Euleri identiteet

Euleri identsus, mida mõnikord nimetatakse Euleri võrrandiks, on see võrrand:

e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0} $e^{i\pi }+1=0$

π \displaystyle \pi } $\pi$ , pi

π ≈ 3.14159 {\displaystyle \pi \approx 3.14159} $\pi \approx 3.14159$

e {\displaystyle e} $e$ , Euleri arv

e ≈ 2.71828 {\displaystyle e\approx 2.71828} $e\approx 2.71828$

i {\displaystyle i} $i$ , kujuteldav ühik

ı = √ - 1 {\displaystyle \imath =\surd {-1}} $\imath =\surd {-1}$

Euleri identiteet on nime saanud Šveitsi matemaatiku Leonard Euleri järgi. Ei ole selge, et ta seda ise leiutas.

Physics Worldi küsitlusele vastajad nimetasid identiteeti "kõige sügavamaks matemaatiliseks avalduseks, mis on kunagi kirjutatud", "kummaliseks ja ülevaks", "täis kosmilist ilu" ja "meeliülendavaks".

Euleri identiteedi matemaatiline tõestus Taylori seeria abil

Paljusid võrrandeid saab kirjutada kui rida kokku liidetud termineid. Seda nimetatakse Taylori jadaks

Eksponentsiaalfunktsiooni e x {\displaystyle e^{x}} $e^{x}$ saab kirjutada Taylori jadana

e x = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ x n n ! {\displaystyle e^{x}=1+x+{x^{2} \ üle {2!}}+{x^{3} \over {3!}}+{x^{4} \over {4!}}}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}} $e^{x}=1+x+{x^{2} \over {2!}}+{x^{3} \over {3!}}+{x^{4} \over {4!}}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}$

Samuti võib Sine kirjutada järgmiselt

sin x = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - − x 7 7 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 {\displaystyle \sin {x}=x-{x^{3} \ üle 3!}+{x^{5} \ üle 5!}-{x^{7}-{x^{7} \over 7!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n+1)!}{x^{2n+1}}} $\sin {x}=x-{x^{3} \over 3!}+{x^{5} \over 5!}-{x^{7} \over 7!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n+1)!}{x^{2n+1}}$

ja kosinus kui

cos x = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - − x 6 6 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n {\displaystyle \cos {x}=1-{x^{2} \ üle 2!}+{x^{4} \over 4!}-{x^{6} \over 6!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n)!}{x^{2n}}} $\cos {x}=1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}-{x^{6} \over 6!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n)!}{x^{2n}}$

Siin näeme, et muster võtab kuju. e x {\displaystyle e^{x}} $e^{x}$ näib olevat siinuse ja kosinuse Taylori seeria summa, ainult et kõik märgid on muudetud positiivseks. Identiteet, mida me tegelikult tõestame, on e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)} $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$ .

Niisiis, vasakul pool on e i x {\displaystyle e^{ix}} $e^{ix}$ , mille Taylori jada on 1 + i x - x 2 2 ! - i x 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 ! ⋯ {\displaystyle 1+ix-{x^{2} \ üle 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!} \cdots } $1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots$

Me näeme siin mustrit, et iga teine termin on i korda siinuse terminid ja et ülejäänud terminid on kosinuse terminid.

Paremal pool on cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle \cos(x)+i\sin(x)} $\cos(x)+i\sin(x)$ , mille Taylori jada on Taylori jada kosinuse kohta, pluss i korda Taylori jada siinuse kohta, mida saab näidata järgmiselt:

( 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! ⋯ ) + ( i x - i x 3 3 ! + i x 5 5 ! ⋯ ) {\displaystyle (1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}\cdots )+(ix-{ix^{3} \over 3!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots )} $(1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}\cdots )+(ix-{ix^{3} \over 3!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots )$

kui me liidame need kokku, saame

1 + i x - x 2 2 ! - i x 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 ! ⋯ {\displaystyle 1+ix-{x^{2} \ üle 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!} \cdots } $1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots$

Seega:

e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)} $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$

Kui me nüüd asendame x-i π-ga {\displaystyle \pi } $\pi$ , siis on meil ...

e i π = cos ( π ) + i sin ( π ) {\displaystyle e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\sin(\pi )} $e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\sin(\pi )$

Siis me teame, et

cos ( π ) = - 1 {\displaystyle \cos(\pi )=-1} $\cos(\pi )=-1$

sin ( π ) = 0 {\displaystyle \sin(\pi )=0} $\sin(\pi )=0$

Seega:

e i π = 0 - 1 {\displaystyle e^{i\pi }=0-1} $e^{i\pi }=0-1$
e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0} $e^{i\pi }+1=0$

QED

Küsimused ja vastused

K: Mis on Euleri identiteet?

V: Euleri identiteet, mida mõnikord nimetatakse Euleri võrrandiks, on võrrand, milles on matemaatilised konstandid pi, Euleri arv ja kujuteldav ühik koos kolme põhilise matemaatilise operatsiooniga (liitmine, korrutamine ja korrutamine ning korrutamine). Võrrand on e^(i*pi) + 1 = 0.

Küsimus: Kes oli Leonard Euler?

V: Leonard Euler oli Šveitsi matemaatik, kelle järgi on identiteedi nimi. Ei ole selge, kas ta ise selle leiutas.

K: Millised on mõned reaktsioonid Euleri identiteedile?

V: Physics Worldi küsitlusele vastajad nimetasid identiteeti "kõige sügavamaks matemaatiliseks avalduseks, mis on kunagi kirjutatud", "kummaliseks ja ülevaks", "täis kosmilist ilu" ja "meeliülendavaks".

K: Millised on mõned selles võrrandis esinevad konstandid?

V: Selles võrrandis esinevad konstandid on pi (ligikaudu 3,14159), Euleri arv (ligikaudu 2,71828) ja kujuteldav ühik (võrdne -1).

K: Millised on mõned selles võrrandis esinevad operatsioonid?

V: Selles võrrandis esinevad operatsioonid on liitmine, korrutamine ja korrutamine.

K: Kuidas saame matemaatiliselt väljendada pi?

V: Pi saab matemaatiliselt väljendada kui π ≈ 3,14159 {\displaystyle \pi \approx 3,14159}.

K: Kuidas saab Euleri arvu matemaatiliselt väljendada? V: Euleri arvu saab matemaatiliselt väljendada kui e ≈ 2,71828 {\displaystyle e\approx 2,71828}.