatakse inglise tähestikust võetud tähti, täpsemalt X (Rooma numbrist, mis tähistab kümmet) ja E (üheteistkümne algustäht). Mõned inimesed kasutavad ka A ja B (nagu heksadekaalis).
Edna Kramer kasutas oma 1951. aasta raamatus "The Main Stream of Mathematics" kümnendkordade 10 ja 11 jaoks * ja #. Need sümbolid valiti seetõttu, et need on olemas kirjutusmasinates ja nuputelefonides.
Käesolevas artiklis kasutatakse kümnendmurdeid "X" ja "E" kümnendmurdeid 10 ja 11.
Duodekaalsed väärtused
| Detsimaalne | Duodecimal |
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 4 |
| 5 | 5 |
| 6 | 6 |
| 7 | 7 |
| 8 | 8 |
| 9 | 9 |
| 10 | X |
| 11 | E |
| 12 | 10 |
| 13 | 11 |
| 50 | 42 |
| 60 | 50 |
| 100 | 84 |
| 144 | 100 |
| 500 | 358 |
| 720 | 500 |
| 1000 | 6E4 |
| 1728 | 1000 |
Küsimused ja vastused
K: Mis on duodekaalsüsteem?
V: Duodekaalsüsteem on kaheteistkümnenda baasiga arvusüsteem.
K: Kuidas väljendatakse duodekaalsüsteemis suuri arvusid?
V: Suured arvud väljendatakse duodekaalsüsteemis 12-ga.
K: Milline on kümnendarvu 50 duodekaalne ekvivalent?
V: 50 duodekaalne ekvivalent on 42.
K: Miks peetakse duodekaalsüsteemis 12 tähtsaks arvuks?
V: 12 peetakse duodekaalsüsteemis oluliseks arvuks, sest see on väikseim arv, millel on neli tegurit: 2, 3, 4 ja 6.
K: Millised on tulemused, kui 10 ja 12 jagatakse duodekaalsüsteemis 3-ga?
V: 10 jagamisel 3-ga duodekaalsüsteemis on tulemuseks 3,333... ja 12 jagamisel 3-ga on tulemuseks 4.
K: Kas duodekaalsüsteemis saab murdudega paremini hakkama kui kümnendsüsteemis?
V: Ei, duodekaalsüsteem ei saa murdudega paremini hakkama kui kümnendsüsteem.
K: Millised on tulemused, kui jagada 6 ja 5 kolmega duodekaalsüsteemis?
V: Tulemus, mis saadakse, kui 6 jagatakse duodekaalsüsteemis 3ga, on 1,666... ja tulemus, kui 5 jagatakse 3ga, on 2. Tulemus, mis saadakse, kui 5 jagatakse duodekaalsüsteemis 2ga, on 2,4.
Otsige