Euleri identiteet — e^{iπ}+1=0: tähendus, ajalugu ja selgitus

Avasta Euleri identiteedi ilu ja tähendus: ajalugu, intuitiivne selgitus ning miks e^{iπ}+1=0 peetakse matemaatika kõige sügavamaks avalduseks.

Autor: Leandro Alegsa

24-10-2025 19:31

Euleri identiteet, mida mõnikord nimetatakse Euleri võrrandiks, on see lihtne, kuid sügav võrrand:

e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0} $e^{i\pi }+1=0$

Siin on tähised, mida võrrandis kasutatakse:

π \displaystyle \pi } $\pi$ — pi,

π ≈ 3.14159 {\displaystyle \pi \approx 3.14159} $\pi \approx 3.14159$

e {\displaystyle e} $e$ — Euleri arv,

e ≈ 2.71828 {\displaystyle e\approx 2.71828} $e\approx 2.71828$

i {\displaystyle i} $i$ — kujuteldav ühik,

ı = √ - 1 {\displaystyle \imath =\surd {-1}} $\imath =\surd {-1}$

Euleri identiteet on nime saanud Šveitsi matemaatiku Leonard Euleri järgi. Ei ole aga täiesti selge, kas just tema selle algselt "leiutas" — mitmed varasemad uurijad (nt Cotes ja de Moivre) töötasid seotud avalduste kallal, kuid Euler populariseeris ja sidus need elegantseks kujule 18. sajandi keskel.

Physics Worldi küsitlusele vastajad nimetasid identiteeti "kõige sügavamaks matemaatiliseks avalduseks, mis on kunagi kirjutatud", "kummaliseks ja ülevaks", "täis kosmilist ilu" ja "meeliülendavaks".

Tähendus ja intuitiivne seletus

Identiteet ühendab viis fundamentaalset matemaatilist konstantit — 0, 1, e, i ja π — ühes lihtsas võrduses. Üks lihtsamaid viisid seda mõista on kasutada Euleri valemit:

e^{ix} = cos x + i sin x.

See tähendab, et kompleksarvu eksponent e^{ix} esitab geomeetriliselt ühetaktilist pööramist kompleksitasandil — see on punkt ühikringil, mille nurk moodustab x radiaanides. Kui x = π, siis cos π = −1 ja sin π = 0, seega e^{iπ} = −1. Liites +1 saame 0 — just see on Euleri identiteet.

Lühike tõestus (sarjade kaudu)

Saame alustada eksponent- ja trigonomeetriliste funktsioonide Maclaurin'i jadadest:

e^z = Σ_{n=0}^∞ z^n / n!, cos x = Σ_{n=0}^∞ (−1)^n x^{2n} / (2n)!, sin x = Σ_{n=0}^∞ (−1)^n x^{2n+1} / (2n+1)!.

Asendades z = ix ja liigiti järjestused, leiame, et e^{ix} jadad jagunevad reaalseks osaks cos x ja imaginaarseks osaks sin x, seega e^{ix} = cos x + i sin x. Seejärel asendades x = π ja kasutades cos π = −1 ja sin π = 0 saab e^{iπ} = −1.

Ajalooline kontekst

Leonhard Euler avaldas Euleri valemi ja sellega seotud ideed oma töös "Introductio in analysin infinitorum" (1748). Eelnevalt olid mitmed autorid uurinud trigonomeetria ja logaritmiliste funktsioonide seoseid (nt Roger Cotes ja Abraham de Moivre), kuid Euler oli see, kes sidus eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid selgeks formaalseks avalduseks ning demonstreeris selle võimsat ridadevahetust kompleksarvudega.

Olulisus ja rakendused

Koondab fundamentaalsed matemaatilised mõisted püsivaks esteetiliseks väljendiks — seetõttu peetakse seda sageli matemaatilise ilu sümboliks.
On vundament kompleksanalüüsis — Euleri valem on oluline tööriist diferentsiaalvõrrandites, Fourier' analüüsis ja signaalitöötluses.
Rakendused ulatuvad inseneriteadusest ja füüsikast (nt lainevõrrandid, kvantmehaanika faasid) kuni arvutiteaduse ja krüptograafiani, kus kompleksne eksponent esineb sagedustest ja faasidest rääkides.

Lisamärkus

Kuigi identiteet näib väga „lõpplik“ ja lihtne, toetub selle täpsus keerulisele teooriale: järjestike laiendused, komplekssed funktsioonid ja analyticity (analüütilisus). Euleri identiteet on seetõttu nii praktiline kui ka teoreetiliselt sügav — see on nii tööriist kui ka kunstiline avaldus matemaatikas.

