Taylori jada ja Maclaurini jada — definitsioon, omadused ja rakendused

Avasta Taylori ja Maclaurini jadade definitsioon, omadused ja praktilised rakendused füüsikas, arvutustes ning inseneriteadustes — selge ja intuitiivne juhend.

Autor: Leandro Alegsa

09-11-2025 14:35

Taylori jada on fundamentaalne mõiste analüütilises matemaatikas: see on viis esitada tavaliselt hästi käituvaid funktsioone kui lõpmatute polünoomide summasid. Taylor-jada abil saadakse funktsiooni kohaliku käitumise täpne kirjeldus mingi keskpunkti ümbruses ja seeläbi lihtsustada arvutusi, hinnanguid ja modelleerimist. Seda kasutatakse laialdaselt arvutiteaduses, arvutustes, keemias, füüsikas ja muudes kõrgema taseme matemaatikates. Erijuht, kus jada koostatakse keskpunkti a = 0 ümber, tuntakse kui Maclaurin'i jada.

Täiustatud formaalselt kirjeldatakse Taylori jadat nii: kui funktsioon f on piiramatu järjekorra tuletistega punktis a, siis

f(x) = Σ_{n=0}^{∞} f^{(n)}(a) / n! · (x − a)^n

Siin on f^{(n)}(a) n‑s järku tuletis punktis a ja n! on n faktoriaal. Maclaurini jada on selle erijuht a = 0, st

f(x) = Σ_{n=0}^{∞} f^{(n)}(0) / n! · x^n

Praktilises kasutuses lõigatakse jada esimese m+1 liikme järel ära ja kasutatakse m‑järgset Taylori polünoomi kui lähendust. Hinnangu täpsust kirjeldab jääk (remainder). Levinud jääkuv vorm (Lagrange'i jääk) on:

R_{n}(x) = f^{(n+1)}(ξ)/(n+1)! · (x − a)^{n+1}

kus ξ on mingi punkt vahemikus a ja x. Kui R_n → 0, siis jada summa võrdub originaalfunktsiooniga kohaliku piirkonna ulatuses — seda öeldakse, et funktsioon on analüütiline selles piirkonnas.

Peamised omadused

Lineaarsus: Taylori jadad liituvad ja skaleeruvad vastavalt funktsioonide lineaarsetele kombineeringutele.
Liikmete reastamine: kui jada konvergeerib absoluutselt teatud raadiuses, võib selles raadiuses teha liigiti tuletamise ja integreerimise, säilitades Taylori‑kujulise esitusviisi.
Konvergents ja raadius: iga Taylor‑jadail on konvergentsiraadius R; jada väljajadumine väljastpoolt R on võimalik.
Täpsusekontroll: jääkuv avaldised võimaldavad hinnata, kui hea on lõigatud polünoomipõhine lähendus.

Levinud Maclaurini‑jadad (näited)

e^x = Σ_{n=0}^{∞} x^n / n!
sin x = Σ_{n=0}^{∞} (−1)^n x^{2n+1} / (2n+1)! (kõik x)
cos x = Σ_{n=0}^{∞} (−1)^n x^{2n} / (2n)! (kõik x)
ln(1+x) = Σ_{n=1}^{∞} (−1)^{n+1} x^n / n (|x| < 1)

Rakendused

Arvutiteaduses ja numbrilistes meetodites kasutatakse Taylori jadasid keerukate funktsioonide ligikaudseks arvutamiseks (nt eksponentsiaal, logaritm, trigonometria) ja automaatseks tuletamiseks.
Arvutustes võimaldab lõigatud Taylori polünoom kiiret ja piisavalt täpset hinnangut, mida kasutatakse näiteks arvutusraamatukogudes ja sisseehitatud funktsioonide realiseerimisel.
Füüsikas ja keemias kasutatakse Taylori laiendusi perturbatsiooniteoorias, energia minimaali ligikaudset leidmist ning väikeste hälvete (small‑oscillation) analüüsimiseks.
Diferentsiaalvõrrandite lahendamisel, signaalitöötluses ja optimeerimises aitab Taylori lähendus teisendada mittelineaarsed probleemid lineaarseteks ligikaudseteks vormideks.

