Taylori rida

Taylori jada on idee, mida kasutatakse arvutiteaduses, arvutustes, keemias, füüsikas ja muudes kõrgema taseme matemaatikates. See on jada, mida kasutatakse hinnangu (oletuse) loomiseks, kuidas funktsioon välja näeb. On olemas ka eriline Taylori jada, mida nimetatakse Maclaurin'i jadaks.

Taylor-seeria teooria seisneb selles, et kui koordinaattasandil (x- ja y-telgedel) valida punkt, siis on võimalik arvata, kuidas funktsioon näeb välja selle punkti ümbruses. Selleks võetakse funktsiooni tuletised ja liidetakse need kokku. Mõte on selles, et on võimalik liita lõpmatult palju tuletisi ja saada üks piiratud summa.

Matemaatikas näitab Taylori jada funktsiooni kui lõpmatute jadade summat. Summa terminid võetakse funktsiooni tuletistest. Taylori jadad pärinevad Taylori teoreemiast.

Zoom

Animatsioon, mis näitab, kuidas Taylori jada saab kasutada funktsiooni lähendamiseks. Sinine joon näitab eksponentsiaalfunktsiooni f ( x ) = e x {\displaystyle f(x)=e^{x}} {\displaystyle f(x)=e^{x}}. Punased jooned näitavad n tuletise summat -- st n+1 terminit Taylori reas. Kui n suureneb, läheneb punane joon sinisele joonele.

Ajalugu

Vana-Kreeka filosoof Zenon Elea tuli esimesena selle seeria ideega välja. Paradoks nimega "Zeno paroodiline" tulemus. Ta uskus, et on võimatu liita lõpmatult palju väärtusi ja saada tulemuseks ühte lõplikku väärtust.

Teine kreeka filosoof, Aristoteles, andis filosoofilisele küsimusele vastuse. See oli aga Archimedes, kes leidis matemaatilise lahenduse, kasutades oma ammendumismeetodit. Ta suutis tõestada, et kui midagi jagatakse lõputuks arvuks pisikesteks tükkideks, moodustavad need ikkagi ühe terviku, kui need kõik uuesti kokku liita. Vana-Hiina matemaatik Liu Hui tõestas sama asja mitusada aastat hiljem.

Varaseimad teadaolevad näited Taylori seeriast on Sañgamāgrama Mādhava töö Indias 1300ndatel aastatel. Hilisemad India matemaatikud kirjutasid tema tööst trigonomeetriliste funktsioonide sinus, koosinus, tangens ja arktangensiga. Ühtegi Mādhava kirjutist või ülesannet ei ole tänapäeval veel säilinud. Teised matemaatikud tuginesid Mādhava avastustele ja töötasid nende jadadega rohkem kuni 1500. aastani.

Šoti matemaatik James Gregory töötas selles valdkonnas 1600ndatel aastatel. Gregory uuris Taylori seeriaid ja avaldas mitmeid Maclaurin'i seeriaid. Brook Taylor avastas 1715. aastal üldise meetodi, kuidas rakendada seeriat kõikide funktsioonide suhtes. (Kõik varasemad uurimused näitasid, kuidas meetodit rakendada ainult konkreetsete funktsioonide suhtes). Colin Maclaurin avaldas 1700. aastatel Taylori seeria erijuhtumi. Seda sarja, mis põhineb nulli ümber, nimetatakse Maclaurini jadaks.

Määratlus

Taylori jada saab kasutada mis tahes funktsiooni ƒ(x) kirjeldamiseks, mis on sileda funktsiooniga (või matemaatiliselt öeldes "lõpmatult diferentseeritav"). Funktsioon ƒ võib olla kas reaal- või kompleksfunktsioon. Seejärel kasutatakse Taylori jada selleks, et kirjeldada, kuidas funktsioon näeb välja mingi arvu a ümbruses.

See Taylori jada, mis on kirjutatud võimsusjada, näeb välja järgmiselt:

f ( a ) + f ′ ( a ) 1 ! ( x - a ) + f ″ ( a ) 2 ! ( x - a ) 2 + f ( 3 ) ( a ) 3 ! ( x - a ) 3 + . {\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots . } {\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots .}

Seda valemit saab kirjutada ka sigma märkimises järgmiselt:

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x - a ) n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}}\,(x-a)^{n}}} {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}}

Siin n! on n-i faktoriaal. ƒ (n)(a) on ƒ-i n-nes tuletis punktis a. a {\displaystyle a}a on arv funktsiooni domeenis. Kui funktsiooni Taylori seeria on võrdne selle funktsiooniga, nimetatakse funktsiooni "analüütiliseks funktsiooniks".

