Algebraline sort — määratlus, omadused ja näited

Saa ülevaade algebralistest sortidest: selge määratlus, põhiomadused, matemaatilised näited ja roll algebralises geomeetrias.

Matemaatikas on algebralised sordid (ka sordid) üks keskseid uurimisobjekte algebralises geomeetrias. Algebralise sordi esimesed definitsioonid määratlesid seda kui polünoomvõrrandite süsteemi lahendite kogumit reaal- või kompleksarvude kohal. Algebralise sordi kaasaegsed definitsioonid üldistavad seda mõistet, püüdes samas säilitada algse definitsiooni taga olevat geomeetrilist intuitsiooni.

Algebralise sordi definitsiooniga seotud konventsioonid on erinevad: Mõned autorid nõuavad, et "algebraline sord" on definitsiooni järgi irreduzible (mis tähendab, et see ei ole kahe väiksema, Zariski topoloogias suletud kogumi liit), teised aga mitte. Kui kasutatakse esimest konventsiooni, nimetatakse mitte-redutseeritavaid algebralisi sorte algebralisteks hulkadeks.

Sordi mõiste on sarnane mitmuse mõistega. Üks erinevus sordi ja avaldise vahel on see, et sordil võivad olla singulaarsed punktid, samas kui avaldisel ei ole. Umbes 1800. aasta paiku tõestatud algebra põhiteoreemiga luuakse seos algebra ja geomeetria vahel, näidates, et komplekskoefitsientidega ühe muutujaga moniline polünoom (algebraline objekt) on määratud selle juurte hulgaga (geomeetriline objekt). Üldistades seda tulemust, annab Hilberti nullstellensatz põhilise vastavuse polünoomiringide ideaalide ja algebraliste kogude vahel. Nullstellensatzi ja sellega seotud tulemuste abil on matemaatikud loonud tugeva vastavuse algebraliste hulkade ja rõngasteooria küsimuste vahel. See vastavus on algebralise geomeetria eripära teiste geomeetria alavaldkondade hulgas.

Mis on algebraline sort (lihtsustatult)

Algebraline sort (inglise keeles "algebraic variety") on geomeetriline objekt, mida kujutab polünoomide nullkohad mingi lähtuvas ruumis. Kõige sagedamini räägitakse algebralistest sortidest affiinruumis k^n (kus k on mingi väli, näiteks reaalarvud R või kompleksarvud C) või projektiivruumis. Affiinse algebralise sordi saab määrata tähistusega V(f1, ..., fm) — see on kõigi punktide kogu, mis rahuldavad antud polünoome f1, …, fm.

Olulisemad erinevused ja terminoloogia

• Algebraline hulk — iga polünoomsüsteemi nullide kogu affiin- või projektiivruumis; see võib olla reducible (liit vähemtest suletud kogumitest) või irreducible.
• Algebraline sort — mõnikord kasutatakse seda sõna kõigi algebraliste hulga kohta, aga paljud autorid nõuavad, et sort oleks irreducible (st seda ei saa kirjutada kahe korralikus suletud alamkogumi liiduna). Kui rõhutatakse irreduseeritust, nimetatakse reducible juhtumeid pigem algebralisteks hulkadeks.
• Zariski topoloogia — sulgedeks selles topoloogias on algebralised hulgad; see topoloogia on väga jäik (palju vähem avatud hulki kui tavalistes topoloogiates), mis peegeldab polünoomide ranget iseloomu.

Koordinaatrõngas ja Nullstellensatz

Iga affiinne algebraline hulk V ⊂ k^n on seotud koordinaatrõngaga k[V] = k[x1,...,xn]/I(V), kus I(V) on kõigi V-is nullivate polünoomide ideaal. Hilberti nullstellensatz (kui k on algebraalselt suletud väli nagu C) annab tugeva seose algebraliste hulga V ja tema ideaaliga I(V), ehk ideaalselt kujutab geomeetriat algebra abil. Sellel vastavusel põhinevad paljud algebralise geomeetria meetodid, kuna see võimaldab tõlkida geomeetrilisi küsimusi rõngateooria ja ideaaliomaduste keelde.

Irreducibility, primaarne dekompositsioon ja mõõde

Algebraline hulk jaguneb ainulaadselt irrudibible komponentideks (kui loetakse Zariski suletud kogumite liitmist). Irreducible hulkude vasted koordinaatrõngas on primideaalid. Algebralise sordi mõõde määratakse tavaliselt kui maksimaalse ahelatide pikkus suletud irreducible alamkogumite vahel; algebraalselt vastab see koordinaatrõnga Krulli mõõtmele.

