Taylori jada ja Maclaurini jada — definitsioon, omadused ja rakendused

Vana-Kreeka filosoof Zenon Elea tuli esimesena selle seeria ideega välja. Paradoks nimega "Zeno paroodiline" tulemus. Ta uskus, et on võimatu liita lõpmatult palju väärtusi ja saada tulemuseks ühte lõplikku väärtust.

Teine kreeka filosoof, Aristoteles, andis filosoofilisele küsimusele vastuse. See oli aga Archimedes, kes leidis matemaatilise lahenduse, kasutades oma ammendumismeetodit. Ta suutis tõestada, et kui midagi jagatakse lõputuks arvuks pisikesteks tükkideks, moodustavad need ikkagi ühe terviku, kui need kõik uuesti kokku liita. Vana-Hiina matemaatik Liu Hui tõestas sama asja mitusada aastat hiljem.

Varaseimad teadaolevad näited Taylori seeriast on Sañgamāgrama Mādhava töö Indias 1300ndatel aastatel. Hilisemad India matemaatikud kirjutasid tema tööst trigonomeetriliste funktsioonide sinus, koosinus, tangens ja arktangensiga. Ühtegi Mādhava kirjutist või ülesannet ei ole tänapäeval veel säilinud. Teised matemaatikud tuginesid Mādhava avastustele ja töötasid nende jadadega rohkem kuni 1500. aastani.

Šoti matemaatik James Gregory töötas selles valdkonnas 1600ndatel aastatel. Gregory uuris Taylori seeriaid ja avaldas mitmeid Maclaurin'i seeriaid. Brook Taylor avastas 1715. aastal üldise meetodi, kuidas rakendada seeriat kõikide funktsioonide suhtes. (Kõik varasemad uurimused näitasid, kuidas meetodit rakendada ainult konkreetsete funktsioonide suhtes). Colin Maclaurin avaldas 1700. aastatel Taylori seeria erijuhtumi. Seda sarja, mis põhineb nulli ümber, nimetatakse Maclaurini jadaks.

Taylori jada saab kasutada mis tahes funktsiooni ƒ(x) kirjeldamiseks, mis on sileda funktsiooniga (või matemaatiliselt öeldes "lõpmatult diferentseeritav"). Funktsioon ƒ võib olla kas reaal- või kompleksfunktsioon. Seejärel kasutatakse Taylori jada selleks, et kirjeldada, kuidas funktsioon näeb välja mingi arvu a ümbruses.

See Taylori jada, mis on kirjutatud võimsusjada, näeb välja järgmiselt:

f ( a ) + f ′ ( a ) 1 ! ( x - a ) + f ″ ( a ) 2 ! ( x - a ) 2 + f ( 3 ) ( a ) 3 ! ( x - a ) 3 + ⋯ . {\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots . }

Seda valemit saab kirjutada ka sigma märkimises järgmiselt:

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x - a ) n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}}\,(x-a)^{n}}}

Siin n! on n-i faktoriaal. ƒ ⁽ⁿ⁾(a) on ƒ-i n-nes tuletis punktis a. a {\displaystyle a} on arv funktsiooni domeenis. Kui funktsiooni Taylori seeria on võrdne selle funktsiooniga, nimetatakse funktsiooni "analüütiliseks funktsiooniks".

Maclaurin seeria

Kui a = 0 {\displaystyle a=0} nimetatakse funktsiooni Maclaurin'i jadaks. Maclaurin'i jada, mis on kirjutatud võimsusjoonena, näeb välja järgmiselt:

f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) 1 ! x + f ″ ( 0 ) 2 ! x 2 + f ( 3 ) ( 0 ) 3 ! x 3 + ⋯ . {\displaystyle f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}{3!}}x^{3}+\cdots . }

Sigma märkimises on Maclaurin'i jada järgmine:

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( 0 ) n ! x n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}}\,x^{n}}

Mõned olulised Taylori ja Maclaurini seeriad on järgmised.

sin x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - ⋯ kõigi x {\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots {\text{ kõigi }x\! }

cos x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - ⋯ kõigi x {\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots {\text{ kõigi }}x\! }

sinh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 kõigi x jaoks {\displaystyle \sinh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}{\text{ for all }}x\! }

cosh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n ) ! x 2 n kõigi x jaoks {\displaystyle \cosh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}{\text{ for all}x\! }

e x = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! x n = 1 + x + 1 2 ! x 2 + 1 3 ! x 3 + ⋯ kõigi x {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}=1+x+{\frac {1}{2!}}x^{2}+{\frac {1}{3!}}x^{3}+\cdots {\text{ for all }}x\! }

1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + ⋯ kõigi | x | < 1 {\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots {\text{ for all }}|x|<1}

ln ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n + 1 n x n kõigi | x | < 1 {\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}}{n}}x^{n}{\text{ kõigi }}|x|<1}

tan x = ∑ n = 1 ∞ B 2 n ( - 4 ) n ( 1 - 4 n ) ( 2 n ) ! x 2 n - 1 = x + x 3 3 + 2 x 5 15 + ⋯ for | x | < π 2 {\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots {\text{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\! }

Kus B n {\displaystyle B_{n}} on n-nes Bernoulli arv ja ln {\displaystyle \ln } on loomulik logaritm.