Maclaurin seeria

Kui a = 0 {\displaystyle a=0} {\displaystyle a=0}nimetatakse funktsiooni Maclaurin'i jadaks. Maclaurin'i jada, mis on kirjutatud võimsusjoonena, näeb välja järgmiselt:

f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) 1 ! x + f ″ ( 0 ) 2 ! x 2 + f ( 3 ) ( 0 ) 3 ! x 3 + . {\displaystyle f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}{3!}}x^{3}+\cdots . } {\displaystyle f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}{3!}}x^{3}+\cdots .}

Sigma märkimises on Maclaurin'i jada järgmine:

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( 0 ) n ! x n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}}\,x^{n}} {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}\,x^{n}}

Tavaline Taylor seeria

Mõned olulised Taylori ja Maclaurini seeriad on järgmised.

sin x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - ⋯ kõigi x {\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots {\text{ kõigi }x\! } {\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots {\text{ for all }}x\!}

cos x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - ⋯ kõigi x {\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots {\text{ kõigi }}x\! } {\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots {\text{ for all }}x\!}

sinh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 kõigi x jaoks {\displaystyle \sinh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}{\text{ for all }}x\! } {\displaystyle \sinh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}{\text{ for all }}x\!}

cosh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n ) ! x 2 n kõigi x jaoks {\displaystyle \cosh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}{\text{ for all}x\! } {\displaystyle \cosh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}{\text{ for all }}x\!}

e x = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! x n = 1 + x + 1 2 ! x 2 + 1 3 ! x 3 + ⋯ kõigi x {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}=1+x+{\frac {1}{2!}}x^{2}+{\frac {1}{3!}}x^{3}+\cdots {\text{ for all }}x\! } {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}=1+x+{\frac {1}{2!}}x^{2}+{\frac {1}{3!}}x^{3}+\cdots {\text{ for all }}x\!}

1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + ⋯ kõigi | x | < 1 {\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots {\text{ for all }}|x|<1} {\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots {\text{ for all }}|x|<1}

ln ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n + 1 n x n kõigi | x | < 1 {\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}}{n}}x^{n}{\text{ kõigi }}|x|<1} {\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}{\text{ for all }}|x|<1}

tan x = ∑ n = 1 ∞ B 2 n ( - 4 ) n ( 1 - 4 n ) ( 2 n ) ! x 2 n - 1 = x + x 3 3 + 2 x 5 15 + ⋯ for | x | < π 2 {\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots {\text{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\! } {\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots {\text{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!}

Kus B n {\displaystyle B_{n}}{\displaystyle B_{n}} on n-nes Bernoulli arv ja ln {\displaystyle \ln } {\displaystyle \ln }on loomulik logaritm.

Küsimused ja vastused

K: Mis on Taylori seeria?


V: Taylori jada on idee, mida kasutatakse arvutiteaduses, arvutustes, keemias, füüsikas ja muudes kõrgema taseme matemaatikates. See on jada, mida kasutatakse hinnangu (oletuse) loomiseks selle kohta, milline on mingi funktsioon.

K: Mis vahe on Taylori jadadel ja Maclaurin'i jadadel?


V: On olemas ka eriline Taylori jada, mida nimetatakse Maclaurini jadaks.

K: Milline on Taylori seeria teooria?


V: Taylori seeria teooria seisneb selles, et kui koordinaattasapinnal (x- ja y-telgedel) valida punkt, siis on võimalik arvata, kuidas funktsioon selle punkti ümbruses välja näeb.

K: Kuidas tekib funktsioon Taylori jada abil?


V: Selleks võetakse funktsiooni tuletised ja liidetakse need kokku. Mõte on selles, et on võimalik lõpmatu arv tuletisi liita ja saada üks piiratud summa.

K: Mida näitab Taylori jada matemaatikas?


V: Matemaatikas näitab Taylori jada funktsiooni kui lõpmatute jadade summat. Summa terminid võetakse funktsiooni tuletistest.

K: Kust pärinevad Taylori jadad?


V: Taylori jadad pärinevad Taylori teoreemiast.

K: Millistes valdkondades kasutatakse tavaliselt Taylori jada?


V: Taylori jada kasutatakse tavaliselt arvutiteaduses, arvutustes, keemias, füüsikas ja muudes kõrgema taseme matemaatikates.

AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3