Fibonacci jada (Fibonacci arvud): definitsioon, valem ja näited

Avasta Fibonacci jada — definitsioon, valem ja selged näited. Samm-sammult selgitused, arvutused ja praktilised rakendused matemaatikas ning looduses.

Autor: Leandro Alegsa

09-11-2025 16:59

Fibonacci arvud on matemaatikas Leonardo Pisa Fibonacci järgi nimetatud arvude jada. Fibonacci kirjutas 1202. aastal raamatu nimega Liber Abaci ("Arvutusraamat"), mis tutvustas Lääne-Euroopa matemaatikas seda arvumustrit, kuigi India matemaatikud teadsid seda juba varem.

Mustri esimene number on 0, teine number on 1 ja iga järgmine number on võrdne kahe vahetult enne seda asuva numbri liitmisega. Näiteks 0+1=1 ja 3+5=8. See jada jätkub igavesti.

Seda saab kirjutada rekurentsusreaktsioonina,

F n = F n - 1 + F n - 2 {\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}} $F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$

Selleks, et see oleks mõistlik, tuleb anda vähemalt kaks lähtepunkti. Siin on F 0 = 0 {\displaystyle F_{0}=0} $F_{0}=0$ ja F 1 = 1 {\displaystyle F_{1}=1} $F_{1}=1$ .

Esimesed Fibonacci arvud ja lihtsad näited

Fibonacci jada algus (kasutades F₀=0 ja F₁=1) on:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...

Näited rekurentsuse kasutamisest:

F2 = F1 + F0 = 1 + 0 = 1
F6 = F5 + F4 = 5 + 3 = 8
F10 = 55 (selle saab arvutada samm-sammult või kasutada valemit, vt allpool)

Sulgemisvalem (Binet'i valem)

Fibonacci arvudele on olemas suletud (mitte-rekursiivne) valem, mida tuntakse Binet' i valemina. Kui defineerida kuldnumber (phi) ja selle kaaslane psi:

φ = (1 + √5) / 2
ψ = (1 − √5) / 2

siis kehtib

F_n = (φⁿ − ψⁿ) / √5.

See valem annab täpselt iga Fibonacci arvu täisarvuna, kuigi sisaldab irratsionaale — cancelatsioon ψⁿ tõttu tagab tulemuse täisarvuna.

Suhted ja omadused

Suhe kahe järjestikuse arvu vahel: lim n→∞ F_n+1 / F_n = φ (kuldnumber ≈ 1.61803...).
Saagivuse ja summeerimise valemid: näiteks summa F₀ + F₁ + ... + F_n = F_n+2 − 1.
Alternatiivne esitus (maatriks): [ [1,1], [1,0] ]ⁿ annab maatriksis Fibonacciga seotud elemente; see annab tõhusa viisi F_n kiireks arvutamiseks võimsuste abil (log n aja keerukus).
Generaatorfunktsioon: generaatorfunktsioon G(x) = Σ_n≥0 F_n xⁿ = x / (1 − x − x²) (kui F₀=0, F₁=1).
Zeckendorfi teoreem: iga positiivne täisarv esitatakse üheselt Fibonacci arvude summina nii, et läheduses asuvaid Fibonacci arve ei kasutata (st ei ole järjestikuseid arve selles kujutises).

Kus Fibonacci jada ilmub ja miks see on huvitav

Looduses: taimede õisepungade, lehtede paigutuse, taimede harunemise mustrite ja loomade paljunemismudelite juures võib tihti leida seoseid Fibonacci jada või kuldnumbri läheduses olevate suhetega.
Kunst ja arhitektuur: kuldproportsioon (φ) on ajalooliselt seotud esteetiliste proportsioonidega.
Arvutiteadus: algoritmid (näiteks kiire exponentatsioon, Fibonacci heap), krüptograafia ja kombinatoorika kasutavad fibonacci-sarnaseid rekursioone.
Matemaatiline ilu: lihtne määratlus tekitab rikkaliku struktuuri ja palju huvitavaid omadusi (modulaarne teooria, jagajate omadused, seosed Lucas-arvudega jpm).

Kuidas Fibonacci arvusid kiiresti arvutada

Lihtne iteratsioon: korrigeeritud rekursiooniga (hoida kahte viimast väärtust) on O(n) aeg ja O(1) mälu.
Kiire võimendamine maatriksiga: maatriksi astendamine kiiralgoritmiga annab F_n ajaga O(log n).
Binet'i valem ja ujukomaarvutus: praktikas võib suure n korral tekkida ümardamisvigu, seega täisarvulise täpse tulemuse saamiseks kasutatakse tavaliselt maatriksi meetodit või korrutusi täisarvuarvutuses.

Kokkuvõte

Fibonacci jada on lihtne rekursiivne jada, millel on palju huvitavaid matemaatilisi omadusi ja laialdased rakendused looduses, kunstis ja arvutiteaduses. Algtähised F₀=0 ja F₁=1 koos rekurentsiga F_n=F_n-1+F_n-2 määravad kogu jada ning sulgemisvalem, generaatorfunktsioon ja maatriksi esitused annavad erinevaid tööriistu selle uurimiseks ja arvutamiseks.

Fibonacci-spiraal, mis on loodud Fibonacci-plaatide ruutude kaudu joonistades; selles kasutatakse ruute suurusega 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 ja 34; vt Kuldne spiraal.

Fibonacci numbrid looduses

Fibonacci arvud on seotud kuldlõikega, mis esineb paljudes kohtades ehitistes ja looduses. Mõned näited on lehtede muster tüvel, ananassi osad, artišoki õitsemine, sõnajalgade avanemine ja männi käbi paigutus. Fibonacci-arvud esinevad ka mesilaste sugupuus.

Päikeselillepea, millel on 34 ja 55 õisikut spiraalselt ümberringi.

Binet' valem

Fibonacci n-ndat arvu saab kirjutada kuldse suhte abil. See väldib Fibonacci-arvude arvutamiseks rekursiooni kasutamist, mis võib arvutil võtta kaua aega.

F n = φ n - ( 1 - φ ) n 5 {\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}} $F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}$

Kus φ = 1 + 5 2 {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ , kuldne suhe.

Küsimused ja vastused

K: Mis on Fibonacci jada?

V: Fibonacci jada on matemaatikas Fibonacci nime kandva Leonardo Pisa nimelise arvude muster. See algab numbriga 0 ja 1 ning iga järgnev arv on võrdne kahe vahetult enne seda asuva arvu liitmisega.

Küsimus: Kes tõi selle arvumustri Lääne-Euroopa matemaatikasse?

V: Fibonacci kirjutas 1202. aastal raamatu nimega Liber Abaci ("Arvutusraamat"), mis tutvustas Lääne-Euroopa matemaatikas seda arvumustrit, kuigi India matemaatikud teadsid seda juba varem.

K: Kuidas saab Fibonacci jada kirjutada?

V: Fibonacci jada saab kirjutada rekurentsusreaktsioonina, kus F_n = F_n-1 + F_n-2, kui n ≥ 2.

K: Millised on selle rekurentsusrelatsiooni alguspunktid?

V: Et see oleks mõistlik, tuleb anda vähemalt kaks alguspunkti. Siin on F_0 = 0 ja F_1 = 1.

K: Kas Fibonacci jada jätkub igavesti?

V: Jah, jada jätkub igavesti.

K: Kus matemaatikud esimest korda selle arvumustri kohta teada said? V: India matemaatikud olid selle arvumustriga juba tuttavad, enne kui Leonardo Pisa (Fibonacci) seda Lääne-Euroopas tutvustas.

Otsige