Algebraline muutkond
Matemaatikas on algebralised sordid (ka sordid) üks keskseid uurimisobjekte algebralises geomeetrias. Algebralise sordi esimesed definitsioonid määratlesid seda kui polünoomvõrrandite süsteemi lahendite kogumit reaal- või kompleksarvude kohal. Algebralise sordi kaasaegsed definitsioonid üldistavad seda mõistet, püüdes samas säilitada algse definitsiooni taga olevat geomeetrilist intuitsiooni.
Algebralise sordi definitsiooniga seotud konventsioonid on erinevad: Mõned autorid nõuavad, et "algebraline sord" on definitsiooni järgi irreduzible (mis tähendab, et see ei ole kahe väiksema, Zariski topoloogias suletud kogumi liit), teised aga mitte. Kui kasutatakse esimest konventsiooni, nimetatakse mitte-redutseeritavaid algebralisi sorte algebralisteks hulkadeks.
Sordi mõiste on sarnane mitmuse mõistega. Üks erinevus sordi ja avaldise vahel on see, et sordil võivad olla singulaarsed punktid, samas kui avaldisel ei ole. Umbes 1800. aasta paiku tõestatud algebra põhiteoreemiga luuakse seos algebra ja geomeetria vahel, näidates, et komplekskoefitsientidega ühe muutujaga moniline polünoom (algebraline objekt) on määratud selle juurte hulgaga (geomeetriline objekt). Üldistades seda tulemust, annab Hilberti nullstellensatz põhilise vastavuse polünoomiringide ideaalide ja algebraliste kogude vahel. Nullstellensatzi ja sellega seotud tulemuste abil on matemaatikud loonud tugeva vastavuse algebraliste hulkade ja rõngasteooria küsimuste vahel. See vastavus on algebralise geomeetria eripära teiste geomeetria alavaldkondade hulgas.
Keeratud kuubiline on projektsiooniline algebraline sordileht.
Küsimused ja vastused
K: Mis on algebralised sordid?
V: Algebralised sordid on algebralise geomeetria üks keskseid uurimisobjekte. Neid defineeritakse kui polünoomi võrrandite süsteemi lahendite kogumit reaal- või kompleksarvude üle.
K: Mille poolest erinevad tänapäeva määratlused algsest määratlusest?
V: Kaasaegsed definitsioonid püüavad säilitada algse definitsiooni geomeetrilist intuitsiooni, üldistades seda samal ajal. Mõned autorid nõuavad, et "algebraline sord" on definitsiooni järgi irreduzible (mis tähendab, et see ei ole kahe väiksema, Zariski topoloogias suletud hulga liit), teised aga mitte.
Küsimus: Mis on üks erinevus sordi ja avaldise vahel?
V: Mitmekesisusel võivad olla singulaarsed punktid, samas kui hulgalisel ei ole.
K: Mida sätestab algebra fundamentaalne teoreem?
V: Algebra põhiteoreemiga luuakse seos algebra ja geomeetria vahel, näidates, et komplekskoefitsientidega ühe muutujaga moniline polünoom (algebraline objekt) on määratud selle juurte hulgaga (geomeetriline objekt).
Küsimus: Mida annab Hilberti nullsellensus?
V: Hilberti nullstellensatz annab põhilise vastavuse polünoomiringide ideaalide ja algebraliste kogude vahel.
K: Kuidas on matemaatikud seda vastavust kasutanud?
V: Matemaatikud on selle korrespondentsi abil kehtestanud tugeva vastavuse algebraliste hulkade ja rõngasteooria küsimuste vahel.
K: Mis teeb selle eriala ainulaadseks teiste geomeetria alavaldkondade seas? V: See tugev vastavus algebraliste hulkade ja ringiteooria küsimuste vahel teeb selle konkreetse valdkonna ainulaadseks teiste geomeetria alavaldkondade seas.