Tähtsad tähelepanekud

Taylori jada olemasolu ei garanteeri, et jada summa võrdub algse funktsiooniga — selleks peab funktsioon olema analüütiline antud punktis.
Mõned funktsioonid (näiteks kuulus näide f(x)=e^{−1/x^2} lõpmatusel järjekorras nulli ümber) võivad omada kõiki tuletisi olemas aga Taylor‑jada võib anda ainult null‑jada, mis ei kirjelda funktsiooni mujal — seega tuleb alati kontrollida konvergentsi ja jääku suurust.
Praktilistes arvutustes tuleb arvestada ümardus- ja lõikamisvigadega: kõrge astme polünoom ei pruugi alati anda paremat lõplikku tulemuse arvutuslikes tingimustes.

Kokkuvõttes on Taylori jada ja selle erijuht Maclaurin'i jada võimsad tööriistad analüüsis ja rakendustes, mis võimaldavad keerulisi funktsioone asendada polünoomidega, hinnata vigu ja tuua lihtsust keerulistesse probleemidesse. Taylor‑teoreem ja jääkuhinnangud annavad formaalse aluse, millal ja kui täpselt seda asendust võib kasutada.

Animatsioon, mis näitab, kuidas Taylori jada saab kasutada funktsiooni lähendamiseks. Sinine joon näitab eksponentsiaalfunktsiooni f ( x ) = e x {\displaystyle f(x)=e^{x}} $f(x)=e^{x}$ . Punased jooned näitavad n tuletise summat -- st n+1 terminit Taylori reas. Kui n suureneb, läheneb punane joon sinisele joonele.

Ajalugu

Vana-Kreeka filosoof Zenon Elea tuli esimesena selle seeria ideega välja. Paradoks nimega "Zeno paroodiline" tulemus. Ta uskus, et on võimatu liita lõpmatult palju väärtusi ja saada tulemuseks ühte lõplikku väärtust.

Teine kreeka filosoof, Aristoteles, andis filosoofilisele küsimusele vastuse. See oli aga Archimedes, kes leidis matemaatilise lahenduse, kasutades oma ammendumismeetodit. Ta suutis tõestada, et kui midagi jagatakse lõputuks arvuks pisikesteks tükkideks, moodustavad need ikkagi ühe terviku, kui need kõik uuesti kokku liita. Vana-Hiina matemaatik Liu Hui tõestas sama asja mitusada aastat hiljem.

Varaseimad teadaolevad näited Taylori seeriast on Sañgamāgrama Mādhava töö Indias 1300ndatel aastatel. Hilisemad India matemaatikud kirjutasid tema tööst trigonomeetriliste funktsioonide sinus, koosinus, tangens ja arktangensiga. Ühtegi Mādhava kirjutist või ülesannet ei ole tänapäeval veel säilinud. Teised matemaatikud tuginesid Mādhava avastustele ja töötasid nende jadadega rohkem kuni 1500. aastani.

Šoti matemaatik James Gregory töötas selles valdkonnas 1600ndatel aastatel. Gregory uuris Taylori seeriaid ja avaldas mitmeid Maclaurin'i seeriaid. Brook Taylor avastas 1715. aastal üldise meetodi, kuidas rakendada seeriat kõikide funktsioonide suhtes. (Kõik varasemad uurimused näitasid, kuidas meetodit rakendada ainult konkreetsete funktsioonide suhtes). Colin Maclaurin avaldas 1700. aastatel Taylori seeria erijuhtumi. Seda sarja, mis põhineb nulli ümber, nimetatakse Maclaurini jadaks.

Määratlus

Taylori jada saab kasutada mis tahes funktsiooni ƒ(x) kirjeldamiseks, mis on sileda funktsiooniga (või matemaatiliselt öeldes "lõpmatult diferentseeritav"). Funktsioon ƒ võib olla kas reaal- või kompleksfunktsioon. Seejärel kasutatakse Taylori jada selleks, et kirjeldada, kuidas funktsioon näeb välja mingi arvu a ümbruses.

See Taylori jada, mis on kirjutatud võimsusjada, näeb välja järgmiselt:

f ( a ) + f ′ ( a ) 1 ! ( x - a ) + f ″ ( a ) 2 ! ( x - a ) 2 + f ( 3 ) ( a ) 3 ! ( x - a ) 3 + ⋯ . {\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots . } $f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots .$

Seda valemit saab kirjutada ka sigma märkimises järgmiselt:

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x - a ) n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}}\,(x-a)^{n}}} $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}$

Siin n! on n-i faktoriaal. ƒ ⁽ⁿ⁾(a) on ƒ-i n-nes tuletis punktis a. a {\displaystyle a} on arv funktsiooni domeenis. Kui funktsiooni Taylori seeria on võrdne selle funktsiooniga, nimetatakse funktsiooni "analüütiliseks funktsiooniks".

