Algebraline geomeetria
Algebraline geomeetria on matemaatika haru, mis uurib polünoomi võrrandeid. Kaasaegne algebraline geomeetria põhineb abstraktsema algebra, eriti kommutatiivse algebra abstraktsematel tehnikatel koos geomeetria keele ja probleemidega.
Algebralise geomeetria peamised uurimisobjektid on algebralised sordid, mis on polünoomvõrrandite süsteemide lahendite kogumite geomeetrilised ilmingud. Algebraliste sortide enim uuritud klassideks on näiteks: tasandilised algebralised kõverad, mille hulka kuuluvad sirged, ringid, paraboolad, ellipsid, hüperboolad, kuubilised kõverad nagu elliptilised kõverad ja kvartaalsed kõverad nagu lemniskaadid, ja kassinlikud ovaalid. Tasapinna punkt kuulub algebralisele kõverale, kui selle koordinaadid rahuldavad antud polünoomi võrrandit. Põhiküsimused hõlmavad erilist huvi pakkuvate punktide, nagu singulaarsed punktid, murdepunktid ja punktid lõpmatuses, uurimist. Edasijõudnud küsimused hõlmavad kõverate topoloogiat ja erinevate võrranditega antud kõverate vahelisi seoseid.
Algebraline geomeetria on tänapäeva matemaatikas kesksel kohal. Selles kasutatavad mõisted ühendavad seda selliste erinevate valdkondadega nagu kompleksanalüüs, topoloogia ja arvuteooria. Alguses tegeles algebraline geomeetria mitme muutuja polünoomi võrrandite süsteemide uurimisega. Algebraline geomeetria algab sealt, kus võrrandite lahendamine lõpeb: Paljudel juhtudel on kõigi antud võrrandite kogumi lahendite omaduste leidmine olulisem kui konkreetse lahenduse leidmine: see viib nii kontseptuaalselt kui ka tehniliselt kogu matemaatika kõige sügavamatesse valdkondadesse.
20. sajandil on algebraline geomeetria jagunenud mitmeks alavaldkonnaks.
- Algebralise geomeetria põhivool on pühendatud algebraliste sortide komplekssete punktide ja üldisemalt algebraliselt suletud väljal asuvate koordinaatidega punktide uurimisele.
- Algebralise sordi punktide uurimisest, mille koordinaadid asuvad ratsionaalarvude või arvuvälja koordinaatidega, sai aritmeetiline geomeetria (või klassikalisemalt diofantiline geomeetria), mis on algebralise arvuteooria alamvaldkond.
- Algebralise sordi reaalpunktide uurimine on reaalse algebralise geomeetria teema.
- Suur osa singulaarsusteooriast on pühendatud algebraliste sortide singulaarsustele.
- Kui arvutid muutusid tavalisemaks, tekkis valdkond nimega "arvutuslik algebraline geomeetria". See käsitleb algebralise geomeetria ja arvutialgebra ristumist. See tegeleb algoritmide ja tarkvara arendamisega, mille abil saab uurida ja leida selgelt antud algebraliste sortide omadusi.
Suur osa algebralise geomeetria peamise voolu arengust 20. sajandil toimus abstraktses algebralises raamistikus, kusjuures üha suuremat rõhku pöörati algebraliste sortide "sisemistele" omadustele, mis ei sõltu ühestki konkreetsest viisist, kuidas sorti ümbritsevasse koordinaatruumi põimida. Topoloogia, diferentsiaal- ja kompleksgeomeetria arengud toimusid paljuski samamoodi. Selle abstraktse algebralise geomeetria üks peamisi saavutusi on Grothendiecki skeemiteooria, mis võimaldab kasutada algebraliste sortide uurimisel niimoodi, mis on väga sarnane selle kasutamisega diferentsiaal- ja analüütiliste mannekeste uurimisel. See saavutatakse punkti mõiste laiendamisega: klassikalises algebralises geomeetrias võib afiinse sordi punkti samastada Hilberti nullsüsteemi abil koordinaatide rõnga maksimaalse ideaaliga, samas kui vastava afiinse skeemi punktid on kõik selle rõnga primaalsed ideaalid. See tähendab, et sellise skeemi punkt võib olla kas tavaline punkt või alamharu. See lähenemine võimaldab ka klassikalise algebralise geomeetria, mis käsitleb peamiselt komplekspunkte, ja algebralise arvuteooria keele ja vahendite ühendamist. Wiles'i tõestus pikaajalise oletuse kohta, mida nimetatakse Fermat' viimaseks teoreemiks, on näide selle lähenemise võimsusest.
See Togliatti pind on viie astme algebraline pind. Pildil on kujutatud osa selle reaallokusest.
Küsimused ja vastused
K: Mis on algebraline geomeetria?
V: Algebraline geomeetria on matemaatika haru, mis uurib polünoomi võrrandeid.
K: Milliseid meetodeid kasutatakse tänapäeva algebralises geomeetrias?
V: Kaasaegne algebraline geomeetria kasutab geomeetria keele ja probleemide käsitlemiseks abstraktsemaid meetodeid abstraktsest algebrast, näiteks kommutatiivset algebrat.
K: Millist tüüpi võrrandeid uurib algebraline geomeetria?
V: Algebraline geomeetria uurib polünoomi võrrandeid.
K: Kuidas kasutatakse abstraktset algebrat?
V: Selles kasutatakse abstraktset algebrat, eriti kommutatiivset algebrat, et mõista geomeetriaga seotud keelt ja probleeme.
K: Kas selles valdkonnas kasutatakse mingit kindlat tüüpi keelt?
V: Jah, kaasaegne algebraline geomeetria kasutab geomeetriaga seotud keelt ja probleeme.
K: Kuidas on kaasaegne tehnoloogia seda valdkonda mõjutanud?
V: Kaasaegne tehnoloogia on võimaldanud kasutada selles valdkonnas polünoomi võrrandite uurimisel abstraktsest algebrast pärit arenenumaid meetodeid.