Euleri identiteedi matemaatiline tõestus Taylori seeria abil

Paljusid võrrandeid saab kirjutada kui rida kokku liidetud termineid. Seda nimetatakse Taylori jadaks

Eksponentsiaalfunktsiooni e x {\displaystyle e^{x}} $e^{x}$ saab kirjutada Taylori jadana

e x = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ x n n ! {\displaystyle e^{x}=1+x+{x^{2} \ üle {2!}}+{x^{3} \over {3!}}+{x^{4} \over {4!}}}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}} $e^{x}=1+x+{x^{2} \over {2!}}+{x^{3} \over {3!}}+{x^{4} \over {4!}}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}$

Samuti võib Sine kirjutada järgmiselt

sin x = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - − x 7 7 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 {\displaystyle \sin {x}=x-{x^{3} \ üle 3!}+{x^{5} \ üle 5!}-{x^{7}-{x^{7} \over 7!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n+1)!}{x^{2n+1}}} $\sin {x}=x-{x^{3} \over 3!}+{x^{5} \over 5!}-{x^{7} \over 7!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n+1)!}{x^{2n+1}}$

ja kosinus kui

cos x = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - − x 6 6 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n {\displaystyle \cos {x}=1-{x^{2} \ üle 2!}+{x^{4} \over 4!}-{x^{6} \over 6!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n)!}{x^{2n}}} $\cos {x}=1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}-{x^{6} \over 6!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n)!}{x^{2n}}$

Siin näeme, et muster võtab kuju. e x {\displaystyle e^{x}} $e^{x}$ näib olevat siinuse ja kosinuse Taylori seeria summa, ainult et kõik märgid on muudetud positiivseks. Identiteet, mida me tegelikult tõestame, on e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)} $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$ .

Niisiis, vasakul pool on e i x {\displaystyle e^{ix}} $e^{ix}$ , mille Taylori jada on 1 + i x - x 2 2 ! - i x 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 ! ⋯ {\displaystyle 1+ix-{x^{2} \ üle 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!} \cdots } $1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots$

Me näeme siin mustrit, et iga teine termin on i korda siinuse terminid ja et ülejäänud terminid on kosinuse terminid.

Paremal pool on cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle \cos(x)+i\sin(x)} $\cos(x)+i\sin(x)$ , mille Taylori jada on Taylori jada kosinuse kohta, pluss i korda Taylori jada siinuse kohta, mida saab näidata järgmiselt:

( 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! ⋯ ) + ( i x - i x 3 3 ! + i x 5 5 ! ⋯ ) {\displaystyle (1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}\cdots )+(ix-{ix^{3} \over 3!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots )} $(1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}\cdots )+(ix-{ix^{3} \over 3!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots )$

kui me liidame need kokku, saame

1 + i x - x 2 2 ! - i x 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 ! ⋯ {\displaystyle 1+ix-{x^{2} \ üle 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!} \cdots } $1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots$

Seega:

e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)} $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$

Kui me nüüd asendame x-i π-ga {\displaystyle \pi } $\pi$ , siis on meil ...

e i π = cos ( π ) + i sin ( π ) {\displaystyle e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\sin(\pi )} $e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\sin(\pi )$

Siis me teame, et

cos ( π ) = - 1 {\displaystyle \cos(\pi )=-1} $\cos(\pi )=-1$

sin ( π ) = 0 {\displaystyle \sin(\pi )=0} $\sin(\pi )=0$

Seega:

e i π = 0 - 1 {\displaystyle e^{i\pi }=0-1} $e^{i\pi }=0-1$
e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0} $e^{i\pi }+1=0$

QED

Küsimused ja vastused

K: Mis on Euleri identiteet?

V: Euleri identiteet, mida mõnikord nimetatakse Euleri võrrandiks, on võrrand, milles on matemaatilised konstandid pi, Euleri arv ja kujuteldav ühik koos kolme põhilise matemaatilise operatsiooniga (liitmine, korrutamine ja korrutamine ning korrutamine). Võrrand on e^(i*pi) + 1 = 0.

Küsimus: Kes oli Leonard Euler?

V: Leonard Euler oli Šveitsi matemaatik, kelle järgi on identiteedi nimi. Ei ole selge, kas ta ise selle leiutas.

K: Millised on mõned reaktsioonid Euleri identiteedile?

V: Physics Worldi küsitlusele vastajad nimetasid identiteeti "kõige sügavamaks matemaatiliseks avalduseks, mis on kunagi kirjutatud", "kummaliseks ja ülevaks", "täis kosmilist ilu" ja "meeliülendavaks".

K: Millised on mõned selles võrrandis esinevad konstandid?

V: Selles võrrandis esinevad konstandid on pi (ligikaudu 3,14159), Euleri arv (ligikaudu 2,71828) ja kujuteldav ühik (võrdne -1).

K: Millised on mõned selles võrrandis esinevad operatsioonid?

V: Selles võrrandis esinevad operatsioonid on liitmine, korrutamine ja korrutamine.

K: Kuidas saame matemaatiliselt väljendada pi?

V: Pi saab matemaatiliselt väljendada kui π ≈ 3,14159 {\displaystyle \pi \approx 3,14159}.

K: Kuidas saab Euleri arvu matemaatiliselt väljendada? V: Euleri arvu saab matemaatiliselt väljendada kui e ≈ 2,71828 {\displaystyle e\approx 2,71828}.

Otsige