Maclaurin seeria

Kui a = 0 {\displaystyle a=0} $a=0$ nimetatakse funktsiooni Maclaurin'i jadaks. Maclaurin'i jada, mis on kirjutatud võimsusjoonena, näeb välja järgmiselt:

f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) 1 ! x + f ″ ( 0 ) 2 ! x 2 + f ( 3 ) ( 0 ) 3 ! x 3 + ⋯ . {\displaystyle f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}{3!}}x^{3}+\cdots . } $f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}{3!}}x^{3}+\cdots .$

Sigma märkimises on Maclaurin'i jada järgmine:

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( 0 ) n ! x n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}}\,x^{n}} $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}\,x^{n}$

Tavaline Taylor seeria

Mõned olulised Taylori ja Maclaurini seeriad on järgmised.

sin x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - ⋯ kõigi x {\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots {\text{ kõigi }x\! } $\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots {\text{ for all }}x\!$

cos x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - ⋯ kõigi x {\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots {\text{ kõigi }}x\! } $\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots {\text{ for all }}x\!$

sinh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 kõigi x jaoks {\displaystyle \sinh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}{\text{ for all }}x\! } $\sinh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}{\text{ for all }}x\!$

cosh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n ) ! x 2 n kõigi x jaoks {\displaystyle \cosh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}{\text{ for all}x\! } $\cosh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}{\text{ for all }}x\!$

e x = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! x n = 1 + x + 1 2 ! x 2 + 1 3 ! x 3 + ⋯ kõigi x {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}=1+x+{\frac {1}{2!}}x^{2}+{\frac {1}{3!}}x^{3}+\cdots {\text{ for all }}x\! } $e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}=1+x+{\frac {1}{2!}}x^{2}+{\frac {1}{3!}}x^{3}+\cdots {\text{ for all }}x\!$

1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + ⋯ kõigi | x | < 1 {\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots {\text{ for all }}|x|<1} ${\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots {\text{ for all }}|x|<1$

ln ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n + 1 n x n kõigi | x | < 1 {\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}}{n}}x^{n}{\text{ kõigi }}|x|<1} $\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}{\text{ for all }}|x|<1$

tan x = ∑ n = 1 ∞ B 2 n ( - 4 ) n ( 1 - 4 n ) ( 2 n ) ! x 2 n - 1 = x + x 3 3 + 2 x 5 15 + ⋯ for | x | < π 2 {\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots {\text{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\! } $\tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots {\text{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!$

Kus B n {\displaystyle B_{n}} $B_{n}$ on n-nes Bernoulli arv ja ln {\displaystyle \ln } $\ln$ on loomulik logaritm.

Küsimused ja vastused

K: Mis on Taylori seeria?

V: Taylori jada on idee, mida kasutatakse arvutiteaduses, arvutustes, keemias, füüsikas ja muudes kõrgema taseme matemaatikates. See on jada, mida kasutatakse hinnangu (oletuse) loomiseks selle kohta, milline on mingi funktsioon.

K: Mis vahe on Taylori jadadel ja Maclaurin'i jadadel?

V: On olemas ka eriline Taylori jada, mida nimetatakse Maclaurini jadaks.

K: Milline on Taylori seeria teooria?

V: Taylori seeria teooria seisneb selles, et kui koordinaattasapinnal (x- ja y-telgedel) valida punkt, siis on võimalik arvata, kuidas funktsioon selle punkti ümbruses välja näeb.

K: Kuidas tekib funktsioon Taylori jada abil?

V: Selleks võetakse funktsiooni tuletised ja liidetakse need kokku. Mõte on selles, et on võimalik lõpmatu arv tuletisi liita ja saada üks piiratud summa.

K: Mida näitab Taylori jada matemaatikas?

V: Matemaatikas näitab Taylori jada funktsiooni kui lõpmatute jadade summat. Summa terminid võetakse funktsiooni tuletistest.

K: Kust pärinevad Taylori jadad?

V: Taylori jadad pärinevad Taylori teoreemiast.

K: Millistes valdkondades kasutatakse tavaliselt Taylori jada?

V: Taylori jada kasutatakse tavaliselt arvutiteaduses, arvutustes, keemias, füüsikas ja muudes kõrgema taseme matemaatikates.

Otsige