Näited

• Affiinne joon A^1: punktide kogu k; seda määrab muutujaga polünoomide täielik süsteem.
• Affiinne tasapind A^2 ja sirge: sirge on lihtne algebraline sort, mis on lineaarvõrrandi nullkohaks.
• Koonik või parabool: näiteks y - x^2 = 0 määrab parabooli; see on lihtne näide tasandi kõverast.
• Kuup- või elliptiline kõver: näiteks y^2 = x^3 + ax + b (sobivate a ja b korral) on fundamentaalne näide tasandi algebralistest kõveratest – sellistel võib olla huvitav rühmstruktuur ja nad esinevad krüptograafias.
• Singulaarne näide: kuju y^2 = x^3 + x^2 omab sõlmpunkti (nodal singularity), mis eristab seda siledast (nonsingular) kõverast.
• Projektiivne liin P^1 ja projektiivsed konikud: projektiviseerimine lisab "punktid lõpmatuses" ja teeb mõnede geomeetriliste omaduste käsitlemise lihtsamaks.

Singulaarsused ja silekus

Punkt p algebralises sordis loetakse singulaarseks, kui selle juures ei ole sordil hästi määratletud tangentsruumi (või tangentsruumi dimensioon on ootamatult suur). Kui kõigis punktides on tangentsruum "õige" dimensiooniga, nimetatakse sorti siledaks ehk nonsingular. Singulaarsuste klassifitseerimine on oluline osa algebralise geomeetria uurimusest, sest singulaarsused mõjutavad nii geomeetrilisi kui ka algebrailisi omadusi (näiteks homoloogia, funktsiooniväljad jne).

Morfismid ja ratsionaalsed kaardid

Morfismid kahe algebralise sordi vahel on geomeetrilised kaartid, mis koostatakse koordinaatfunktsioonidest, st polünoomidest (affiinjuhtum). Ratsionaalsed kaardid on defineeritud ainult mingi algse avatud (Zariski) osal ja neid kasutatakse näiteks kõverate vaheliste mapide uurimiseks. Isomorfismid algebraliste sortide vahel on vastastikused morfismid — need märgivad geomeetrilist võrduväärtust.

Välja mõju: reaalsed vs kompleksid punktid

Sordi omadused võivad sõltuda lähtubest. Näiteks sama polünoomide süsteem võib defineerida erinevaid punktikogumeid reaal- ja kompleksarvude kohal: algebraline hulk üle C on sageli "suurem" ja sisaldab rohkem geomeetrilist infot; reale lähtega sordil tähendavad reaalsed lahendid konkreetseid reaalseid kujundeid, mis võivad olla tavamõistes eeldatust erinevad (nt ringi või kõvera osa). Samuti mängivad rolli algebrailiselt suletud väljade omadused Nullstellensatzi kehtivuses.

Tänapäevane üldistus: skeemid

Kaasaegne algebraline geomeetria kasutab sageli skeemide keelt, mis üldistab algebralisi sorte, lubades näiteks nilpotente ja töötamist baasväljadega, mis ei oleki algebraalselt suletud. Skeemide kaudu saab sõnastada ja tõestada paljusid tugevamaid ja paindlikumaid tulemusi; klassikalised algebralised sordid on skeemide spetsiifiline erijuhtum (tavaliselt reduced ja irreducible skeemid finiitüübil üle välja).

Kus algebralisi sorte kasutatakse?

• Puhas matemaatika: aritmeetiline geomeetria, differentiaalgeomeetria, loogika ja topoloogia vahelised vastastikused seosed.
• Rakendusvaldkonnad: krüptograafia (elliptilised kõverad), kodeerimine, arvutipõhine geomeetria ja modelleerimine.
• Teoreetiline füüsika: teatavad algebralised sordid esinevad stringiteoorias ja muudes mudelites.

Kui soovid, saan artiklit veel kitsamalt suunata (näiteks rõhutada ainult affiinseid sorte, anda konkreetseid arvulisi näiteid ja jooniseid või lisada lühikese sissejuhatuse Nullstellensatzi ja koordinaatrõnga tõestuse juurde).

Küsimused ja vastused

K: Mis on algebralised sordid?

K: Mille poolest erinevad tänapäeva määratlused algsest määratlusest?

Küsimus: Mis on üks erinevus sordi ja avaldise vahel?

K: Mida sätestab algebra fundamentaalne teoreem?

Küsimus: Mida annab Hilberti nullsellensus?

K: Kuidas on matemaatikud seda vastavust kasutanud?

Otsing